Giải toán 7 tập 2 trang 75 bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Giải toán 7 tập 2 trang 75 bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Giải toán 7 tập 2 trang 75 bài 7 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Giải toán 7 tập 2 trang 73
Khởi động trang 73 Toán 7 Tập 2:
Đặt đầu bút chì ở điểm nào của tam giác thì ta có thể giữ tấm bìa thăng bằng?
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:
Để giữ được tấm bìa thăng bằng thì ta đặt đầu bút chì tại trọng tâm của tam giác.
Khám phá 1 trang 73 Toán 7 Tập 2:
Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm D của cạnh BC và vẽ đoạn thẳng nối hai điểm A và D.
Lời giải:
Cách vẽ:
– Vẽ tam giác ABC bất kỳ.
– Lấy trung điểm D của cạnh BC.
– Nối A và D ta được đoạn thẳng AD.
Ta có hình vẽ sau:
Thực hành 1 trang 73 Toán 7 Tập 2:
Em hãy vẽ tiếp các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC (Hình 1).
Lời giải:
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và AB.
Nối BE và CF ta được hai đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC.
Ta có hình vẽ sau:
Vận dụng 1 trang 73 Toán 7 Tập 2:
a) Vẽ đường trung tuyến DH của tam giác DEF (Hình 2).
b) Vẽ đường trung tuyến MK của tam giác vuông MNP (Hình 3).
c) Vẽ tam giác nhọn IJK và tất cả các đường trung tuyến của nó.
Lời giải:
a) Vì DH là đường trung tuyến của tam giác DEF nên H là trung điểm của EF.
Ta có hình vẽ sau:
b) Vì MK là đường trung tuyến của tam giác MNP nên K là trung điểm của NP.
Ta có hình vẽ sau:
c) Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh JK, KI, IJ.
Nối ID, JE, KF ta được ba đường trung tuyến của tam giác IJK.
Ta có hình vẽ sau:
Giải toán 7 tập 2 trang 74
Giải Toán 7 trang 74 Tập 2
Khám phá 2 trang 74 Toán 7 Tập 2:
a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện (Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.
Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không?
b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G. Tia AG cắt BC tại D.
Em hãy quan sát và cho biết:
• AD có phải là đường trung tuyến của tam giác ABC không?
Các tỉ số $\dfrac{{BG}}{{BE}}$, $\dfrac{{CG}}{{CF}}$, $\dfrac{{AG}}{{AD}}$bằng bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
a)- Ta xác định trung điểm 1 cạnh bằng cách gấp sao cho 2 đỉnh của tam giác trùng nhau, khi đó giao của nét gấp đi qua 1 cạnh của tam giác sẽ là trung điểm của cạnh đó
– Rồi từ các trung điểm vừa xác định được ta kẻ các đường trung tuyến của tam giác từ các đỉnh
– Nhận xét : Ta thấy 3 đường trung tuyến trong tam giác này đều sẽ đi qua 1 điểm
b)
– Ta nối dài đoạn AG sao cho AG cắt BC tại 1 điểm
– Ta thấy điểm giao nhau giữa AG và BC chính là trung điểm của BC
– Nên AG là trung tuyến của tam giác ABC
– Ta sẽ sử dụng số đo dựa trên các ô để xét tỉ số giữa các đoạn thẳng
$\dfrac{{BG}}{{BE}} = \dfrac{2}{3};\dfrac{{CG}}{{CF}} = \dfrac{4}{6};\dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{{4.4}}{{6.6}}$
– Ta thấy sau khi rút gọn các tỉ số ta có :
$\dfrac{{BG}}{{BE}} = \dfrac{{CG}}{{CF}} = \dfrac{{AG}}{{AD}} = \dfrac{2}{3}$
Giải toán 7 tập 2 trang 75
Thực hành 2 trang 75 toán 7 tập 2
Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM.
Hãy tính các tỉ số:
a) $\dfrac{{GM}}{{AM}}$
b) $\dfrac{{GM}}{{AG}}$
c) $\dfrac{{AG}}{{GM}}$
Hướng dẫn giải:
a) Vì G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM nên theo định lí 3 đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm ta có :
$\dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{2}{3}$$\Rightarrow \dfrac{{GM}}{{AM}} = 1 – \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$
b) Vì $\dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{2}{3}$và $\dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3}$(theo câu a)
$\Rightarrow \dfrac{{GM}}{{AG}} = \dfrac{1}{2}$
c) Vì $\dfrac{{GM}}{{AG}} = \dfrac{1}{2}$(chứng minh b)
$\Rightarrow \dfrac{{AG}}{{GM}} = 2$
Vận dụng 2 trang 75 toán 7 tập 2
Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.
Hướng dẫn giải:
Vì I là trọng tâm tam giác ABC theo giả thiết nên ta có
$AI = \dfrac{2}{3}AO = 2IO$(định lí về trọng tâm trong tam giác)
Tương tự J là trọng tâm tam giác BCD nên ta có :
$DJ = \dfrac{2}{3}OD = 2OJ$(định lí về trọng tâm trong tam giác)
Mà OA = OD (giả thiết)
$\Rightarrow AI = DJ = \dfrac{2}{3}OA = \dfrac{2}{3}OD = 2OI = 2OJ$
Mà OI = OJ do cùng $= \dfrac{1}{3}OA = \dfrac{1}{3}OD$(tính chất trọng tâm trong tam giác)
$\Rightarrow 2OI = 2OJ = 2\dfrac{1}{3}AO = 2\dfrac{1}{3}OD = IJ$
$\Rightarrow AI = DJ = IJ = \dfrac{2}{3}OA = \dfrac{2}{3}OD$(điều phải chứng minh)
Giải bài 1 trang 75 Toán 7 tập 2
Quan sát Hình 8. Thay ? bằng số thích hợp
EG = ..?… EM , GM = ..?.. EM, GM = ..?.. EG, FG = ..?.. GN, FN = ..?.. GN, FN = ..?.. FG
Hướng dẫn giải
Ta thay như sau:
$EG = \frac{2}{3} EM$
$GM = \frac{1}{3} EM$
$GM = \frac{1}{2} GE$
$FG = 2GN$
$FN = 3GN$
$FN = \frac{3}{2} FG$
Giải bài 3 trang 75 Toán 7 tập 2
Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.
a) Chứng minh rằng BG song song với EC.
b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh AF = 2 FI.
Hướng dẫn giải
a) Xét ∆BMG và ∆CME ta có:
BM = CM (M là trung điểm của BC)
$\widehat{BMG} = \widehat{CME}$(hai góc đối đỉnh)
ME = MG (giả thiết)
=> ∆ BMG = ∆ CME (c.g.c)
$=> \widehat{GBM} = \widehat{BCE}$;
Mà hai góc ở vị trị so le trong
=> GB // CE.
b) Xét tam giác ABC có AM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G
=> G là trọng tâm của tam giác ABC
=> AG = 2GM
+ Ta có: GE = GM + EM
=> GE = 2GM (GM = EM)
=> AG = GE
=> G là trung điểm đoạn thẳng AE
=> BG là đường trung tuyến của tam giác ABM.
+ Xét tam giác ABM có: AI và BG là 2 đường trung tuyến
mà AI cắt BG tại F
=> F là trọng tâm của tam giác ABC
=> AF = 2FI.
Giải bài 4 trang 75 Toán 7 tập 2
Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.
a) Chứng minh rằng BM = CN.
b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm BC.
Hướng dẫn giải
a) ∆ ABC cân tại A
=> AB = AC
N là trung điểm của $AB => AN = NB = \frac{1}{2} AB$
M là trung điểm của $AC => AM = MC = \frac{1}{2} AC$
=> AN = AM
Xét ∆ ANC và ∆ AMB ta có:
AB = AC
$\widehat{BAC}$chung
AN = AM
=> ∆ ANC = ∆ AMB (c.g.c)
=> NC = MB
b) 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I
=> I là trọng tâm của ∆ ABC
$=> IB = \frac{2}{3} BM, IC = \frac{1}{2} CN$
Mà BM = CN
=> IB = IC
+ Xét ∆ ACI và ∆ ABI có:
AB = AC
AI chung
IB = IC
=> ∆ ACI = ∆ ABI (c.c.c)
$=> \widehat{BAI} = \widehat{CAI}$
+ Xét ∆ ABH và ∆ ACH có:
AB = AC
$\widehat{BAH} = \widehat{CAH}$
AH chung
=> ∆ ABH = ∆ ACH (c.g.c).
=> BH = CH
=> H là trung điểm của BC.
Giải toán 7 tập 2 trang 76
Giải bài 5 trang 76 Toán 7 tập 2
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đường trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân
Hướng dẫn giải
Gọi O là giao điểm của BM và CN
=> O là trọng tâm của tam giác ABC
$=> CO =\frac{2}{3} CN, BO = \frac{2}{3} BM$
Mà BM = CN
=> CO = BO
=> ∆ OBC cân tại O
$=> \widehat{OBC} = \widehat{OCB}$
Hay $\widehat{MBC} = \widehat{NCB}$
Xét ∆ NBC và ∆ MBC ta có:
CN = BM
$\widehat{MBC} = \widehat{NCB}$
BC chung
=> ∆ NBC = ∆ MBC (c.g.c)
$=> \widehat{MCB} = \widehat{NBC}$
Hay $\widehat{ACB} = \widehat{ABC}$
=> ∆ ABC cân tại A.
Giải bài 6 trang 76 Toán 7 tập 2
Cho tam giác ABC cân tại A có BE và CD là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F (Hình 10). Biết BE = 9 cm, tính độ dài đoạn thẳng DF
Hướng dẫn giải
+ ∆ ABC cân tại A
=> AB = AC
D là trung điểm của$AB => AD = \frac{1}{2}AB$
E là trung điểm của $AC => AE = \frac{1}{2}AC$
=> AD = AE
+ Xét ∆ ABE và ∆ ACD có:
AB = AC
$\widehat{A}$chung
AE = AD
=> ∆ ABE = ∆ ACD (c.g.c)
=> BE = CD = 9cm
+ Xét ∆ ABC có hai đường trung tuyến BE và CD cắt nhau tại F
=> F là trọng tâm của tam giác ABC
$=> DF = \frac{1}{3} DC$
$=> DF = \frac{1}{3}.9 = 3 cm$