Toán lớp 10 tập 1 trang 78 :Bài tập cuối chương 4

Giải  toán lớp 10 tập 1 trang 78 bài tập cuối chương 4 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán lớp 10 tập 1 trang 78

Bài 1 trang 78 Toán lớp 10 tập 1

Cho tam giác ABC. Biết a = 49,4;b = 26,4; $\widehat{C}$=47∘20′. Tính hai góc $\widehat{A}$,$\widehat{B}$ và cạnh c.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

C²= b²+a²– 2ab cosC

• C²=26,4²+49,4²-2.26,4.49cos47⁰20’
• C= 37

Áp dụng định lí sin ta có :

$\frac{a}{{\sin A}}=\frac{b}{{\sin B}}=\frac{c}{{\sin C}}$

$\Leftrightarrow\frac{49.4}{\sin A}=\frac{26.4}{\sin B}=\frac{37}{\sin 47^\circ 20′}\Rightarrow\sin A=\frac{49.4\cdot\sin 47^\circ 20′}{37}\approx 0.982\Rightarrow\angle A\approx 79^\circ\Rightarrow\angle B\approx 180^\circ-79^\circ-47^\circ 20’=53^\circ 40’$

Bài 2 trang 78 Toán lớp 10 tập 1

Cho tam giác ABC. Biết a = 24,b = 13,c = 15. Tính các góc $\widehat{A}$,$\widehat{B}$ , $\widehat{C}$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l}\cos A=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{{2bc}};\cos B=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{{2ac}}\\\Rightarrow\cos A=\frac{{{{13}^2}+{{15}^2}-{{24}^2}}}{{2.13.15}}=-\frac{7}{{15}};\cos B=\frac{{{{24}^2}+{{15}^2}-{{13}^2}}}{{2.24.15}}=\frac{{79}}{{90}}\\\Rightarrow\widehat A\approx 117,{8^\circ},\widehat B\approx 28,{6^o}\\\Rightarrow\widehat C\approx 33,{6^o}\end{array}$

Bài 3 trang 78 Toán lớp 10 tập 1

Cho tam giác ABC có a = 8,b = 10,c = 13. Tính các góc A, B, C

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tam giác ABC có a = 8,b = 10,c = 13. Tính các góc $\widehat{A}$,$\widehat{B}$, $\widehat{C}$.

Hướng dẫn giải:

a) Tam giác ABC có góc tù không?

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l}\cos A=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{{2bc}};\cos B=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{{2ac}}\\\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\cos A=\frac{{{{10}^2}+{{13}^2}-{8^2}}}{{2.10.13}}=\frac{{41}}{{52}}>0;\\\cos B=\frac{{{8^2}+{{13}^2}-{{10}^2}}}{{2.8.13}}=\frac{{133}}{{208}}>0\\\cos C=\frac{{{8^2}+{{10}^2}-{{13}^2}}}{{2.8.13}}=-\frac{1}{{32}}<0\end{array}\right.\end{array}$

• $\widehat{C}$= 91,79⁰ > 90⁰ nên tam giác ABC có góc C tù

b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Hướng dẫn giải: :

+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM, ta có:

AM²=AC²+CM²-2.AC.CM.COS C

⬄ AM²=8²+5²-2.8.5. $\frac{1}{32}$ = 91,5

• AM= 9,57

Ta có: p= $\frac{8+10+13}{2}$ = 15,5

Áp dụng công thức heron ta có:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{15,5.(15,5-8).(15,5-10).(15,5-13)}\approx 40$

+) Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{c}{{\sin C}}=2R\Rightarrow R=\frac{c}{{2\sin C}}=\frac{{13}}{{2.\sin 91,{{79}^\circ}}}\approx 6,5$

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C.

ta có: $\widehat{BCD}$ = 180⁰-91,79⁰=88,21⁰; CD= AC=8

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD, ta có:

BD²=CD²+ CB²– 2CD.CB. COS $\widehat{BCD}$

• BD²=8²+10²– 2.8.10. cos 88,21⁰= 159
• BD≈ 12,6

Toán lớp 10 tập 1 trang 79

Bài 4 trang 79 Toán lớp 10 tập 1

Cho tam giác ABC có $\widehat{A}$ = 120,b = 8,c = 5. Tính:

a) Cạnh a và các góc B, C

b) Diện tích tam giác ABC

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin, ta có:

a²= b²+c²-2bc.cos A

⬄ a²=8²+5²– 2.8.5.cos 120⁰= 129

=>a= $\sqrt{129}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}}=\frac{b}{{\sin B}}=\frac{c}{{\sin C}}\Rightarrow\frac{{\sqrt{129}}}{{\sin{{120}^\circ}}}=\frac{8}{{\sin B}}=\frac{5}{{\sin C}}\\\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\sin B=\frac{{8.\sin{{120}^\circ}}}{{\sqrt{129}}}\approx 0,61\\\sin C=\frac{{5.\sin{{120}^\circ}}}{{\sqrt{129}}}\approx 0,38\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\widehat B\approx 37,{59^\circ}\\\widehat C\approx 22,{41^\circ}\end{array}\right.\end{array}$

b) Diện tích tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}.8.5.\sin{120^\circ}=10\sqrt 3$

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.

Phương pháp giải:

+) Áp dụng định lí sin :$R = \frac{a}{{\sin A}}$

+) Đường cao AH:AH = $\frac{{2S}}{a}$

+) Theo định lí sin, ta có:  $R = \frac{a}{{\sin A}} = \frac{{\sqrt {129} }}{{\sin {{120}^ \circ }}} = 2\sqrt {43}$

+) Đường cao AH của tam giác bằng:

$AH = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{{\sqrt {129} }} = \frac{{20\sqrt {43} }}{{43}}$

Bài 5 trang 79 Toán lớp 10 tập 1

Cho hình bình hành ABCD

a) Chứng minh

2( AB²+BC²)= AC²+BD²

b) Cho AB = 4,BC = 5,BD = 7. Tính AC.

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng định lí cosin ta có

$\left\{\begin{array}{l}A{C^2}=A{B^2}+B{C^2}-2.AB.BC.\cos B\\B{D^2}=A{B^2}+A{D^2}-2.AB.AD.\cos A\end{array}\right.$

Mà AD= BC; COS A= COS(180⁰-B)= – cos B

$\begin{array}{l}\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}A{C^2}=A{B^2}+B{C^2}+2.AB.BC.\cos A\\B{D^2}=A{B^2}+B{C^2}-2.AB.AD.\cos A\end{array}\right.\\\Rightarrow A{C^2}+B{D^2}=2\left({A{B^2}+B{C^2}}\right)\end{array}$

b) Theo câu a, ta suy ra :AC²=2.(AB²+BC²)-BD²

=> AC²=2.(4²+5²)-7²=33

=> AC= $\sqrt{33}$

Bài 6 trang 79 Toán lớp 10 tập 1

Cho tam giác ABC có a = 15,b = 20,c = 25.

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

p = $\frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{15 + 20 + 25}}{2}$ = 30

Áp dụng công thức heron, ta có:  $S = \sqrt {30.(30 – 15).(30 – 20).(30 – 25)} = 150$

b) Ta có:$S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{15.20.25}}{{4.150}} = 12,5$

Bài 7 trang 79 Toán lớp 10 tập 1

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

$\cos A + \cos B + \cos C = \frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}$

Hướng dẫn

$\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}$ và $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}$

$\Rightarrow\cot A=\frac{{\cos A}}{{\sin A}}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{{2bc}}:\frac{a}{{2R}}=R.\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{{abc}}$

Tương tự ta có: $\cot B = R.\frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{abc}}$ và $\cot C = R.\frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{abc}}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow\cot A+\cot B+\cot C=\frac{R}{{abc}}\left[{\left({{b^2}+{c^2}-{a^2}}\right)+\left({{a^2}+{c^2}-{b^2}}\right)+\left({{a^2}+{b^2}-{c^2}}\right)}\right]\\=\frac{R}{{abc}}\left({2{b^2}+2{c^2}+2{a^2}-{a^2}-{c^2}-{b^2}}\right)=\frac{{R({a^2}+{b^2}+{c^2})}}{{abc}}\end{array}$

Bài 8 trang 79 Toán lớp 10 tập 1

Tính khoảng cách AB giữa hai nóc tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 370 km, 350 km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là 2,1⁰.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí cosin, ta có:

AB²=370²+350²-2.370.350.COS 2,1⁰

Suy ra AB= 23,96 (km)

Vậy khoảng cách giữa hai tòa nhà là 23,96 km.

Bài 9 trang 79 Toán lớp 10 tập 1

Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m và thẳng hàng với chân B của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển (Hình 2). Từ P và Q, người ta nhìn thấy tháp hải đăng AB dưới các góc $\widehat{BPA}$= 35⁰ và $\widehat{BQA}$= 48⁰. Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác APB và AQB, ta có:

Tan 35⁰= $\frac{AB}{PB}$ = $\frac{AB}{300+QB}$ và tan 48⁰=$\frac{AB}{QB}$

• AB= tan 35⁰.(300+QB) = tan 48⁰.QB
• Tan 35⁰.300+tan 35⁰.QB=tan 48⁰.QB
• Tan 35⁰.300 =( tan 48⁰-tan 35⁰). QB
• QB=$\frac{{\tan{{35}^\circ}.300}}{{\tan{{48}^\circ}-\tan{{35}^\circ}}}$

Mà AB= tan 48⁰. QB

Suy ra: AB= tan 48⁰. $\frac{{\tan {{35}^ \circ }.300}}{{\tan {{48}^ \circ } – \tan {{35}^ \circ }}}$ = 568,5(m)

Vậy tháp hải đăng cao khoảng 568,5 m.

Bài 10 trang 79 Toán lớp 10 tập 1

Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm A, B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là h = 1,2m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A₁,B₁ cùng thẳng hàng với C₁ thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta do được $\widehat {D{A_1}{C_1}} = {49^ \circ },\widehat {D{B_1}{C_1}} = {35^ \circ }$Tính chiều cao CD của tháp.

Hướng dẫn

Ta có:

$\widehat{D{A_1}{C_1}}=\widehat{{A_1}D{B_1}}+\widehat{D{B_1}{A_1}}\Rightarrow\widehat{{A_1}D{B_1}}={49^\circ}-{35^\circ}={14^\circ}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác A₁DC₁ , ta có

$\begin{array}{l}\frac{{{A_1}D}}{{\sin{C_1}}}=\frac{{{C_1}D}}{{\sin{A_1}}}\Leftrightarrow\frac{{28,45}}{{\sin{{90}^\circ}}}=\frac{{{C_1}D}}{{\sin{{49}^\circ}}}\\\Rightarrow{C_1}D=\sin{49^\circ}.\frac{{28,45}}{{\sin{{90}^\circ}}}\approx 21,47\end{array}$

Do đó, chiều cao CD của tháp là: 21,47 + 1,2 = 22,67;(m)