Toán 11 tập 2 trang 96 Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Giải toán 11 tập 2 trang 96 Bài 33 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 2 trang 95

HĐ 1 trang 95 toán 11 tập 2

a) Gọi $g\left( x \right)$ có đạo hàm của hàm số $y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right).$ Tìm $g\left( x \right)$.

b) Tính đạo hàm của hàm số $y = g\left( x \right)$.

Lời giải:

a) $g’\left( x \right) = y’ = {\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)^,}.\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$

b) $g’\left( x \right) =  – 2{\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)^,}.\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) =  – 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$

LT 1 trang 95 toán 11 tập 2

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = x{e^{2x}};$

b) $y = \ln \left( {2x + 3} \right).$

Lời giải:

a) $y’ = {e^{2x}} + 2x{e^{2x}} \Rightarrow y” = 2{e^{2x}} + 2\left( {{e^{2x}} + 2x{e^{2x}}} \right) = 4{e^{2x}} + 4x{e^{2x}}$

b) $y’ = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^,}}}{{2x + 3}} = \frac{2}{{2x + 3}} \Rightarrow y” = \frac{{ – 2.{{\left( {2x + 3} \right)}^,}}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ – 4}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}$

Toán 11 tập 2 trang 96

HĐ 2 trang 96 toán 11 tập 2

Xét một chuyển động có phương trình $s = 4\cos 2\pi t.$

a) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

b) Tính gia tốc tức thời tại thời điểm t.

Lời giải:

a) Ta có $v = s’ =  – 4.2\pi \sin 2\pi t =  – 8\pi \sin 2\pi t$

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là $ – 8\pi \sin 2\pi t$

b) $a\left( t \right) = v’\left( t \right) = {\left( { – 8\pi \sin 2\pi t} \right)^,} =  – 8\pi .2\pi \cos 2\pi t =  – 16{\pi ^2}\cos 2\pi t$

VD trang 96 toán 11 tập 2

Một vật chuyển động thẳng có phương trình $s = 2{t^2} + \frac{1}{2}{t^4}$ (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.

Lời giải:

Vận tốc tại thời điểm t là $v\left( t \right) = s’ = 4t + 2{t^3}$

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là $a\left( t \right) = v’\left( t \right) = 4 + 6{t^2}$

Tại thời điểm t = 4 giây, gia tốc của vật là $a\left( 4 \right) = 4 + {6.4^2} = 100$(m/s²)

Bài 9.13 trang 96 toán 11 tập 2

Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^2}{e^x}.$ Tính $f”\left( 0 \right).$

Lời giải

Ta có $f’\left( x \right) = 2x{e^x} + {x^2}{e^x} \Rightarrow f”\left( x \right) = 2\left( {{e^x} + x{e^x}} \right) + 2x{e^x} + {x^2}{e^x} = 2{e^x} + 4x{e^x} + {x^2}{e^x}$

Vậy $f”\left( 0 \right) = 2.$

Bài 9.14 trang 96 toán 11 tập 2

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = \ln \left( {x + 1} \right);$

b) $y = \tan 2x.$

\right).$

Lời giải

a) $y’ = \frac{1}{{x + 1}} \Rightarrow y” = \frac{{ – 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

b) $y’ = \frac{2}{{{{\cos }^2}2x}} \Rightarrow y” = \frac{{ – 2.{{\left( {{{\cos }^2}2x} \right)}^,}}}{{{{\cos }^4}2x}} = \frac{{ – 2.2\cos 2x.{{\left( {\cos 2x} \right)}^,}}}{{{{\cos }^4}2x}} = \frac{{4.2\sin 2x}}{{{{\cos }^3}2x}} = \frac{{8\sin 2x}}{{{{\cos }^3}2x}}$

Bài 9.15 trang 96 toán 11 tập 2

Cho hàm số $P\left( x \right) = a{x^2} + bx + 3$ (a, b là hằng số). Tìm a, b biết $P’\left( 1 \right) = 0$ và $P”\left( 1 \right) =  – 2.$

Lời giải

Ta có $P’\left( x \right) = 2ax + b \Rightarrow P”\left( x \right) = 2a$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}P’\left( 1 \right) = 2a + b = 0\\P”\left( 1 \right) = 2a =  – 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  – 1\\b = 2\end{array} \right.$

Bài 9.16 trang 96 toán 11 tập 2

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).$ Chứng minh rằng $\left| {f”\left( x \right)} \right| \le 4$ với mọi x.

Lời giải

Ta có $f’\left( x \right) = 2.2\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).{\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^,} = 4\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)$

$ \Rightarrow f”\left( x \right) = 2.2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = 4\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)$

Mặt khác $ – 1 \le \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  – 4 \le f”\left( x \right) \le 4$

Vậy $\left| {f”\left( x \right)} \right| \le 4$ với mọi x.

Bài 9.17 trang 96 toán 11 tập 2

Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi $s\left( t \right) = 10 + 0,5\sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{5}} \right),$ trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải

Vận tốc tại thời điểm t là $v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 0,5.2\pi \cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{5}} \right) = \pi \cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)$

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là $a\left( t \right) = v’\left( t \right) =  – \pi .2\pi \sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{5}} \right) =  – 2{\pi ^2}\sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{5}} \right)$

Tại thời điểm t = 5 giây, gia tốc của vật là $a\left( 5 \right) =  – 2{\pi ^2}\sin \left( {2\pi .5 + \frac{\pi }{5}} \right) \approx  – 11,6$(cm/s²)