Toán 9 tập 1 trang 67 bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Giải Toán 9 tập 1 trang 67 bài 4 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách toán 9 Cánh diều . Hi vọng sẽ là tài liệu giúp các em tham khảo.

Toán 9 tập 1 trang 67

Hoạt động 1 trang 67 Toán 9 Cánh diều

Tìm số thích hợp cho “?”:

a. $\sqrt {7_{}^2} = ?$;

b. $\sqrt {\left( { – 9} \right)_{}^2} = ?$;

c. $\sqrt {a_{}^2} = ?$ với a là một số cho trước.

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {7_{}^2} = \left| 7 \right| = 7$;

b. $\sqrt {\left( { – 9} \right)_{}^2} = \left| { – 9} \right| = 9$;

c. $\sqrt {a_{}^2} = \left| a \right|$.

Luyện tập 1 trang 67 Toán 9 Cánh diều

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a.$\sqrt {x_{}^2 + 6x + 9}$ với x < – 3;

b. $\sqrt {y_{}^4 + 2y_{}^2 + 1}$ .

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {x_{}^2 + 6x + 9} = \sqrt {\left( {x + 3} \right)_{}^2} = \left| {x + 3} \right|$ = – x – 3

(vì x + 3 < 0 khi x < – 3).

b) $\sqrt {y_{}^4 + 2y_{}^2 + 1} = \sqrt {\left( {y_{}^2 + 1} \right)_{}^2}$

= |y² + 1|

= y² + 1 (vì y² + 1 > 0 với mọi y)

Toán 9 tập 1 trang 68

Luyện tập 2 trang 68 Toán 9 Cánh diều

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt {9x_{}^4}$ ;

b. $\sqrt {3a_{}^3} .\sqrt {27a}$ với a > 0.

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {9x_{}^4} = \sqrt 9 .\sqrt {x_{}^4} = 3.\left| {x_{}^2} \right| = 3x_{}^2$.

b. $\sqrt {3a_{}^3} .\sqrt {27a} = \sqrt {3a_{}^3.27a} = \sqrt {81a_{}^4} = \sqrt {81} .\sqrt {a_{}^4} = 3.\left| {a_{}^2} \right| = 3a_{}^2$.

Hoạt động 3 trang 68 Toán 9 Cánh diều

So sánh:

a. $\sqrt {\frac{{49}}{{169}}} và \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {169} }}$ ;

b. $\sqrt {\frac{a}{b}} và \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$ với a là số không âm, b là số dương.

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {\frac{{49}}{{169}}} = \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {169} }}$ .

b. $\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$ .

Toán 9 tập 1 trang 69

Luyện tập 3 trang 69 Toán 9 Cánh diều

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt {\frac{9}{{\left( {x – 3} \right)_{}^2}}}$ với x > 3 ;

b. $\frac{{\sqrt {48x_{}^3} }}{{\sqrt {3x_{}^5} }}$ với x > 0

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {\frac{9}{{{{\left( {x – 3} \right)}^2}}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {{{\left( {x – 3} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\left| {x – 3} \right|}} = \frac{3}{{x – 3}}$

(vì x > 3 nên x – 3 > 0 ).

b. $\frac{{\sqrt {48x_{}^3} }}{{\sqrt {3x_{}^5} }} = \sqrt {\frac{{48x_{}^3}}{{3x_{}^5}}} = \sqrt {\frac{{16}}{{x_{}^2}}} = \frac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {x_{}^2} }} = \frac{4}{{\left| x \right|}} = \frac{4}{x}$ (vì x > 0 ).

Hoạt động 4 trang 69 Toán 9 Cánh diều

Xét phép biến đổi: $\frac{5}{{\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3 } \right)_{}^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}$ . Hãy xác định mẫu thức của mỗi biểu thức sau: $\frac{5}{{\sqrt 3 }};\frac{{5\sqrt 3 }}{3}$ .

Hướng dẫn giải:

+ Mẫu thức của phân số $\frac{5}{{\sqrt 3 }}$ là $\sqrt 3$ .

+ Mẫu thức của phân số $\frac{{5\sqrt 3 }}{3}$ là 3.

Luyện tập 4 trang 69 Toán 9 Cánh diều

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{{x_{}^2 – 1}}{{\sqrt {x – 1} }}$ với x > 1 .

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{{{x^2} – 1}}{{\sqrt {x – 1} }}$

= $\frac{{\left( {{x^2} – 1} \right).\sqrt {x – 1} }}{{\sqrt {x – 1} .\sqrt {x – 1} }}$

= $\frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\sqrt {x – 1} }}{{x – 1}}$

= $\left( {x + 1} \right)\sqrt {x – 1}$

Luyện tập 5 trang 69 Toán 9 Cánh diều

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{{x – 1}}{{\sqrt x – 1}}$ với x > 1 .

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{{x – 1}}{{\sqrt x – 1}}$

= $\frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

= $\frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x – 1}}$

= $\sqrt x + 1$

Toán 9 tập 1 trang 70

Luyện tập 6 trang 70 Toán 9 Cánh diều

Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{{\sqrt {x + 1} – \sqrt x }}$ với $x \ge 0$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{1}{{\sqrt {x + 1} – \sqrt x }}$

= $\frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt {x + 1} – \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}$

= $\frac{{\sqrt {x + 1} + \sqrt x }}{{x + 1 – x}}$

= $\sqrt {x + 1} + \sqrt x$ .

Bài 1 trang 70 Toán 9 Tập 1

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt {\left( {5 – x} \right)_{}^2}$ với $x \ge 5$ ;

b. $\sqrt {\left( {x – 3} \right)_{}^4}$ ;

c. $\sqrt {\left( {y + 1} \right)_{}^6}$ với y < – 1 .

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {\left( {5 – x} \right)_{}^2} = \left| {5 – x} \right|$ = x – 5 (Vì $x \ge 5$ nên 5 – $x \le 0$ ).

b.$ \sqrt {\left( {x – 3} \right)_{}^4} = \left| {\left( {x – 3} \right)_{}^2} \right| = \left( {x – 3} \right)_{}^2$ .

c. $\sqrt {\left( {y + 1} \right)_{}^6} = \sqrt {\left[ {\left( {y + 1} \right)_{}^3} \right]_{}^2} = \left| {\left( {y + 1} \right)_{}^3} \right| = – \left( {y + 1} \right)_{}^3$ (Vì y < – 1 nên y + 1 < 0

suy ra $\left( {y + 1} \right)_{}^3$ < 0 ).

Bài 2 trang 70 Toán 9 Tập 1

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt {25\left( {a + 1} \right)_{}^2}$ với a > – 1 ;

b. $\sqrt {x_{}^2\left( {x – 5} \right)_{}^2}$ với x > 5 ;

c. $\sqrt {2b} .\sqrt {32b}$ với b > 0 ;

d. $\sqrt {3c} .\sqrt {27c_{}^3}$ với c > 0 .

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {25\left( {a + 1} \right)_{}^2} = \sqrt {25} .\sqrt {\left( {a + 1} \right)_{}^2} = 5.\left| {a + 1} \right| = 5\left( {a + 1} \right)$ (Vì a > – 1 nên a + 1 > 0 ).

b. $\sqrt {x_{}^2\left( {x – 5} \right)_{}^2} = \sqrt {x_{}^2} .\sqrt {\left( {x – 5} \right)_{}^2} = \left| x \right|.\left| {x – 5} \right| = x\left( {x – 5} \right)$ (Vì x > 5 nên x – 5 > 0 ).

c. $\sqrt {2b} .\sqrt {32b} = \sqrt {2b.32b} = \sqrt {64b_{}^2} = \sqrt {64} .\sqrt {b_{}^2} = 8\left| b \right| = 8b$ (Do b > 0 ).

d. $\sqrt {3c} .\sqrt {27c_{}^3} = \sqrt {3c.27c_{}^3} = \sqrt {81c_{}^4} = \sqrt {81} .\sqrt {c_{}^4} = 9.\left| {c_{}^2} \right| = 9c_{}^2$ .

Bài 4 trang 71 Toán 9 Tập 1

Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a. $\sqrt {\frac{{\left( {3 – a} \right)_{}^2}}{9}}$ với a > 3 ;

b. $\frac{{\sqrt {75x_{}^5} }}{{\sqrt {5x_{}^3} }}$ với x > 0 ;

c. $\sqrt {\frac{9}{{x_{}^2 – 2x + 1}}}$ với x > 1 ;

d. $\sqrt {\frac{{x_{}^2 – 4x + 4}}{{x_{}^2 + 6x + 9}}}$ với $x \ge 2$

Hướng dẫn giải:

a. $\sqrt {\frac{{\left( {3 – a} \right)_{}^2}}{9}} = \frac{{\sqrt {\left( {3 – a} \right)_{}^2} }}{{\sqrt 9 }} = \frac{{\left| {3 – a} \right|}}{3} = \frac{{a – 3}}{3}$ (Vì a > 3 nên 3 – a < 0 ).

b. $\frac{{\sqrt {75x_{}^5} }}{{\sqrt {5x_{}^3} }} = \sqrt {\frac{{75x_{}^5}}{{5x_{}^3}}} = \sqrt {25x_{}^2} = \sqrt {25} .\sqrt {x_{}^2} = 5\left| x \right|$ = 5x (Do x > 0 ).

c. $\sqrt {\frac{9}{{x_{}^2 – 2x + 1}}} = \sqrt {\frac{9}{{\left( {x – 1} \right)_{}^2}}} = \frac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {\left( {x – 1} \right)_{}^2} }} = \frac{3}{{\left| {x – 1} \right|}} = \frac{3}{{x – 1}}$ (Vì x > 1 nên x – 1 > 0 ).

d. $\sqrt {\frac{{x_{}^2 – 4x + 4}}{{x_{}^2 + 6x + 9}}} = \sqrt {\frac{{\left( {x – 2} \right)_{}^2}}{{\left( {x + 3} \right)_{}^2}}} = \frac{{\sqrt {\left( {x – 2} \right)_{}^2} }}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right)_{}^2} }} = \frac{{\left| {x – 2} \right|}}{{\left| {x + 3} \right|}} = \frac{{x – 2}}{{x + 3}}$ (Vì $x \ge 2$ nên $x – 2 \ge 0$,\,x + 3 > 0 ).

Bài 4 trang 71 Toán 9 Tập 1

Trục căn thức ở mẫu:

a. $\frac{9}{{2\sqrt 3 }}$ ;

b. $\frac{2}{{\sqrt a }}$ với a > 0 ;

c. $\frac{7}{{3 – \sqrt 2 }}$ ;

d. $\frac{5}{{\sqrt x + 3}}$ với x > 0;$x \ne 9$ ;

e. $\frac{{\sqrt 3 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}$ ;

g. $\frac{1}{{\sqrt x – \sqrt 3 }}$ với x > 0,$x \ne 3$

. Hướng dẫn giải:

a. $\frac{9}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }} = \frac{{9\sqrt 3 }}{{2.3}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{6} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}$ .

b. $\frac{2}{{\sqrt a }} = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a .\sqrt a }} = \frac{{2\sqrt a }}{a}$ .

c. $\frac{7}{{3 – \sqrt 2 }} = \frac{{7\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {3 – \sqrt 2 } \right)\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{7\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{9 – 2}} = \frac{{7\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{7} = 3 + \sqrt 2$ .

d. $\frac{5}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{5\left( {\sqrt x – 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} = \frac{{5\left( {\sqrt x – 3} \right)}}{{x – 9}}$ .

e. $\frac{{\sqrt 3 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = \frac{{\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)}} = \frac{{3 – 2\sqrt 6 + 2}}{{3 – 2}} = 5 – 2\sqrt 6$

.

g. $\frac{1}{{\sqrt x – \sqrt 3 }} = \frac{{1\left( {\sqrt x + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt x – \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{\sqrt x + \sqrt 3 }}{{x – 3}}$ .

Bài 5 trang 71 Toán 9 Tập 1

Rút gọn biểu thức: $\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a – \sqrt b }} – \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt a + \sqrt b }} – \frac{{2b}}{{a – b}}$

với $a \ge 0,b \ge 0,a \ne b$

Lời giải
$\frac{\sqrt{a}\sqrt{a} – \sqrt{b} – \sqrt{b}\sqrt{a} + \sqrt{b} – 2b}{a – b}$ = $\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} – \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) – \sqrt{b}(\sqrt{a} – \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} – \sqrt{b}) – 2b}{a – b} = \frac{a – \sqrt{a}b}{a – b} – \frac{\sqrt{a}b – b}{a – b} – \frac{2b}{a – b} = \frac{a – 2\sqrt{a}b – b}{a – b}$.