Toán 11 tập 1 trang 58 Bài cuối chương 2

Giải toán 11 tập 1 trang 58 Bài cuối chương 2 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng Bài trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 57 toán 11 tập 1

Bài 1 trang 57 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho dãy số ($u_{n}$) được xác định bởi: $u_{1}=\frac{1}{3}$ và $u_{n}=3u_{n-1}$ với mọi $n\geq 2$. Số hạng thứ năm của dãy số ($u_{n}$) là:

A. $27$

B. $9$

C. $81$

D. $243$

Trả lời: Chọn đáp án A

Bài 2 trang 57 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. $21, -3, -27, -51,-75$

B. $\frac{1}{2}, \frac{5}{4}, 2, \frac{11}{4},\frac{15}{4}$

C. $\sqrt{1},\sqrt{2}, \sqrt{3},\sqrt{4}, \sqrt{5}$

D. $\frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{40}, \frac{1}{50}, \frac{1}{60}$

Trả lời: Chọn đáp án A

Bài 3 trang 57 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có số hạng đầu $u_{1}=-5$, công sai $d=4$. Công thức của số hạng tổng quát $u_{n}$ là:

A. $u_{n}=-5+4n$

B. $u_{n}=-1-4n$

C. $u_{n}=-5+4n^{2}$

D. $u_{n}=-9+4n$

Trả lời: Chọn đáp án D

Bài 4 trang 57 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tổng 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên tính từ 1 là:

A. 10 000

B. 10 100

C. 20 000

D. 20 200

Trả lời: Chọn đáp án A

Bài 5 trang 57 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Trong các dãy số ($u_{n}$) cho bằng phương pháp truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số ($u_{n}$) được xác định bởi: $u_{1}=1$ và $u_{n}=u_{n-1}(n-1)$ với mọi $n\geq 2$

B. Dãy số ($u_{n}$) được xác định bởi: $u_{1}=1$ và $u_{n}=2u_{n-1}+1$ với mọi $n\geq 2$

C. Dãy số ($u_{n}$) được xác định bởi: $u_{1}=1$ và $u_{n}=u^{2}_{n-1}$ với mọi $n\geq 2$

D. Dãy số ($u_{n}$) được xác định bởi: $u_{1}=3$ và $u_{n}=\frac{1}{3}u_{n-1}$ với mọi $n\geq 2$

Trả lời: Chọn đáp án D

Bài 6 trang 57 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho cấp số nhân ($u_{n}$) có $u_{1}=-1$, công bội $q=-\frac{1}{10}$. Khi đó $\frac{1}{10^{2017}}$ là số hạng thứ:

A. 2016

B. 2017

C. 2018

D. 2019

Trả lời: Chọn đáp án C

Bài 7 trang 57 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Trong các dãy số ($u_{n}$) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

A. $u_{n}=sinn$

B. $u_{n}=n(-1)^{n}$

C. $u_{n}=\frac{1}{n}$

D. $u_{n}=2^{n+1}$

Trả lời: Chọn đáp án D

Trang 58 toán 11 tập 1

Bài 8 trang 58 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số ($u_{n}$) sau, biết số hạng tổng quát:

a) $u_{n}= \frac{n^{2}}{n+1}$

b) $u_{n}= \frac{2}{5^{n}}$

c) $u_{n}= (-1)^{n}.n^{2}$

Trả lời:

a) Dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng và bị chặn dưới vì $\frac{n^{2}}{n+1}> 0$.

b) Dãy số $(u_{n})$ là dãy số giảm và bị chặn dưới vì $\frac{2}{5^{n}}\geq \frac{2}{5}$.

c) Dãy số $(u_{n})$ là dãy số không tăng không giảm và không bị chặn.

Bài 9 trang 58 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho cấp số cộng ($u_{n}$). Tìm số hạng đầu $u_{1}$, công sai $d$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $u_{2}+u_{5}=42$ và $u_{4}+u_{9}=66$

b) $u_{2}+u_{4}=22$ và $u_{1}.u_{5}=21$.

Trả lời:

Bài 10 trang 58 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho cấp số nhân ($u_{n}$).Tìm số hạng đầu $u_{1}$, công bội $q$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $u_{6}=192$ và $u_{7}=384$

b) $u_{1}+u_{2}+u_{3}=7$ và $u_{5}-u_{2}=14$.

Trả lời:

a) Ta có: $u_{6}=u_{1}.q^{5}=192 \left ( 1 \right )$

$u_{7}=u_{1}.q^{6}=384 \left ( 2 \right )$

Chia $\frac{\left ( 1 \right )}{\left ( 2 \right )}$ ta có: $\frac{u_{1}.q^{5}}{u_{1}.q^{6}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow q=2$

Thay $q=2$ vào (1) ta có: $u_{1}.2^{5}=192\Leftrightarrow u_{1}=6$

Chia $\frac{\left ( 1 \right )}{\left ( 2 \right )}$ ta có:

$\frac{1+q+q^{2}}{q^{4}-q}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2(1+q+q^{2})=q^{4}-q\Leftrightarrow (q+1)(q^{3}-q^{2}-q-2)=0$

Bài 11 trang 58 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ.

Trả lời:

Ta có: $u_{1}=\widehat{A};u_{2}=\widehat{B}=\widehat{A}+d;u_{3}=\widehat{C}=\widehat{A}+2d;u_{4}=\widehat{D}=\widehat{A}+3d$

Mà: $\widehat{C}=5\widehat{A}=\widehat{A}+2d\Rightarrow d=2\widehat{A}$

Vì: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ}$ $\Leftrightarrow 16\hat{A} =360^{0}\Leftrightarrow\hat{A} =22.5^{0}$

$\Rightarrow \widehat{B}=67,5^{\circ};\widehat{C}=112,5^{\circ};\widehat{D}=157,5^{\circ}$

Bài 12 trang 58 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây, … ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4 950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Trả lời:

Giải sử người ta đã trồng được n hàng.

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với ${u_1} = 1$, công sai d = 1.

Tổng số cây ở n hàng cây là:

$S_n = \frac{n(1+n)}{2} = 4950$

⇔ $n^2 + n – 9 900 = 0$

⇔ n = 99 (thỏa mãn) hoặc n = – 100 (không thỏa mãn).

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.

Bài 13 trang 58 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là $12 288 m^{2}$. Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Trả lời:

Diện tích mặt đáy tháp là $u­_1 = 12 288 (m^2)$.

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: $u_2 = 12 288. \frac{1}{2} = 6 144 (m^2)$.

…

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là $u_n$ với n ∈ ℕ*.

Dãy $(u_n)$ lập thành một cấp số nhân là $u_1 = 12 288$ và công bội q = $\frac{1}{2}$, có số hạng tổng quát là: $u_n = 12 288.(\frac{1}{2})^{n−1}$.

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 11 nên ta có:

$u_{11} = 12 288.(\frac{1}{2})^{11−1} = 12 (m^2)$.

Bài 14 trang 58 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Một khay nước có nhiệt độ $23^{\circ}C$ được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C.

Trả lời:

Gọi $u_n$ là nhiệt độ của khay nước đó sau n – 1 giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.

Như vậy, nhiệt độ khay nước ban đầu là $u_1 = 23$.

Sau 1 giờ, nhiệt độ khay nước là $u_2 $.

Sau 2 giờ, nhiệt độ khay nước là $u_3 $.

…

Ta có: $u_1 = 23; u_2 = 23 – 23.20\% = 23.(1 – 20\%) = 23.80\%; u_3 = 23.80\%.80\% = 23.(80\%)^2; …$

Suy ra dãy $(u_n)$ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1 = 23$ và công bội q = 80% có số hạng tổng quát $u_n = 23.(80\%)^{n – 1}$ độ C.

Vậy sau 6 giờ thì nhiệt độ của khay là $u_7 = 23.(80\%)^6 ≈ 6,03°C$.

Bài 15 trang 58 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho hình vuông $C_{1}$ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_{2}$ (Hình 4). Từ hình vuông $C_{2}$ lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông $C_{3}$. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông $C_{1}, C_{2}, C_{3}, …, C_{n}, …$ Gọi $a_{n}$ là độ dài cạnh hình vuông $C_{n}$. Chứng minh rằng dãy số ($a_{n}$) là cấp số nhân.

Trả lời:

Ta có độ dài cạnh các hình vuông $C_{1}, C_{2}, C_{3}$, …, $C_{n},$… là: $a_{1}=4;a_{2}=\sqrt{10};a_{3}=\frac{5}{2};a_{4}=\frac{5\sqrt{10}}{8}$…

Ta thấy dãy số trên là một cấp số nhân với công bội $q=\frac{\sqrt{10}}{4}$.

Bài 16 trang 58 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là $a$ (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Trả lời:

Giả sử A_n­ là số tiền ông An còn nợ ngân hàng sau mỗi tháng.

1 năm = 12 tháng, do đó lãi suất mỗi tháng là 1%.

1 tỷ = 1 000 (triệu đồng)

Suy ra số tiền lãi 1 tháng là: 1 000 . 1% = 10 (triệu đồng)

Ta có:

A₀ = 1 000 (triệu đồng)

A₁ = 1 000 + 1 000 . 10% – a = 1 000 + 10 – a (triệu đồng)

A₂ = 1 000 + 10 – a + 10 – a = 1 000 + 2.10 – 2a (triệu đồng)

A₃ = 1 000 + 2.10 – 2a + 10 – a = 1 000 + 3.10 – 3a (triệu đồng)

…

A_n = 1 000 + n.10 – n.a (triệu đồng)

Do 2 năm ông An trả hết nợ tức là A₂₄ = 0

=> 1 000 + 24.10 – 24 . a = 0

=> 1 240 – 24a = 0

=> a ≈ 51,67 (triệu đồng)

Vậy mỗi tháng ông An phải trả 51,67 triệu đồng.