Toán 11 tập 1 trang 72 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Giải toán 11 tập 1 trang 72 Bài 2 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng Bài trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 66 toán 11 tập 1

Hoạt động 1 trang 66 toán 11 tập 1

Xét hàm số $f\left( x \right) = 2x.$

a) Xét dãy số $\left( {{x_n}} \right),$ với ${x_n} = 1 + \frac{1}{n}.$ Hoàn thành bảng giá trị $f\left( {{x_n}} \right)$ tương ứng.

Các giá trị tương ứng của hàm số $f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),…,f\left( {{x_n}} \right),…$ lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là $\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right).$ Tìm $\lim f\left( {{x_n}} \right).$

b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì $\left( {{x_n}} \right),{x_n} \to 1$ ta luôn có $f\left( {{x_n}} \right) \to 2.$

Lời giải:

a,

$\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2.\frac{{n + 1}}{n}} \right) = \lim 2.\lim \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = 2.\left( {1 + 0} \right) = 2$

b) Lấy dãy số bất kì $\left( {{x_n}} \right),{x_n} \to 1$ ta có $f\left( {{x_n}} \right) = 2{x_n}.$

$\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2{x_n}} \right) = \lim 2.\lim {x_n} = 2.1 = 2$

Trang 67 toán 11 tập 1

Luyện tập 1 trang 67 toán 11 tập 1

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4.$

Lời giải:

Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thỏa mãn $\lim {x_n} = 2.$

Ta có $\lim x_n^2 = {2^2} = 4$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4.$

Hoạt động 2 trang 67 toán 11 tập 1

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = {x^2} – 1,g\left( x \right) = x + 1.$

a) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).$

b) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]$và so sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).$

c) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]$và so sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) – \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).$

d) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]$và so sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).$

e) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$và so sánh $\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}.$

Lời giải:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} – 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^2} – \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = {1^2} – 1 = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = 1 + 1 = 2$

b) $\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x} \right) = {1^2} + 1 = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0 + 2 = 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\end{array}$

c) $\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} – x – 2} \right) = {1^2} – 1 – 2 = – 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) – \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0 – 2 = – 2\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) – \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\end{array}$

d) $\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} + {x^2} – x – 1} \right) = {1^3} + {1^2} – 1 – 1 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0.2 = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\end{array}$

e) $\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x – 1} \right) = 1 – 1 = 0\\\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}} = \frac{0}{2} = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}.\end{array}$

Trang 68 toán 11 tập 1

Luyện tập 2 trang 68 toán 11 tập 1

Tính:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right];$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} + x + 3} .$

Lời giải:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + 2x} \right) = \left( {2 + 1} \right).\left( {{2^2} + 2.2} \right) = 24$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} + x + 3} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} + x + 3} \right)} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 3} = \sqrt {{2^2} + 2 + 3} = 3$

Hoạt động 3 trang 68 toán 11 tập 1

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} – 1,\,\,x < 0\\0,\,\,x = 0\\1,\,\,x > 0\end{array} \right.$

Hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị ở Hình 6.

a) Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sao cho ${u_n} < 0$ và $\lim {u_n} = 0.$ Xác định $f\left( {{u_n}} \right)$ và tìm $\lim f\left( {{u_n}} \right).$

b) Xét dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ sao cho ${v_n} > 0$ và $\lim {v_n} = 0.$ Xác định $f\left( {{v_n}} \right)$ và tìm $\lim f\left( {{v_n}} \right).$

Lời giải:

a) Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sao cho ${u_n} < 0$ và $\lim {u_n} = 0.$ Khi đó $f\left( {{u_n}} \right) = – 1$ và $\lim f\left( {{u_n}} \right) = – 1.$

b) Xét dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ sao cho ${v_n} > 0$ và $\lim {v_n} = 0.$ Khi đó $f\left( {{v_n}} \right) = 1$ và $\lim f\left( {{v_n}} \right) = 1.$

Trang 69 toán 11 tập 1

Luyện tập 3 trang 69 toán 11 tập 1

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4} + x} \right)$

Lời giải:

Với dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ bất kì ${x_n} > – 4$ và ${x_n} \to – 4,$ ta có:

$\begin{array}{c}\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to – {4^ + }} \left( {\sqrt {{x_n} + 4} + {x_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to – {4^ + }} \sqrt {{x_n} + 4} + \mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to – {4^ + }} {x_n} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to – {4^ + }} \left( {{x_n} + 4} \right)} + \left( { – 4} \right)\\ = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{{x_n} \to – {4^ + }} {x_n} + 4} – 4 = \sqrt { – 4 + 4} – 4 = – 4\end{array}$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4} + x} \right) = – 4$

Hoạt động 4 trang 69 toán 11 tập 1

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x}\,\,\left( {x \ne 0} \right)$ có đồ thị như ở Hình 7. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì $f\left( x \right)$ dần tới giá trị nào.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì $f\left( x \right)$ dần tới giá trị nào.

Lời giải:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì $f\left( x \right)$ dần tới 0.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì $f\left( x \right)$ dần tới 0.

Trang 70 toán 11 tập 1

Luyện tập, vận dụng 4 trang 70 toán 11 tập 1

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{3x + 2}}{{4x – 5}}.$

Lời giải:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{3x + 2}}{{4x – 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x\left( {3 + \frac{2}{x}} \right)}}{{x\left( {4 – \frac{5}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{3 + \frac{2}{x}}}{{4 – \frac{5}{x}}} = \frac{{3 + 0}}{{4 – 0}} = \frac{3}{4}$

Hoạt động 5 trang 70 toán 11 tập 1

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{x – 1}}\,\,\left( {x \ne 1} \right)$ có đồ thị như ở Hình 8. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì $f\left( x \right)$ dần tới đâu.

b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì $f\left( x \right)$ dần tới đâu.

Lời giải:

a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì $f\left( x \right)$ dần dương vô cực.

b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì $f\left( x \right)$ dần âm vô cực.

Trang 71 toán 11 tập 1

Luyện tập 5 trang 71 toán 11 tập 1

Tính: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \frac{1}{{x + 2}}.$

Hoạt động 6 trang 71 toán 11 tập 1

Cho hàm số $f\left( x \right) = x$ có đồ thị như ở Hình 9. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì $f\left( x \right)$ dần tới đâu.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì $f\left( x \right)$ dần đâu.

Lời giải:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì $f\left( x \right)$ dần tới dương vô cực.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì $f\left( x \right)$ dần âm vô cực.

Trang 72 toán 11 tập 1

Luyện tập, vận dụng 6 trang 72 toán 11 tập 1

Tính: $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^4}.$

Lời giải:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {x^4} = + \infty $

Bài 1 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow -3} x^{2}$;

b) $\lim_{x\rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{x-5}$.

Bài giải:

a) $\lim_{x\rightarrow -3} x^{2}=(-3)^{2}=9$

b) Giả sử ($x_{n}$) là dãy số bất kì, thỏa mãn $x_{n}\neq 5$ và $\lim x_{n}=5$, ta có:

$\lim f(x_{n})=\lim\frac{x_{n}^{2}-25}{x_{n}-5}=\lim\frac{(x_{n}-5)(x_{n}+5)}{x_{n}-5}=\lim(x_{n}+5)=5+5=10$

Do đó: $\lim_{x\rightarrow 5} \frac{x^{2}-25}{x-5}=10$.

Bài 2 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Biết rằng hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)=3$ và $\lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)=5$. Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn $\lim_{x\rightarrow 2} f(x)$ hay không? Giải thích.

Bài giải:

Ta có: $\lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x)\neq \lim_{x\rightarrow 2^{+}} f(x)$

Vậy không tồn tại giới hạn $\lim_{x\rightarrow 2} f(x)$.

Bài 3 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow 2} (x^{2}-4x+3)$;

b) $\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-5x+6}{x-3}$;

c) $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$.

Bài giải:

a) $\lim_{x\rightarrow 2} (x^{2}-4x+3)=2^{2}-4.2+3=-1$;

b) $\lim_{x\rightarrow 3} \frac{x^{2}-5x+6}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x-3)(x-2)}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3} (x-2)=1$;

c) $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\lim_{x\rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}$.

Bài 4 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{9x+1}{3x-4}$;

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{7x-11}{2x+3}$;

c) $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$;

d) $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$;

e) $\lim_{x\rightarrow 6^{-}} \frac{1}{x-6}$;

g) $\lim_{x\rightarrow 7^{+}} \frac{1}{x-7}$.

Bài giải:

a) $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{9x+1}{3x-4}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{9+\frac{1}{x}}{3-\frac{4}{x}}=3$;

b) $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{7x-11}{2x+3}=\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{7-\frac{11}{x}}{2+\frac{3}{x}}=\frac{7}{2}$;

c) $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x}=1$;

d) $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x}=1$;

e) $\lim_{x\rightarrow 6^{-}} \frac{1}{x-6}=-\infty$;

g) $\lim_{x\rightarrow 7^{+}} \frac{1}{x-7}=+\infty$.

Bài 5 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được $N(t)=\frac{50t}{t+4} \left ( t\geq 0 \right )$ bộ phận mỗi ngày sau $t$ ngày đào tạo. Tính $\lim_{t\rightarrow +\infty}N(t)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Bài giải:

$\lim_{t\rightarrow +\infty}N(t)=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{50t}{t+4}=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{50}{1+\frac{4}{t}}=50$

Vậy khi số ngày đào tạo càng nhiều thì số bộ phận mà trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được tiến dần đến 50.

Bài 6 trang 72 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất $x$ sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: $C(x) = 50 000 + 105x$.

a) Tính chi phí trung bình $\overline{\rm C}(x)$ để sản xuất một sản phẩm.

b) Tính $\lim_{x\rightarrow +\infty}\overline{\rm C}(x)$ và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Bài giải:

a) $\overline{\rm C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{50000+105x}{x}$

b) Ta có: $\lim_{x\rightarrow +\infty}\overline{\rm C}(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{50000+105x}{x}=105$

Vậy khi số sản phẩm càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm tiến dần đến 105 (nghìn đồng).