Toán 10 tập 1 trang 43 Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Giải toán 10 tập 1 trang 43 Cánh diều bài 2 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 10 tập 1 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 10 tập 1 trang 43

Bài 1 trang 43 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định a,b,c lần lượt là hệ số của ${x^2}$ , hệ số của x và hệ số tự do.

a)\ y = – $3{x^2}$

b)\ y = $2x\left( {{x^2} – 6x + 1} \right)$

c)\ y = $4x\left( {2x – 5} \right)$

Lời giải

a) Hàm số y = – $3{x^2}$

là hàm số bậc hai.

y = – 3.${x^2}$ + 0.x + 0

Hệ số a = – 3, b = 0, c = 0.

b) Hàm số y = $2x\left( {{x^2} – 6x + 1} \right) \Leftrightarrow y = 2{x^3} – 12{x^2} + 2x$

có số mũ cao nhất là 3 nên không là hàm số bậc hai.

c) Hàm số y = $4x\left( {2x – 5} \right) \Leftrightarrow y = 8{x^2} – 20x$

có số mũ cao nhất là 2 nên là hàm số bậc hai.

Hệ số a = 8, b = – 20, c = 0

Bài 2 trang 43 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Xác định parabol y = $a{x^2} + bx + 4$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm $M\left( {1;12} \right)$ và $N\left( { – 3;4} \right)$

b) Có đỉnh là $I\left( { – 3; – 5} \right)$

Lời giải

Thay tọa độ điểm $M\left( {1;12} \right)$ và $N\left( { – 3;4} \right)$ ta được:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a{.1^2} + b.1 + 4 = 12\\a.{\left( { – 3} \right)^2} + b.\left( { – 3} \right) + 4 = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 8\\9a – 3b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 6\end{array} \right.\end{array}$

Vậy parabol là y = $2{x^2} + 6x + 4$

b) Hoành độ đỉnh của parabol là $\frac{{ – b}}{{2a}}$

Nên ta có: $\frac{{ – b}}{{2a}} = – 3 \Leftrightarrow b = 6a$ (1)

Thay tọa độ điểm I vào ta được:

$\begin{array}{l} – 5 = a.{\left( { – 3} \right)^2} + b.\left( { – 3} \right) + 4\\ \Leftrightarrow 9a – 3b = – 9\\ \Leftrightarrow 3a – b = – 3\left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) ta được hệ

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\3a – b = – 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\3a – 6a = – 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6\\a = 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy parabol là y = ${x^2}$ + 6x + 4.

Bài 3 trang 43 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = $2{x^2}$ – 6x + 4

b) y = – $3{x^2}$ – 6x – 3

Lời giải

a) Đồ thị hàm số có đỉnh $I\left( {\frac{3}{2}; – \frac{1}{2}} \right)$

Trục đối xứng là x = $\frac{3}{2}$

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;4)

Giao điểm của parabol với trục hoành là (2;0) và (1;0)

Điểm đối xứng với điểm (0;4) qua trục đối xứng x = $\frac{3}{2}$ là $\left( {3;4} \right)$

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

b) Đồ thị hàm số có đỉnh I(−1;0)

Trục đối xứng là x = – 1

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;-3)

Giao điểm của parabol với trục hoành là I(−1;0)

Điểm đối xứng với điểm (0;-3) qua trục đối xứng x = – 1 là (-2;-3)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

Bài 4 trang 43 Toán 10 tập 1 Cánh diều

Cho đồ thị hàm số bậc hai ở Hình 15.

a) Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số.

b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

c) Tìm công thức xác định hàm số.

Lời giải

a) Trục đối xứng là đường thẳng x = 2

Đỉnh là $I\left( {2; – 1} \right)$

b) Từ đồ thị ta thấy trên khoảng $\left( { – \infty ;2} \right)$

thì hàm số đi xuống nên hàm số nghịch biến trên $\left( { – \infty ;2} \right).$

Trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$

thì hàm số đi xuống nên đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right).$

c) ) Gọi hàm số là y = $a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$

Đồ thị hàm số có đỉnh là $I\left( {2; – 1} \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} – \frac{b}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = – 4a\\4a + 2b + c = – 1\end{array} \right.$

Ta lại có điểm $\left( {1;0} \right)$ thuộc đồ thị nên ta có: a + b + c = 0

Vậy ta có hệ sau:

$\left\{ \begin{array}{l}b = – 4a\\4a + 2b + c = – 1\\a + b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = – 4a\\4a + 2.\left( { – 4a} \right) + c = – 1\\a + \left( { – 4a} \right) + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = – 4a\\c – 4a = – 1\\c – 3a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = – 4a\\a = 1\\c = 3\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = – 4\\a = 1\\c = 3\end{array} \right.$

Vậy parabol là y = ${x^2}$ – 4x + 3

Bài 5 trang 43

Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:

a) $y = 5{x^2} + 4x – 1$

b)$y = – 2{x^2} + 8x + 6$

Lời giải

a) Hệ số a = 5 > 0,b = 4 $\Rightarrow \frac{{ – b}}{{2a}} = \frac{{ – 4}}{{2.5}} = \frac{{ – 2}}{5}$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;\frac{{ – 2}}{5}} \right)$ và đồng biến trên $\left( {\frac{{ – 2}}{5}; + \infty } \right)$

b) Ta có a = – 2 < 0,b = 8

$\Rightarrow – \frac{b}{{2a}} = \frac{{ – 8}}{{2.\left( { – 2} \right)}} = 2$

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;2} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$

Bài 6 trang 43

Khi du lịch đến thành phố St. Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ toạ độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí có toạ độ (162;0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10;43). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Lời giải

Từ đồ thị ta thấy các điểm thuộc đồ thị là: A $\left( {0;0} \right),B\left( {10;43} \right),B\left( {162;0} \right).$

Gọi hàm số là y = $a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$

Thay tọa độ các điểm A, B, C vào ta được hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}a{.0^2} + b.0 + c = 0\\a{.10^2} + b.10 + c = 43\\a{.162^2} + b.162 + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\100a + 10b = 43\\{162^2}a + 162b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a = – \frac{{43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\end{array} \right.$

Từ đố ta có y = – $\frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x$

Hoành độ đỉnh của đồ thị là: x = – $\frac{b}{{2a}} = 81$

Khi đó: y = – $\frac{{43}}{{1520}}{.81^2} + \frac{{3483}}{{760}}.81 \approx 186(m)$

Vậy chiều cao của cổng là 186m.