Toán 11 tập 1 trang 20 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Giải toán 11 tập 1 trang 20 Bài 2Các phép biến đổi lượng giác sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng Bài trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 16 toán 11 tập 1

HĐ 1 trang 16 toán 11 tập 1

a) Cho $a = \frac{\pi}{6}, b = \frac{\pi}{3}$. Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b). Từ đó rút ra đẳng thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (*).

b) Tính sin(a – b) bằng cách biến đổi sin(a – b) = sin[a + (‒b)] và sử dụng công thức (*).

Lời giải:

a) Với $a = \frac{\pi}{6}$ ta có $sin a = sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}$; $cos a = cos\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt 3}{2}$

Với $ b = \frac{\pi}{3}$ ta có $sin b = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt 3}{2}$; $cosb = cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

Ta có $sin(a+b) = sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3})=sin \frac{\pi}{2}=1$

$ sinacosb + cosasinb = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}.\frac{\sqrt 3}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$

Do đó sin(a+b) = sina.cosb +cosa.sinb (vì cùng bằng 1)

b) Ta có sin(a – b) = sin[a + (‒b)]

= sin cos(‒b) + cos sin(‒b)

= sin cosb + vật (‒sinb)

= sina cosb ‒ sinb gì

LT – VD 1 trang 16 toán 11 tập 1

Tính $\sin \frac{\pi }{{12}}$

Lời giải:

Áp dụng công thức cộng, ta có:

$\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}.\cos \frac{\pi }{6} – \cos \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{4}\end{array}$

Trang 17 toán 11 tập 1

HĐ 2 trang 17 toán 11 tập 1

a) Tính $\cos \left( {a + b} \right)$ bằng cách biến đổi $\cos \left( {a + b} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} – \left( {a + b} \right)} \right] = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} – a} \right) – b} \right]$ và sử dụng công thức cộng đối với sin

b) Tính $\cos \left( {a – b} \right)$ bằng cách biến đổi $\cos \left( {a – b} \right) = \cos \left[ {a + \left( { – b} \right)} \right]$ và sử dụng công thức $\cos \left( {a + b} \right)$ có được ở câu a

Lời giải:

a) $\cos \left( {a + b} \right) = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} – a} \right) – b} \right] = \sin \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right).\cos b – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right).\sin b = \cos a.\cos b – \sin a.\sin b$

b) $\cos \left( {a – b} \right) = \cos \left[ {a + \left( { – b} \right)} \right] = \cos a.\cos \left( { – b} \right) – \sin a.\sin \left( { – b} \right) = \sin a.\sin b + \cos a.\cos b$

LT – VD 2 trang 17 toán 11 tập 1

Tính $\cos {15^ \circ }$

Lời giải:

Áp dụng công thức cộng, ta có:

$\begin{array}{l}\cos {15^ \circ } = \cos ({45^ \circ } – {30^ \circ }) = \cos {45^ \circ }\cos {30^ \circ } + \sin {45^ \circ }\sin {30^ \circ }\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\end{array}$

HĐ 3 trang 17 toán 11 tập 1

a) Sử dụng công thức cộng đối với sin và côsin, hãy tính $\tan \left( {a + b} \right)$ theo tan a và tan b khi các biểu thức đều có nghĩa

b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính $\tan \left( {a – b} \right)$ bằng cách biến đổi $\tan \left( {a – b} \right) = \tan \left[ {a + \left( { – b} \right)} \right]$ và sử dụng công thức $\tan \left( {a + b} \right)$ có được ở câu a.

Lời giải:

a) $\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}} = \frac{{\sin a.\cos b + \cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b – \sin a.\sin b}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{\sin a.\cos b + \cos a.\cos b}}{{\cos a.\cos b – \sin a.\sin b}} = \frac{{\sin a.\cos b}}{{\cos a.\cos b – \sin a.\sin b}} + \frac{{\cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b – \sin a.\sin b}}\\ = \frac{{\frac{{\sin a.\cos b}}{{\cos a.\cos b}}}}{{\frac{{\cos a.\cos b – \sin a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}} + \frac{{\frac{{\cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}}{{\frac{{\cos a.\cos b – \sin a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}} = \frac{{\tan a}}{{1 – \tan a.\tan b}} + \frac{{\tan b}}{{1 – \tan a.\tan b}}\\ = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 – \tan a.\tan b}}\end{array}$

$ \Rightarrow \tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 – \tan a.\tan b}}$

b)

$\tan \left( {a – b} \right) = \tan \left( {a + \left( { – b} \right)} \right) = \frac{{\tan a + \tan \left( { – b} \right)}}{{1 – \tan a.\tan \left( { – b} \right)}} = \frac{{\tan a – \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}$

LT – VD 3 trang 17 toán 11 tập 1

Tính $\tan {165^ \circ }$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\tan {165^ \circ } = \tan ({105^ \circ } + {60^ \circ }) = \frac{{\tan {{105}^ \circ } + \tan {{60}^ \circ }}}{{1 – \tan {{105}^ \circ }.\tan {{60}^ \circ }}}\\ = \frac{{ – 2 – \sqrt 3 + \sqrt 3 }}{{1 – ( – 2 – \sqrt 3 ).\sqrt 3 }} = – 2 + \sqrt 3 \end{array}$

Trang 18 toán 11 tập 1

HĐ 4 trang 18 toán 11 tập 1

Tính $\sin 2a,\,\,\cos 2a,\,\,\tan 2a$ bằng cách thay $b = a$ trong công thức cộng.

Lời giải:

$\sin 2a = \sin \left( {a + a} \right) = \sin a.\cos a + \cos a.\sin a = 2\sin a\cos a$

$\begin{array}{l}\cos 2a = \cos \left( {a + a} \right) = \cos a.\cos a – \sin a.\sin a = {\cos ^2}a – {\sin ^2}a\\\tan 2a = \tan \left( {a + a} \right) = \frac{{\tan a + \tan a}}{{1 – \tan a.\tan a}} = \frac{{2\tan a}}{{1 – {{\tan }^2}a}}\end{array}$

LT – VD 4 trang 18 toán 11 tập 1

Cho $\tan \frac{\alpha }{2} = – 2$. Tính $\tan \alpha $

Lời giải:

Áp dụng công thức nhân đôi ta có:

$\tan \alpha = \frac{{2.\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 – {{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}} = \frac{{2.( – 2)}}{{1 – {{( – 2)}^2}}} = \frac{4}{3}$

LT – VD 5 trang 18 toán 11 tập 1

Tính $\sin \frac{\pi }{8};\cos \frac{\pi }{8}$

Lời giải:

Ta có : ${\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 – \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{2 – \sqrt 2 }}{4}$

Mà $\sin \frac{\pi }{8} > 0$ nên $\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 – \sqrt 2 } }}{2}$

Ta có : ${\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}$

Mà $\cos \frac{\pi }{8} > 0$ nên $\cos \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}$

HĐ 5 trang 18 toán 11 tập 1

Sử dụng công thức cộng, rút gọn mỗi biểu thức sau:

$\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right);\,\,\cos \left( {a + b} \right) – \cos \left( {a – b} \right);\,\,\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a – b} \right)$

Lời giải:

$\begin{array}{l}\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right) = \cos a.\cos b – \sin a.\sin b + \sin a.\sin b + \cos a.\cos b = 2\cos a.\cos b\\\cos \left( {a + b} \right) – \cos \left( {a – b} \right) = \cos a.\cos b – \sin a.\sin b – \sin a.\sin b – \cos a.\cos b = – 2\sin a.\sin b\\\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a – b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b + \sin a.\cos b – \cos a.\sin b = 2\sin a.\cos b\end{array}$

Trang 5 toán 19 tập 1

LT – VD 6 trang 19 toán 11 tập 1

Cho $\cos \alpha = \frac{2}{3}$.

Tính $B = \cos \frac{{3\alpha }}{2}.\cos \frac{\alpha }{2}$

Lời giải:

Ta có :

$\begin{array}{l}B = \cos \frac{{3\alpha }}{2}.\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{3\alpha }}{2} + \frac{\alpha }{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{3\alpha }}{2} – \frac{\alpha }{2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos (2\alpha ) + \cos \alpha } \right] = \frac{1}{2}\left[ {2.{{\cos }^2}\alpha – 1 + \cos \alpha } \right] = \frac{1}{2}\left[ {2.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} – 1 + \frac{2}{3}} \right] = \frac{5}{{18}}\end{array}$

HĐ 6 trang 19 toán 11 tập 1

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt $a + b = u;\,\,a – b = v$ biến đổi các biểu thức sau thành tích: $\cos u + \cos v;\,\,\cos u – \cos v;\,\,\sin u + \sin v;\,\,\sin u – \sin v$

Lời giải:

$\begin{array}{l}1.\,\,\,\,\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right)} \right] \Leftrightarrow 2\cos a.\cos b = \cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right)\\ \Leftrightarrow 2\cos \frac{{u + v}}{2}.\cos \frac{{u – v}}{2} = \cos u + \cos v\\2.\,\,\,\,\sin a.\sin b = – \frac{1}{2}.\left[ {\cos \left( {a + b} \right) – \cos \left( {a – b} \right)} \right] \Leftrightarrow – 2.\sin a.\sin b = \cos \left( {a + b} \right) – \cos \left( {a – b} \right)\\ \Leftrightarrow – 2.\sin \frac{{u + v}}{2}.\sin \frac{{u – v}}{2} = \cos u – \cos v\\3.\,\,\,\,\sin a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a – b} \right)} \right] \Leftrightarrow 2\sin a.\cos b = \sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a – b} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sin \frac{{u + v}}{2}.\cos \frac{{u – v}}{2} = \sin u + \sin v\\4.\,\,\,\,\sin \left( {a + b} \right) – \sin \left( {a – b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b – \sin a.\cos b + \cos a.\sin b = 2\cos a.\sin b\\ \Leftrightarrow \sin u – \sin v = 2.\cos \frac{{u + v}}{2}.\sin \frac{{u – v}}{2}\end{array}$

LT – VD7 trang 19 toán 11 tập 1

Tính $D = \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}}}{{\cos \frac{{7\pi }}{9} – \cos \frac{\pi }{9}}}$

Lời giải:

Ta có:

$D = \frac{{\sin \frac{{7\pi }}{9} + \sin \frac{\pi }{9}}}{{\cos \frac{{7\pi }}{9} – \cos \frac{\pi }{9}}} = \frac{{2.\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}} \right).\cos \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} – \frac{\pi }{9}}}{2}} \right)}}{{ – 2.\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} + \frac{\pi }{9}}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\frac{{7\pi }}{9} – \frac{\pi }{9}}}{2}} \right)}} = -\cot \frac{\pi }{3} = -\frac{{\sqrt 3 }}{3}$

Trang 20 toán 11 tập 1

Bài 1 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều:

Cho cosa = $\frac{3}{5}$ với 0< a < $\frac{\pi }{2}$.

Tính: sin(a + $\frac{\pi }{6}$), cos(a − $\frac{\pi }{3}$), tan(a+$\frac{\pi }{4}$).

Bài giải:

Ta có:

${\cos ^2}a + {\sin ^2}a = 1 \Rightarrow \sin a = \pm \frac{4}{5}$

Do $0 < a < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \sin a = \frac{4}{5}$

$\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{4}{3}$

Ta có;

$\begin{array}{l}\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin a.\cos \frac{\pi }{6} + \cos a.\sin \frac{\pi }{6} = \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}\\\cos \left( {a – \frac{\pi }{3}} \right) = \cos a.\cos \frac{\pi }{3} + \sin a.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{5}.\frac{1}{2} + \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}\\\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 – \tan a.tan\frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{4}{3} + 1}}{{1 – \frac{4}{3}}} = – 7\end{array}$

Bài 2 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tính:

A = sin(a − 17^∘)cos(a + 13^∘) − sin(a + 13^∘)cos(a − 17^∘);

B = cos(b + $\frac{\pi }{3}$)cos($\frac{\pi }{6}$− b) − sin(b + $\frac{\pi }{3}$)sin($\frac{\pi }{6}$ − b).

Bài giải:

Ta có:

${\cos ^2}a + {\sin ^2}a = 1 \Rightarrow \sin a = \pm \frac{4}{5}$

Do $0 < a < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \sin a = \frac{4}{5}$

$\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{4}{3}$

Ta có;

$\begin{array}{l}\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin a.\cos \frac{\pi }{6} + \cos a.\sin \frac{\pi }{6} = \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{3}{5}.\frac{1}{2} = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}\\\cos \left( {a – \frac{\pi }{3}} \right) = \cos a.\cos \frac{\pi }{3} + \sin a.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{3}{5}.\frac{1}{2} + \frac{4}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + 4\sqrt 3 }}{{10}}\\\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 – \tan a.tan\frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{4}{3} + 1}}{{1 – \frac{4}{3}}} = – 7\end{array}$

Bài 3 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho tan(a + b) = 3, tan(a − b) = 2. Tính: tan2a, tan2b.

Bài giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}2a = \left( {a + b} \right) + \left( {a – b} \right) \Rightarrow \tan 2a = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a – b} \right)} \right]\\2b = \left( {a + b} \right) – \left( {a – b} \right) \Rightarrow \tan 2b = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) – \left( {a – b} \right)} \right]\end{array}$

$\begin{array}{l}\tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a – b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a – b} \right)}}{{1 – \tan \left( {a + b} \right).\tan \left( {a – b} \right)}} = \frac{{3 + 2}}{{1 – 3.2}} = – 1\\\tan \left[ {\left( {a + b} \right) – \left( {a – b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) – \tan \left( {a – b} \right)}}{{1 + \tan \left( {a + b} \right).\tan \left( {a – b} \right)}} = \frac{{3 – 2}}{{1 + 3.2}} = \frac{1}{7}\end{array}$

Vậy $\tan 2a = – 1,\,\,\,\tan 2b = \frac{1}{7}$

Bài 4 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho sina = $\frac{2}{\sqrt{5} }$. Tính: cos2a,cos4a.

Bài giải:

Ta có:

${\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + {\cos ^2}a = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}a = \frac{1}{5}$

$\cos 2a = {\cos ^2}a – {\sin ^2}a = \frac{1}{5} – {\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = – \frac{3}{5}$

Ta có:

${\cos ^2}2a + {\sin ^2}2a = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ – 3}}{5}} \right)^2} + {\sin ^2}2a = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}2a = \frac{{16}}{{25}}$

$\cos 4a = \cos 2.2a = {\cos ^2}2a – {\sin ^2}2a = {\left( { – \frac{3}{5}} \right)^2} – \frac{{16}}{{25}} = – \frac{7}{{25}}$

Bài 5 trang 20 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho sina + cosa = 1. Tính: sin2a.

Bài giải:

(sina+cosa)² = 1⇔ 1 + 2sinacosa = 1 ⇔ sin2a = 0

Trang 21 toán 11 tập 1

Bài 6 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho cos2a = $\frac{1}{3}$ với $\frac{\pi }{2}$ < a < π. Tính: sina,cosa,tana.

Bài giải:

Vì $\frac{\pi }{2}$ < a < π, suy ra: sina > 0, cosa < 0, tana < 0

cos2a = 1 − 2sin ² a = $\frac{1}{3}$ ⇔ sin ² a = $\frac{1}{3}$ ⇔ sina = $\frac{\sqrt{3} }{3}$

cos2a = 2cos ² a − 1 = $\frac{1}{3}$ ⇔ cos ² a = $\frac{2}{3}$ ⇔ cosa = $-\frac{\sqrt{6} }{3}$

tana = $\frac{sina}{cosa} =\frac{\sqrt{2} }{2}$

Bài 7 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều:

Cho cos2x = $\frac{1}{4}$

Tính: A = cos(x + $\frac{\pi }{6}$)cos(x − $\frac{\pi }{6}$); B = sin(x + $\frac{\pi }{3}$)sin(x − $\frac{\pi }{3}$).

Bài giải:

Áp dụng công thức: cosacosb = $\frac{1}{2}$[cos(a + b) + cos(a − b)]

⇒ A = cos(x + $\frac{\pi }{6}$)cos(x − $\frac{\pi }{6}$) = $\frac{1}{2}$[cos2x + cos$\frac{\pi }{3}$] = $\frac{3}{8}$

Áp dụng công thức: sinasinb = $-\frac{1}{2}$[cos(a + b) − cos(a − b)]

⇒ B = sin(x + $\frac{\pi }{3}$)sin(x − $\frac{\pi }{3}$) = $-\frac{1}{2}$[cos2x − cos$\frac{2\pi }{3}$] = $-\frac{3}{8}$.

Bài 8 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Rút gọn biểu thức: $A=\frac{sinx+sin2x+sin3x}{cosx+cos2x+cos3x}$.

Bài giải:

Ta có: sinx + sin2x + sin3x = (sinx + sin3x) + sin2x = 2sin2xcosx + sin2x

= sin2x(2cosx + 1)

Tương tự: cosx + cos2x + cos3x = (cosx + cos3x) + cos2x = 2cos2xcosx + cos2x

= cos2x(2cosx + 1)

Suy ra: $A=\frac{sinx+sin2x+sin3x}{cosx+cos2x+cos3x}=\frac{sin2x}{cos2x}=tan2x$

Bài 9 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 17).

a) Tính tanα, ở đó α là góc giữa hai sợi cáp trên.

b) Tìm góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Bài giải:

a) Gọi β là góc tạo thành của sợi cáp R với mặt đất; γ là góc tạo thành của sợi cáp S với mặt đất.

Do đó: α = β − γ.

Ta có: tanα = tan(β − γ) = $\frac{tan\beta -tan\gamma }{1+tan\beta tan\gamma }=\frac{\frac{14}{15}-\frac{12}{15} }{1+\frac{14}{15}.\frac{12}{15} }=\frac{10}{131}$

b) tanα = $\frac{10}{131}$ ⇒ α ≈ 0,076.

Bài 10 trang 21 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (Hình 18). Hãy tính số đo góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Bài giải:

Gọi D, E nằm trên đường thẳng CK sao cho BD, AE ∥ HK.

Từ hình vẽ, ta có: $\hat{ACB}=\hat{BCD} -\hat{ACE}$

Ta có: tan$\hat{ACB}$ = tan($\hat{BCD}-\hat{ACE}$)

Áp dụng công thức tan(a − b) = $\frac{tana-tanb}{1+tanatanb}$

Suy ra: tan($\hat{BCD}-\hat{ACE}$) = $\frac{45}{76}$ nên tan$\hat{ACB}$ = $\frac{45}{76}$.

Do đó:$\hat{ACB}$ = 30.63^∘.