Giải Toán 11 tập 1 trang 106 Bài 2: Hai đường thẳng song song

Giải toán 11 tập 1 trang 106 Bài 2 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải Toán 11 tập 1 trang 100

Hoạt động 1 trang 100 Toán 11 tập 1

a) Nếu các trường hợp có thể xảy ra đối với hai đường thẳng $a,b$ cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Cho tứ diện $ABCD$. Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ có cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào không?

Lời giải:

a) Khi hai đường thẳng $a,b$ cùng nằm trong một mặt phẳng thì:

‒ Nếu $a,b$ có vô số điểm chung: Hai đường thẳng $a,b$ trùng nhau.

‒ Nếu $a,b$ có duy nhất một điểm chung: Hai đường thẳng $a,b$ cắt nhau.

‒ Nếu $a,b$ không có điểm chung: Hai đường thẳng $a,b$ song song với nhau.

b) Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào.

Giải Toán 11 tập 1 trang 101

Thực hành 1 trang 101 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) $AB$ và $CD$;

b) $SA$ và $SC$;

c) $SA$ và $BC$.

Lời giải:

a) $AB$ và $CD$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

$ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel C{\rm{D}}$.

b) $SA$ và $SC$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

Do đó $SA$ và $SC$ cắt nhau tại $S$.

c) Giả sử $SA$ và $BC$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$.

Suy ra đường thẳng $AC$ cũng nằm trong $\left( P \right)$.

Do đó $\left( P \right)$ chứa cả 4 điểm của tứ diện $SABC$ (vô lí do $S$ không nằm trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$).

Vậy $SA$ và $BC$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Vậy $SA$ và $BC$ chéo nhau.

Giải Toán 11 tập 1 trang 102

Vận dụng 1 trang 102 Toán 11 tập 1

Hãy chỉ ra các ví dụ về hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau trong hình cầu sắt ở Hình 6.

Lời giải:

‒ Hai thanh sắt đối diện nhau ở hai bên cầu song song với nhau.

‒ Hai thanh sắt liền nhau cùng nằm ở thành cầu hoặc mái cầu cắt nhau.

‒ Thanh sắt nằm ở mái cầu và thanh sắt nằm ở thành cầu chéo nhau.

Hoạt động 2

a) Trong không gian, cho điểm $M$ ở ngoài đường thẳng $d$. Đặt $\left( P \right) = mp\left( {M,d} \right)$. Trong $\left( P \right)$, qua $M$ vẽ đường thẳng $d’$ song song với $d$, đặt $\left( Q \right) = mp\left( {d,d’} \right)$. Có thể khẳng định hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ trùng nhau không?

b) Cho ba mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$ cắt nhau theo ba giao tuyến $a,b,c$ phân biệt với $a = \left( P \right) \cap \left( R \right);b = \left( Q \right) \cap \left( R \right);c = \left( P \right) \cap \left( Q \right)$ (Hình 8).

Nếu $a$ và $b$ có điểm chung $M$ thì điểm $M$ có thuộc $c$ không?

Lời giải:

a) Theo đề bài ta có: $d’ \subset \left( P \right),d’ \subset \left( Q \right)$ nên $d’$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Lại có: $d \subset \left( P \right),d \subset \left( Q \right)$ nên $d$ cũng là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Theo tính chất thừa nhận 5: hai mặt phẳng phân biệt có một đường thẳng chung duy nhất. Vậy hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ trùng nhau.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in a\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( P \right)\\\left. \begin{array}{l}M \in b\\b \subset \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( Q \right)\end{array}$

Do đó điểm $M$ nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Vậy $M \in c$.

Giải Toán 11 tập 1 trang 103

Thực hành 2 trang 103 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp $S.ABCD$. Vẽ hình thang $A{\rm{D}}M{\rm{S}}$ có hai đáy là $A{\rm{D}}$ và $M{\rm{S}}$. Gọi $d$ là đường thẳng trong không gian đi qua ${\rm{S}}$ và song song với $A{\rm{D}}$. Chứng minh đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$.

Lời giải:

$A{\rm{D}}M{\rm{S}}$ là hình thang có hai đáy là $A{\rm{D}}$ và $M{\rm{S}}$ nên $A{\rm{D}}\parallel M{\rm{S}}$.

Theo đề bài ta lại có $d\parallel A{\rm{D}}$.

Do đó $d \equiv MS$ (theo định lí 1).

Lại có: $SM \subset \left( {A{\rm{D}}M{\rm{S}}} \right) \Rightarrow d \subset \left( {A{\rm{D}}M{\rm{S}}} \right) \Rightarrow d \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right)$.

Giải Toán 11 tập 1 trang 104

Hoạt động 3 trang 104 Toán 11 tập 1

Ta đã biết trong cùng một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau (Hình 13a).

Trong không gian, cho ba đường thẳng  không đồng phẳng, $a$ và $b$ cùng song song với $c$. Gọi $M$ là điểm thuộc $a$, $d$ là giao tuyến của $mp\left( {a,c} \right)$ và $mp\left( {M,b} \right)$ (Hình 13b). Do $b\parallel c$ nên ta có $d\parallel b$ và $d\parallel c$. Giải thích tại sao $d$ phải trùng với $a$. Từ đó, nêu kết luận về vị trí giữa $a$ và $b$.

Lời giải:

Ta có: $d = mp\left( {a,c} \right) \cap mp\left( {M,b} \right) \Rightarrow M \in d$

Lại có: $M \in a$

Mà qua $M$ chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng $b$ nên $d \equiv a$.

Do đó $a\parallel b$.

Giải Toán 11 tập 1 trang 105

Thực hành 3 trang 105 Toán 11 tập 1

Cho tứ diện $ABCD$ có $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $B{\rm{D}}$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $I,J$ và cắt hai cạnh $AC$ và $A{\rm{D}}$ lần lượt tại $M$ và $N$.

a) Chứng minh $IJNM$ là một hình thang.

b) Tìm vị trí của điểm $M$ dễ $IJNM$ là hình bình hành.

Lời giải:

a) Ta có: $I$ là trung điểm của $BC$

$J$ là trung điểm của $B{\rm{D}}$

$ \Rightarrow IJ$ là đường trung bình của tam giác $BCD$

$ \Rightarrow IJ\parallel CD,IJ = \frac{1}{2}C{\rm{D}}$

Ta có:

$\begin{array}{l}IJ = \left( {BC{\rm{D}}} \right) \cap \left( P \right)\\MN = \left( {AC{\rm{D}}} \right) \cap \left( P \right)\\C{\rm{D}} = \left( {AC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\IJ\parallel C{\rm{D}}\end{array}$

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: $IJ\parallel MN\parallel C{\rm{D}}$.

Vậy $IJNM$ là hình thang.

b) Để $IJNM$ là hình bình hành thì $IJ = MN$.

Mà $IJ = \frac{1}{2}CD$ nên $MN = \frac{1}{2}CD$.

Khi đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $ACD$.

$ \Rightarrow M$ trung điểm của AC.

Vận dụng 2 trang 105 Toán 11 tập 1

Một chiếc lều (Hình 16a) được minh hoạ như Hình 16b.

a) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song.

b) Tìm ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy.

Lời giải:

a) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến song song là: $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$.

b) Ba mặt phẳng cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến đồng quy là: $\left( P \right),\left( Q \right),\left( S \right)$.

Giải bài 1 trang 105 Toán 11 tập 1

Cho hai đường thẳng song song a và b. Mệnh đề sau đây là đúng hay sai?

a) Một đường thẳng c cắt a thì cũng cắt b

b) Một đường thẳng c chéo a thì cũng chéo b

Bài làm

2 mệnh đề trên đều sai

Giải Toán 11 tập 1 trang 106

Giải bài 2 trang 106 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp S.ABC và điểm M thuộc miền trong tam giác ABC (Hình 17). Qua M, vẽ đường thẳng d song song với SA, cắt (SBC) tại N. Trên hình vẽ, hãy chỉ rõ vị trí của điểm N và xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (CMN).

Bài làm

• Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $BC$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}d\parallel SA\\M \in d\\M \in \left( {SAI} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow d \subset \left( {SAI} \right)$

Gọi $N$ là giao điểm của $d$ và $SI$. Ta có:

$\left. \begin{array}{l}N \in d\\N \in SI \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow N = d \cap \left( {SBC} \right)$

• Ta có:

$\left. \begin{array}{l}C \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {CMN} \right)\\SA\parallel d\\SA \subset \left( {SAC} \right)\\d \subset \left( {CMN} \right)\end{array} \right\}$

$ \Rightarrow $Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {CMN} \right)$ là đường thẳng $d’$ đi qua $C$, song song với $SA$ và $d$.

Giải bài 3 trang 106 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB)

b) Lấy một điểm M trên đoạn SA (M khác S và A), mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tứ giác CBMN là hình gì?

Bài làm

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB) là đường thẳng đi qua S và song song với AB và CD

b) Giao tuyến của (BCM) với (SAD) là đường thẳng MN song song với BC

Do đó CBMN là hình thang

Giải bài 4 trang 106 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SD. Hai mặt phẳng (IAC) và (SBC) cắt nhau theo giao tuyến Cx. Chứng minh rằng Cx//SB.

Bài làm

Mặt phẳng (SBC) và (SAD) giao nhau tại đường thẳng d đi qua S và song song với BC

Trong mặt phẳng (SAD), kéo dài AI cắt d tại K.

AI ⊂ (AIC) nên K ∈ (ACI)

Ta có C và K là 2 điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (CIA) nên CK là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (CIA)

Trong mặt phẳng (SADK) ta có AD//SK, I là trung điểm của SD nên AD = SK. Mà AB = BD. Suy ra SK = BC

Ta có SK//BC, SK = BC nên SBCK là hình bình hành.

Suy ra CK//SB. Hay Cx//SB

Giải bài 5 trang 106 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm của SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N.

a) Hãy nói cách xác định hai điểm M và N. Cho AB = a. Tính MN theo a

b) Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Chứng minh SK//BC//AD

Bài làm

a) • Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\M \in SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SAC} \right)\\\left. \begin{array}{l}I \in \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\I \in SO \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SAC} \right)\\C \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SAC} \right)\end{array}$

$ \Rightarrow M,I,C$ thẳng hàng.

Do đó $M$ là giao điểm của $IC$ và $SA$.

• Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}N \in \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\N \in SB \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow N \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}I \in \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\I \in SO \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\D \in \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\end{array}$

$ \Rightarrow N,I,D$ thẳng hàng.

Do đó $N$ là giao điểm của $I{\rm{D}}$ và $SB$.

• Ta có:

$\begin{array}{l}AB = \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\C{\rm{D}} = \left( {IC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\MN = \left( {SAB} \right) \cap \left( {IC{\rm{D}}} \right)\\AB\parallel C{\rm{D}}\end{array}$

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: $AB\parallel C{\rm{D}}\parallel MN$.

Áp dụng định lí Medelaus cho tam giác $SOA$ với cát tuyến $CIM$, ta có:

$\frac{{SM}}{{MA}}.\frac{{AC}}{{OC}}.\frac{{OI}}{{SI}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{MA}}.2.1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{MA}} = \frac{1}{2}$

Xét tam giác $SAB$ có $MN\parallel AB$. Theo định lí Thales ta có:

$\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow MN = \frac{1}{3}AB = \frac{a}{3}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}BC = \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\SK = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\\AD\parallel BC\end{array}$

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: $SK\parallel BC\parallel A{\rm{D}}$.

Giải bài 6 trang 106 Toán 11 tập 1

Chỉ ra các đường thẳng song song trong mỗi hình sau. Tìm thêm một số ví dụ khác về các đường thẳng song song trong thực tế

Bài làm

Hình a: Các dây điện song song với nhau

Hình b: Các mép của viên gạch lát song song với nhau

Hình c: Các mép của bậc thang song song với nhau

Hình d: Các mép của phím đàn song song với nhau

Hình e: Các mép của từng ngăn kệ song song với nhau

Hình g: Các mép của viên gạch song song với nhau

Một số ví dụ khác về đường thẳng song song: Các gáy của quyền sách trong chồng sách, Các mép của chân bàn thẳng đứng,…