Toán 11 tập 2 trang 65 Bài tập cuối chương 7

Giải toán 11 tập 2 trang 65 Bài tập cuối chương 7 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 2 trang 64

Bài 7.33 trang 64 Toán 11 tập 2

Cho các phát biểu sau:

(1) Hai mặt phẳng (P) và (Q) có giao tuyến là đường thẳng a và cùng vuông góc với
mặt phẳng (R) thì a ⊥ (R).

(2) Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và có giao tuyến là đường thẳng a, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng a thì b ⊥ (Q).

(3) Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và a vuông góc với (Q) thì (P) ⊥ (Q).

(4) Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) thì a ⊥ (Q).

Số phát biểu đúng trong các phát biểu trên là:
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Bài làm

Đáp án C

Bài 7.34 trang 64 Toán 11 tập 2

Cho mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) và a là giao tuyến của (P) và (Q). Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào đúng?

A. Đường thẳng d nằm trên (Q) thì d vuông góc với (P).

B. Đường thẳng d nằm trên (Q) và d vuông góc với a thì d vuông góc với (P).

C. Đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với (P).

D. Đường thẳng d vuông góc với (Q) thì d vuông góc với (P).

Bài làm

Đáp án C

Bài 7.35 trang 64 Toán 11 tập 2

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Số đo của góc nhị diện [S,AB,C] bằng $\widehat{SBC}$.

B. Số đo của góc nhị diện [D,SA,B] bằng 90^∘.

C. Số đo của góc nhị diện [S, AC,B] bằng 90^∘.

D. Số đo của góc nhị diện [D, SA,B] bằng $\widehat{BSD}$.

Bài làm

Đáp án D

Bài 7.36 trang 64 Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD).

Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).

B. Đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).

C. Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD).

D. Đường thẳng AD vuông góc với mặt phẳng (SAB).

Bài làm

Đáp án C

Bài 7.37 trang 64 Toán 11 tập 2

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng S, chiều cao bằng h là:

A. V = S.h

B. V = $\frac{1}{2}$ S.h

C. V = $\frac{1}{3}$ S.h

D. V = $\frac{2}{3}$ S.h

Bài làm

Đáp án C

Toán 11 tập 2 trang 65

Bài 7.38 trang 65 Toán 11 tập 2

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = $a\sqrt{2}$ và OC = 2a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC).

Bài làm

Ta có $OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right);BC \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC$

Trong (OBC) kẻ $OD \bot BC$

$\begin{array}{l} \Rightarrow BC \bot \left( {OAD} \right);BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {OAD} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {OAD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AD\end{array}$

Trong (OAD) kẻ $OE \bot AD$

$ \Rightarrow OE \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = OE$

Xét tam giác OBC vuông tại O có

$\frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow OD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$

Xét tam giác OAD vuông tại O có

$\frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{4{a^2}}} \Rightarrow OE = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}$

Vậy $d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 7 }}{7}$

Bài 7.39 trang 65 Toán 11 tập 2

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại A, tam giác BCD cân tại D. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh rằng BC ⊥ (AID).

b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng AH ⊥ (BCD).

c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.

Bài làm

a) Xét tam giác ABC cân tại A có

I là trung điểm của BC

$ \Rightarrow AI \bot BC$

Xét tam giác ACD cân tại D có

I là trung điểm của BC

$ \Rightarrow DI \bot BC$

Ta có $AI \bot BC,DI \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {AID} \right)$

b) $BC \bot \left( {AID} \right);BC \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow \left( {BCD} \right) \bot \left( {AID} \right)$

$\left( {BCD} \right) \cap \left( {AID} \right) = DI$

Trong (AID) có $AH \bot DI$

$ \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)$

c) Ta có $BC \bot \left( {AID} \right);IJ \subset \left( {AID} \right) \Rightarrow BC \bot IJ$

Mà $IJ \bot AD$

Do đó IJ là đường vuông góc chung của AD và BC

Bài 7.40 trang 65 Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a và $\widehat{CAB}$ = 30^∘. Biết SA ⊥ (ABC) và SA = $a\sqrt{2}$.

a) Chứng minh rằng (SBC) ⊥ (SAB).

b) Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Bài làm

a) Ta có SA ⊥ (ABC) nên (SAB) ⊥ (ABC) . Mặt khác, AB ⊥ BC nên (SAB) ⊥ (SBC). Từ đó suy ra (SBC) ⊥ (SAB) .

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC .

Do SA ⊥ (ABC) nên AH ⊥ BC .

Vậy AH là đường cao của tam giác vuông ABC, nên AH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có$SC = \sqrt{SA^2 – AC^2} = a (vì AC = 2AB = 2\cdot\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3} )$

SB = AB = $\frac{a}{\sqrt{3}}$, SC = a

$BC = a\sqrt{2} , \widehat{BSC} = 90^\circ$

Vậy diện tích của tam giác SBC là $S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot SC = \frac{a^2}{2\sqrt{3}}$

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là $\frac{S_{SBC}}{BC} = \frac{a}{2\sqrt{6}}$

Bài 7.41 trang 65 Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại S và (SAD) ⊥ (ABCD).

a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Bài làm

Lời giải

a) Trong (SAD) kẻ $SE \bot AD$

Mà $\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD \Rightarrow SE \bot \left( {ABCD} \right)$

Xét tam giác SAD vuông cân tại S có

$SE \bot AD$

$ \Rightarrow $ E là trung điểm của AD

$ \Rightarrow SE = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}$

Diện tích hình vuông ABCD là ${S_{ABCD}} = {a^2}$

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}SE.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}$

b) Trong (ABCD) kẻ EF // AB mà $AB \bot BC \Rightarrow EF \bot BC$

mà $SE \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SEF} \right);BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SEF} \right) \bot \left( {SBC} \right)$

$\left( {SEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF$

Trong (SEF) kẻ $EG \bot SF$

$ \Rightarrow EG \bot \left( {SBC} \right)$

Ta có AD // BC nên AD // (SBC)

$ \Rightarrow d\left( {AD,SC} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {E,\left( {SBC} \right)} \right) = EG$

Vì ABCD là hình vuông và EF // AB nên EF = AB = a

Xét tam giác SEF vuông tại E có

$\frac{1}{{E{G^2}}} = \frac{1}{{S{E^2}}} + \frac{1}{{E{F^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow EG = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}$

Vậy $d\left( {AD,SC} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}$

Bài 7.42 trang 65 Toán 11 tập 2

ABCD.A′B′C′D′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a, AA′ ⊥ (ABCD) và $\widehat{BAD}$ = 60^∘.

a) Tính thể tích của khối hộp ABCD.A′B′C′D′.

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A′BD).

Bài làm

a) Diện tích tam giác ABD bằng diện tích tam giác BCD vì chung đáy BD và chiều cao AO = OC (ABCD là hình thoi)

Diện tích tam giác ABD: ${S_{ABD}} = \frac{1}{2}AB.AD.\sin \widehat {BAD} = \frac{1}{2}a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

$ \Rightarrow S = 2{S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

Thể tích khối hộp là $V = AA’.{S_{ABCD}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$

b) Gọi $AC \cap BD = \left\{ O \right\}$

Ta có $AA’ \bot BD,AO \bot BD \Rightarrow BD \bot \left( {A’AO} \right);BD \subset \left( {A’BD} \right) \Rightarrow \left( {A’AO} \right) \bot \left( {A’BD} \right)$

$\left( {A’AO} \right) \cap \left( {A’BD} \right) = A’O$

Trong (A’AO) kẻ $AE \bot A’O$

$ \Rightarrow AE \bot \left( {A’BD} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right) = AE$

Xét tam giác ABD có AB = AD và $\widehat {BAD} = {60^0}$ nên tam giác ABD đều

$ \Rightarrow OA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác AOA’ vuông tại A có

$\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{{A’}^2}}} + \frac{1}{{O{A^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow AE = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$

Vậy $d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$

Bài 7.43 trang 65 Toán 11 tập 2

Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. Biết A’.ABCD là hình chóp đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau và bằng a. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và thể tích của khối chóp A’.BB’C’C.

Bài làm

Gọi $AC \cap BD = \left\{ O \right\}$ mà A’.ABCD là hình chóp đều nên $A’O \bot \left( {ABCD} \right)$

Xét tam giác ABC vuông tại B có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 $

$ \Rightarrow OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác A’AO vuông tại O có

$A’O = \sqrt {A{{A’}^2} – A{O^2}}  = \sqrt {{a^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

${S_{ABCD}} = {a^2}$

Vậy khối chóp có thể tích $V_{chóp} = \frac{1}{3}A’O.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.$

Nếu hình lăng trụ $ABCD.A’B’C’D’$ xoay lại thành hình lăng trụ AA’D’D.BB’C’C thì thể tích không thay đổi do đó thể tích hình chóp $A’.BB’C’C$ bằng 1/3 thể tích hình lăng trụ AA’D’D.BB’C’C vì chung đáy và chung chiều cao kẻ từ A’ xuống đáy BB’C’C.

Thể tích khối lăng trụ là ${V_{lăng trụ}} = 3.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{2}}.$

Bài 7.44 trang 65 Toán 11 tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB // CD và AB = BC = DA = a, CD = 2a. Biết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = $a\sqrt{2}$ tích của khối chóp S.ABCD.

Lời giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Mà $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Kẻ $AK \bot DC$ tại K $ \Rightarrow DK = \frac{{DC – AB}}{2} = \frac{a}{2}$

Xét tam giác ADK vuông tại K có

$AK = \sqrt {A{D^2} – D{K^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác AKC vuông tại K có

$AC = \sqrt {A{K^2} + K{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2}}  = a\sqrt 3 $

Ta có AB // CD nên $\frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow OA = \frac{1}{3}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Xét tam giác SAO vuông tại O có

$SO = \sqrt {SA{^2} – A{O^2}}  = \sqrt {{({a \sqrt 2})^2} – {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {15} }}{3}$

Diện tích đáy ABCD là:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} (AB+CD).AK = \frac{1}{2} (a+2a).\frac{{a\sqrt {3} }}{2} =  \frac {3a^2\sqrt{3}}{4}$

Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

$V_{S.ABCD} = \frac {1}{3} .SO.S_{ABCD} = \frac {1}{3}.\frac{{a\sqrt {15} }}{3}.\frac {3a^2\sqrt{3}}{4} = \frac {a^3\sqrt5}{4}$

Bài 7.45 trang 65 Toán 11 tập 2

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột AB có chiều dài bằng 10 m và tạo với mặt đất góc 80^∘. Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng BC của cây cột trên mặt đất dài 12 m vào tạo với cây cột một góc bằng 120^∘ (tức là $\widehat{ABC}$ = 120^∘). Tính góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên.

Lời giải

Góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên là $\widehat {ACH}$

Xét tam giác ABC có

$\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} – 2AB.BC.\cos \widehat {ABC} = {10^2} + {12^2} – 2.10.12.\cos {120^0} = 364\\ \Rightarrow AC = 2\sqrt {91} \left( m \right)\end{array}$

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt đất

Xét tam giác ABH vuông tại H có

$AH = 10.\sin {80^0}$

Xét tam giác ACH vuông tại H có

$\sin \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{10\sin {{80}^0}}}{{2\sqrt {91} }} \Rightarrow \widehat {ACH} \approx {31^0}$

Vậy góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên khoảng 31⁰.