Giải Toán 11 tập 1 trang 33 Bài 4:Hàm số lượng giác và đồ thị

Giải toán 11 tập 1 trang 33 Bài 4 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải Toán 11 tập 1 trang 25

Hoạt động 1 trang 25 Toán 11 tập 1

Cho số thực t và M là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo t rad trên đường tròn lượng giác. Sử dụng định nghĩa của các giá trị lượng giác, hãy giải thích vì sao xác định duy nhất:

a) Giá trị sint và cost

b) Giá trị tant (nếu $t \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$) và $\cot t$(nếu $t \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}$).

Lời giải:

a) Ta thấy $\sin t = {y_M}$ là tung độ của điểm M trên đường tròn lượng giác và c$\cos t = {x_M}$ là hoành độ của điểm M trên đường tròn lượng giác.

Với mỗi điểm M xác định, ta chỉ có 1 tung độ và hoành độ duy nhất

Nên ta chỉ xác định duy nhất giá trị sint và cost.

b,

Nếu $t \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$, ta có: $\tan t = \frac{{\sin t}}{{{\rm{cost}}}} = \frac{{{y_M}}}{{{x_M}}}$( ${x_M} \ne 0$)

Nếu $t \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}$, ta có: $\cot t = \frac{{{\rm{cost}}}}{{{\rm{sint}}}} = \frac{{{x_M}}}{{{y_M}}}$( ${y_M} \ne 0$)

Do ${x_M}$, ${y_M}$xác định duy nhất nên $\tan t$, $\cot t$xác định duy nhất.

Giải Toán 11 tập 1 trang 26

Hoạt động 2 trang 26 Toán 11 tập 1

Xét hai hàm số $y = {x^2},y = 2x$ và đồ thị của chúng trong Hình 2. Đối với mỗi trường hợp, nêu mối liên hệ của giá trị hàm số tại 1 và -1, 2 và -2. Nhận xét về tính đối xứng của mỗi đồ thị hàm số.

Lời giải:

* Hàm số $y = {x^2}$

Nhìn đồ thị ta thấy:

+ $y(1) = y( – 1) = 1,y(2) = y( – 2) = 4$

+ Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy.

* Hàm số $y = 2x$

Nhìn đồ thị ta thấy:

+ $y(1) =  – y( – 1),y(2) =  – y( – 2)$

+ Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm O.

Giải Toán 11 tập 1 trang 27

Thực hành 1 trang 27 Toán 11 tập 1

Chứng minh rằng hàm số y = sinx và hàm số y = cotx là các hàm số lẻ.

Lời giải:

* Hàm số $y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$

Tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}$.

Với mọi $x \in \mathbb{R}$thì $ – x \in \mathbb{R}$ và ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\left( { – x} \right) =  – {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x$.

Vậy nên $y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$ là hàm số lẻ.

* Hàm số $y = \cot x$

Tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Với mọi $x \in \mathbb{R}$thì $ – x \in \mathbb{R}$ và $\cot \left( { – x} \right) =  – \cot x$.

Vậy nên $y = \cot {\rm{x}}$ là hàm số lẻ.

Hoạt động 3 trang 27 Toán 11 tập 1

Hãy chỉ ra một số thực T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Lời giải:

Do $\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x$,$k \in \mathbb{Z}$.

$ \Rightarrow \sin \left( {x + 2\pi } \right) = \sin x$

Nên $T = 2\pi $.

Thực hành 2 trang 27 Toán 11 tập 1

Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cosx và hàm số y = cotx

Lời giải:

* Hàm số y = cosx

+ Tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}$.

+ Với mọi $x \in \mathbb{R}$ta có $x \pm 2\pi  \in D$ và$\cos (x + 2\pi ) = \cos (x)$

Vậy hàm số y = cosx là hàm tuần hoàn vỡi chu kì $T = 2\pi $.

* Hàm số y = cotx

+ Tập xác định ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

+ Với mọi $x \in \mathbb{R}$ta có $x \pm \pi  \in D$ và$\cot (x + \pi ) = \cot (x)$

Vậy hàm số y = cosx là hàm tuần hoàn vỡi chu kì $T = \pi $.

Giải Toán 11 tập 1 trang 28

Hoạt động 4 trang 28 Toán 11 tập 1

Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Lời giải:

Hoạt động 5 trang 28 Toán 11 tập 1

Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Lời giải:

Giải Toán 11 tập 1 trang 30

Thực hành 3 trang 30 Toán 11 tập 1

Li độ s (cm) của một con lắc đồng hộ theo thời gian t (giây) được cho bởi hàm số $s = 2\cos \pi t$. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy xác định ở các thời điểm t nào trong 1 giây đầu thì li độ s nằm trong đoạn $\left[ { – 1;1} \right]\,\,(cm)$.

Lời giải:

Ta có: $s \in \left[ { – 1;1} \right]\, \Leftrightarrow  – 1 \le 2\cos \pi t \le 1$

$ \Leftrightarrow  – \frac{1}{2} \le \cos \pi t \le \frac{1}{2}$

Trong 1 giây đầu tiên $0 < t < 1$ $ \Rightarrow 0 < \pi t < \pi $.

Đồ thị hàm số $y = cosx$ trên $\left[ {0;\pi } \right]$:

Dựa vào đồ thị ta thấy $ – \frac{1}{2} \le \cos \pi t \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} \le \pi t \le \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le \frac{2}{3}$

Vậy $t \in \left[ {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right]\,$.

Hoạt động 6 trang 30 Toán 11 tập 1

Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Lời giải:

Giải Toán 11 tập 1 trang 31

Hoạt động 7 trang 31 Toán 11 tập 1

Hoàn thành bảng giá trị sau đây:

Lời giải:

Giải Toán 11 tập 1 trang 32

Thực hành 4 trang 32 Toán 11 tập 1

Có bao nhiêu giá trị x trên đoạn $\left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]$ thỏa mãn điều kiện $\tan x = 2$?

Lời giải:

Từ đồ thị ta thấy có 4 giá trị x trên đoạn $\left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]$ thỏa mãn điều kiện $\tan x = 2$

Thực hành 3 trang 32 Toán 11 tập 1

Cho hàm số $y = \cos x$ với $x \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\pi } \right]$.

a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

b) Tại các điểm nào thì giá trị hàm số lớn nhất?

c) Tìm các giá trị của x thuộc $\left[ {\frac{{ – \pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right]$ sao cho $\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) < 0$.

Lời giải:

a) Ta có đồ thị hàm số $y = \cos x$ với $x \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\pi } \right]$ như hình dưới:

b) Tại điểm x =0 thì giá trị hàm số lớn nhất.

c) Do $x \in \left[ {\frac{{ – \pi }}{4};\frac{{5\pi }}{4}} \right]$ nên $\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ {\frac{{ – \pi }}{2};\pi } \right]$.

Để $\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) < 0$ thì $\left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) \in \left[ {\frac{{ – \pi }}{2};0} \right]$.

Suy ra $x \in \left[ {\frac{{ – \pi }}{4};\frac{\pi }{4}} \right]$.

Vận dụng 2 trang 32 Toán 11 tập 1

Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong Hình 10. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến ${0^o}$ làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ ${\varphi ^o}$ $( – {90^o} < \varphi  < {90^o})$ được cho bởi hàm số $y = 20\tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right)$ (cm). Sử dụng đồ thị hàm số tang, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo 20cm trên bản đồ.

Lời giải:

Ta có điểm nằm cách xích đạo 20cm có y = 20 hoặc y = – 20 nên $\tan \left( {\frac{\pi }{{180}}\varphi } \right) =  – 1$.

Vì $ – {90^o} < \varphi  < {90^o}$ nên $ – \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{{180}}\varphi  < \frac{\pi }{2}$.

Đặt $x = \frac{\pi }{{180}}\varphi $ với $ – \frac{\pi }{2} < x < \frac{\pi }{2}$. Ta có đồ thị:

Từ đồ thị, ta có:

y = 1 khi $x = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \frac{\pi }{{180}}\varphi  = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \varphi  = {45^o}$.

y = -1 khi $x =  – \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \frac{\pi }{{180}}\varphi  =  – \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \varphi  =  – {45^o}$.

Vậy trên bản đồ, các điểm nằm ở vĩ độ ${45^o}$ Bắc và ${45^o}$ Nam nằm cách xích đạo 20 cm.

Giải bài 1 trang 32 Toán 11 tập 1

a, $y = 5si{n^2}\alpha  + 1$

b, $y = cosx + sinx$

c, $y = tan2x$

Lời giải

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

+ $\forall \alpha  \in D$ thì $ – \alpha  \in D$

+ Và $f( – \alpha ) = 5si{n^2}( – \alpha ) + 1 = 5{( – sin\alpha )^2} + 1 = 5si{n^2}\alpha  + 1 = f(\alpha )$.

Vậy hàm số $y = 5si{n^2}\alpha  + 1$ là hàm số chẵn.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

+ $\forall x \in D$ thì $ – x \in D$

+ Và $f( – x) = cos( – x) + sin( – x) = \cos x – \sin x$.

$ \Rightarrow f( – x) \ne f(x),\,f( – x) \ne  – f(x)$.

Vậy hàm số $y = cosx + sinx$ là hàm không chẵn, không lẻ.

c) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right\}$

+ $\forall x \in D$ thì $ – x \in D$

+ Và $f( – x) = tan2( – x) =  – tan2x =  – f(x)$

Vậy hàm số $y = tan2x$ là hàm số lẻ.

Giải bài 2 trang 32 Toán 11 tập 1

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

$\begin{array}{l}a)\;y = \frac{1}{{cosx}}\\b)\;y = tan(x + \frac{\pi }{4})\\c)\;y = \frac{1}{{2 – si{n^2}x}}\end{array}$

Lời giải

a) Hàm số y xác định khi $cosx \ne 0 \Leftrightarrow \;x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

b) Hàm số y xác định khi $cos(x + \frac{\pi }{4}) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi $

$ \Rightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi $
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

c) Hàm số y xác định khi $2 – si{n^2}x \ne 0$ $ \Leftrightarrow si{n^2}x \ne 2$

Mà $0 \le si{n^2}x \le 1$$ \Rightarrow si{n^2}x \ne 2,\,\forall x$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.

Giải Toán 11 tập 1 trang 33

Giải bài 3 trang 33 Toán 11 tập 1

Tìm tập giá trị của hàm số $y = 2cosx{\rm{ }} + {\rm{ }}1$

Lời giải

$y = 2cosx{\rm{ }} + {\rm{ }}1$

Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có: $ – 1 \le cosx \le 1$

Suy ra$ – 1 \le 2cosx + 1 \le 3$

Vậy tập giá trị của hàm số y là [−1;3].

Giải bài 4 trang 33 Toán 11 tập 1

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = sinx$, xác định các giá trị $x \in [ – \pi ;\pi ]\;$thoả mãn $sinx = \frac{1}{2}$

Lời giải

Đồ thị của hàm số $y = sinx$ trên đoạn $[ – \pi ;\pi ]\;$ là:

Ta thấy đồ thị hàm số giao với đường thẳng d: $y = \frac{1}{2}$ tại 2 điểm do đó phương trình $sinx = \frac{1}{2}$ có hai giá trị x thỏa mãn.

Giải bài 5 trang 33 Toán 11 tập 1

Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác $\alpha \; = \;(Ox,OM)$ theo hàm số ${v_x} = 0,3sin\alpha \;$ (m/s) (Hình 11).

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ${v_x}$

b) Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết trong vòng quay đầu tiên $(0 \le \alpha  \le 2\alpha )$, góc $\alpha $ở trong các khoảng nào thì ${v_x}$ tăng.

Lời giải

a) Do $ – 1 \le sin\alpha  \le 1\;$nên $ – 0,3 \le sin\alpha  \le 0,3$

Vậy giá trị lớn nhất của ${v_x}$ là 0,3 (m) và giá trị nhỏ nhất của ${v_x}$ là -0,3 (m).

b) Ta có đồ thị hàm số:

Với góc $\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ hoặc $\alpha  \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)$ thì ${v_x}$ tăng.

Giải bài 6 trang 33 Toán 11 tập 1

Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12)

a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc $\alpha  = (OA,OG)$

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.

Lời giải

a) Điểm G là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo $\alpha $. Khi đó tọa độ điểm $G\left( {3cos\alpha ;{\rm{ }}3sin\alpha } \right)$.

Chiều cao của gàu ở vị trí G đến mặt nước là: $3{\rm{ }} + {\rm{ }}3sin\alpha $ (m).

b) b) Khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m khi $3 + 3sin\alpha  = 1,5 \Leftrightarrow sin\alpha {\rm{ }} = \frac{{ – 1}}{2}$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha  = \frac{{ – \pi }}{6} + k2\pi }\\{\alpha  = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.$

Một vòng quay là 30 giây và t nằm trong khoảng từ 0 đến 1 phút do đó t ∈ [0; 2π].

Guồng quay mỗi vòng trong 30 giây nên 1 phút guồng quay được 2 vòng, tương ứng với $4\pi $. Vậy khi gàu cách mặt nước 1,5m thì $\alpha  = \frac{{7\pi }}{6},\alpha  = \frac{{19\pi }}{6},\alpha  = \frac{{11\pi }}{6},\alpha  = \frac{{23\pi }}{6}.$

Guồng quay 1 vòng tương đương với góc $2\pi $ hết 30 giây nên để quay hết $\frac{\pi }{6}$ vòng mất 2,5 giây.

Guồng quay 1 góc $\alpha  = \frac{{7\pi }}{6}$ hết 17,5 giây.

Guồng quay 1 góc $\alpha  = \frac{{19\pi }}{6}$ hết 47,5 giây.

Guồng quay 1 góc $\alpha  = \frac{{11\pi }}{6}$ hết 27,5 giây.

Guồng quay 1 góc $\alpha  = \frac{{23\pi }}{6}$ hết 57,5 giây.

Vậy, ở thời điểm t bằng 17,5 giây, 27,5 giây, 47,5 giây và 57,5 giây, gàu ở cách mặt nước 1,5m.

$$

Giải bài 7 trang 33 Toán 11 tập 1

Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, $\alpha $ là góc lượng giác $(Tx,{\rm{ }}TA)$ $(0 < \alpha  < \pi ).$

a) Biểu diễn toạ độ ${x_H}$ của điểm H trên trục ${T_x}$ theo $\alpha $.

b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với $\frac{\pi }{6} < \alpha  < \frac{{2\pi }}{3}$ thì ${x_H}$ nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải

a) Xét tam giác AHT vuông tại H có:

$\cot \alpha  = \frac{{TH}}{{AH}} \Leftrightarrow TH = AH.\cot \alpha  = 500.\cot \alpha $

Vậy trên trục ${T_x}$ tọa độ ${x_H} = 500.\cot \alpha $.

b) Ta có đồ thị của hàm số$y = cot\alpha $trong khoảng $\frac{\pi }{6} < \alpha  < \frac{{2\pi }}{3}$ là:

Khi đó $-\;\frac{1}{{\sqrt 3 }} < cot\alpha  < \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow -\;\frac{{500}}{{\sqrt 3 }} < 500.cot\alpha  < \frac{{500}}{{\sqrt 3 }}$

$ \Leftrightarrow -\;\frac{{500}}{{\sqrt 3 }} < {x_H} < \frac{{500}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow  – 288,7 < {x_H} < 288,7$.

Vậy ${x_H}\; \in \;\{  – 288,7;288,7\} $.