Giải toán 8 tập 2 trang 65 Bài 3: Đường trung bình của tam giác
Giải toán 8 tập 2 trang 65 Bài 3: Đường trung bình của tam giác
Giải toán 8 tập 2 trang 65 bài 3 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 8 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Giải toán 8 tập 2 trang 62
HĐ1 trang 62 toán 8 tập 2
Quan sát ta, giác ABC ở Hình 29 và cho biết hai đầu mút D, E của đoạn thẳng DE có đặc điểm gì.
Phương pháp giải:
Quan sát hình và đưa ra nhận xét.
Lời giải chi tiết:
Quan sát hình ta thấy D và trung điểm của đoạn thẳng AB và E là trung điểm của đoạn thẳng AC.
LT1 trang 62 toán 8 tập 2
Vẽ tam giác ABC và các đường trung bình của tam giác đó.
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa đường trung bình để vẽ hình.
Lời giải chi tiết:
– Vẽ tam giác ABC.
– Lấy ba điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
– Nối DF, FE, ED ta được ba đường trung bình của tam giác ABC.
Giải toán 8 tập 2 trang 63
HĐ 2 Trang 63 toán 8 tập 2
Cho tam giác ABC có MN là đường trung bình (Hình 31).
a) MN có song song với BC hay không? Vì sao?
b) Tỉ số $\frac{{MN}}{{BC}}$ bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
a) Sử dụng định lý Thales đảo để xét khả năng song song của BC và MN.
b) Sử dụng hệ quả của định lý Thales để tính tỉ số.
Lời giải chi tiết:
a) Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên M là trung điểm AB và N là trung điểm AC.
Khi đó $\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}$ suy ra $MN\parallel BC$ (Định lý Thales đảo trong tam giác ABC).
b) M là trung điểm AB nên $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}$.
Xét tam giác ABC với $MN\parallel BC$ ta có:
$\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}$ (Hệ quả của định lý Thales).
Giải toán 8 tập 2 trang 64
LT2 trang 64 toán 8 tập 2
Cho hình thang ABCD $\left( {AB\parallel CD} \right)$. Giả sử M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC. Chứng minh:
a) M, N, P thẳng hàng
b) $MN = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)$.
Phương pháp giải:
a) Chứng minh MP và PN lần lượt là đường trung bình của hai tam giác ADC và ABC.
b) Sử dụng định lý đường trung bình của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó để chứng minh.
Lời giải chi tiết:
a) Vì M và P lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD, AC nên MP là đường trung bình của tam giác ADC.
$ \Rightarrow MP\parallel AB\parallel CD\,\,\left( 1 \right)$
Vì P và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.
$ \Rightarrow PN\parallel AB\parallel CD\,\,\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) ta có $MP \equiv PN$ hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.
b) Vì MP là đường trung bình của tam giác ADC nên $MP = \frac{1}{2}DC$.
Vì PN là đường trung bình của tam giác ABC nên $PN = \frac{1}{2}AB$.
Ta có:
$MN = MP + PN = \frac{1}{2}DC + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\left( {DC + AB} \right)$
Vậy $MN = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)$.
Giải toán 8 tập 2 trang 65
Giải Bài 1 trang 65 Toán 8 tập 2 Cánh diều
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AB, điểm N thuộc cạnh AC thỏa mãn MN // BC. Chứng minh NA = NC và MN = $\frac{1}{2}$BC.
Hướng dẫn giải
– Vì MN // BC nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$
Mà AM = MB (M là trung điểm của AB)
Suy ra: AN = NC.
– Vì MN // BC nên ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$
Mà AM = $\frac{1}{2}$AB (M là trung điểm của AB)
Do đó: MN = $\frac{1}{2}$BC.
Giải Bài 2 trang 65 Toán 8 tập 2 Cánh diều
Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N, P phân biệt thuộc cạnh AB sao cho AP = PN = NB. Gọi Q là giao điểm của AM và CP. Chứng minh:
a) MN // CP;
b) AQ = QM;
c) CP = 4PQ.
Hướng dẫn giải
a) Tam giác BCP có: PN = NB; BM = MC (M là trung điểm của BC)
Suy ra: $\frac{BN}{NP}=\frac{BM}{MC}$
Do đó: MN // CP (Định lí Thalès).
b) Tam giác AMN có: MN // PQ (MN // CP, Q $\in$ CP)
Suy ra: $\frac{AP}{PN}=\frac{AQ}{QM}$
Mà AP = PN
Do đó: AQ = QM.
c) Do MN // PQ nên $\frac{PQ}{NM}=\frac{AP}{AN}$
Mà AP = $\frac{1}{2}$AN
Suy ra: PQ = $\frac{1}{2}$NM. (1)
Do MN // CP nên $\frac{NM}{CP}=\frac{BN}{BP}$
Mà BN = $\frac{1}{2}$BP
Suy ra: NM = $\frac{1}{2}$CP. (2)
Từ (1)(2) suy ra: PQ = $\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}$CP = $\frac{1}{4}$CP hay CP = 4PQ.
Giải Bài 3 trang 65 Toán 8 tập 2 Cánh diều
Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Cho AC = BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
c) Cho AC $\perp$ BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
a) Tam giác ABD có: M, Q lần lượt là trung điểm của AB, DA.
Suy ra: MQ là đường trung bình nên MQ // BD (1)
Tam giác BDC có: N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD.
Suy ra: NP là đường trung bình nên NP // BD (2)
Từ (1)(2) suy ra: MQ // NP (3)
Tam giác ABC có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Suy ra: MN là đường trung bình nên MN // AC (4)
Tam giác ADC có: P, Q lần lượt là trung điểm của CD, DA.
Suy ra: PQ là đường trung bình nên PQ // AC (5)
Từ (4)(5) suy ra: MN // PQ (6)
Từ (3)(6) suy ra: MNPQ là hình bình hành.
b) MQ là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra MQ = $\frac{1}{2}$BD
NP là đường trung bình của tam giác BDC, suy ra NP = $\frac{1}{2}$BD
MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN = $\frac{1}{2}$AC
PQ là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra PQ = $\frac{1}{2}$AC
Mà AC = BD
Do đó: MQ = NP = MN = PQ
Mà MNPQ là hình bình hành (cmt)
Suy ra: MNPQ là hình thoi.
c) Ta có: MQ // BD; MN // AC
Mà AC $\perp$ BD
Suy ra: MQ $\perp$ MN
Mà MNPQ là hình bình hành (chứng minh câu a)
Do đó: MNPQ là hình chữ nhật.
Giải Bài 4 trang 65 Toán 8 tập 2 Cánh diều
Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BH, HC, CA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải
Tam giác ABH có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, BH.
Suy ra: MN là đường trung bình nên MN // AH và MN = $\frac{1}{2}$AH (1)
Tam giác ACH có: P, Q lần lượt là trung điểm của CH, AC.
Suy ra: PQ là đường trung bình nên PQ // AH và PQ = $\frac{1}{2}$AH (2)
Từ (1)(2) suy ra: MN // PQ và MN = PQ.
Do đó: MNPQ là hình bình hành (3)
Ta có: MN // AH
Mà AH $\perp$ BC (H là trực tâm tam giác ABC)
Suy ra: MN $\perp$ BC
Mà MQ // BC (MQ là đường trung bình của tam giác ABC)
Do đó: MN $\perp$ MQ (4)
Từ (3)(4) suy ra: MNPQ là hình chữ nhật.
Giải Bài 5 trang 65 Toán 8 tập 2 Cánh diều
Trong Hình 36, ba cạnh màu vàng AB, BC, CA gợi nên hình ảnh tam giác ABC và đoạn thẳng màu xanh MN là một đường trung bình của tam giác đó. Bạn Duyên đứng ở phía dưới đo khoảng cách giữa hai chân cột số 1 và số 2, từ đó ước lượng được độ dài đoạn thẳng MN khoảng 4,5 m. Khoảng cách giữa hai mép dưới của mái được tính bằng độ dài đoạn thẳng BC. Hỏi khoảng cách đó khoảng bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải
Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN = $\frac{1}{2}$BC hay BC = 2MN
Mà khoảng cách giữa hai mép dưới của mái được tính bằng độ dài đoạn thẳng BC
Suy ra: Khoảng cách đó bằng 2MN hay bằng 2.4,5 = 9 m.