Toán 11 tập 1 trang 113 Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Giải toán 11 tập 1 trang 113 Bài 5 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng Bài trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 110 toán 11 tập 1

Hoạt động 1 trang 110 toán 11 tập 1

Cho hai mặt phẳng song song (P) và (P’). Trong mặt phẳng (P), cho đa giác ${A_1}{A_2}…{A_n}$ .Qua các đỉnh ${A_1},{A_2},…,{A_n}$ vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt mặt phẳng (P) lần lượt tại${A_1}’,{A_2}’,…,{A_n}’$ (Hình 70 minh họa cho trường hợp n = 5).

a) Các tứ giác${A_1}{A_2}{A_2}'{A_1}’,{A_2}{A_3}{A_3}'{A_2}’,…,{A_n}{A_1}{A_1}'{A_n}’$ là những hình gì?

b) Các cạnh tương ứng của hai đa giác${A_1}{A_2}…{A_n}$và${A_1}'{A_2}.’..{A_n}’$có đặc điểm gì?

Lời giải:

a) Các tứ giác${A_1}{A_2}{A_2}'{A_1}’,{A_2}{A_3}{A_3}'{A_2}’,…,{A_n}{A_1}{A_1}'{A_n}’$ là những hình bình hành

b) Các cạnh tương ứng của hai đa giác ${A_1}{A_2}…{A_n}$và${A_1}'{A_2}’…{A_n}’$ song song và bằng nhau

Trang 111 toán 11 tập 1

Hoạt động 2 trang 111 toán 11 tập 1

Từ định nghĩa hình lăng trụ, nhận xét đặc điểm các mặt bên, cạnh bên và hai mặt đáy của hình lăng trụ

Lời giải:

Đặc điểm các mặt bên, cạnh bên và hai mặt đáy của hình lăng trụ:

– Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau

– Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành

– Hai mặt đáy của hình lăng trụ là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau

Luyện tập 1 trang 111 toán 11 tập 1

Cho một số ví dụ về những đồ dùng, vật thể trong thực tế có dạng hình lăng trụ

Lời giải:

Một số ví dụ về những đồ dùng, vật thể trong thực tế có dạng hình lăng trụ: tòa nhà, hộp đựng phấn, viên gạch,…

Trang 113 toán 11 tập 1

Bài 1 trang 113 toán 11 tập 1

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D’)

b) Gọi${G_1},{G_2}$lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D’).

Chứng minh rằng${G_1},{G_2}$lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.

c) Chứng minh rằng $B{G_1} = {G_1}{G_2} = D'{G_2}$

Lời giải

a) Ta có: AD // B’C’, AD = B’C’ nên ADC’B’ là hình bình hành

Suy ra AB’ // DC’ nên AB‘ // (A’C’D) (1)

Ta có: (ACC’A‘) là hình bình hành nên AC // A’C‘

Suy ra AC // (A’C’D‘) (2)

Mà AB‘, AC thuộc (ACB‘) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra (ACB‘) // (A‘C’D)

b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm hình bình hành ABCD, A’B’C’D’

Trong (BDD’B’): B’O cắt BD’

Mà B’O thuộc (ACB’), BD’ cắt (ACB’) tại${G_1}$

Suy ra: B’O cắt BD’ tại${G_1}$

Tương tự, ta có: DO’ cắt BD’ tại${G_2}$

Ta có: tam giác ${G_1}OB$ đồng dạng với tam giác ${G_1}B’D’$ (do BD // B’D’)

Suy ra$\frac{{{G_1}O}}{{{G_1}B’}} = \frac{{OB}}{{B’D’}} = \frac{1}{2}$

Nên $\frac{{{G_1}O}}{{{G_1}B’}} = \frac{2}{3}$

Do đó:${G_1}$ là trọng tâm tam giác ACB’

Chứng minh tương tự ta có:${G_2}$ là trọng tâm tam giác A’C’D

c) Ta có tam giác${G_1}OB$ đồng dạng với tam giác ${G_1}B’D’$

Suy ra$\frac{{{G_1}O}}{{{G_1}B’}} = \frac{{OB}}{{B’D’}} = \frac{1}{2}$

Nên ${G_1}B = \frac{1}{3}BD'(1)$

Tương tự ta có:$\frac{{{G_2}D’}}{{{G_2}B}} = \frac{{OD’}}{{DB}} = \frac{1}{2}$

Nên ${G_2}D’ = \frac{1}{3}{\rm{DD}}'(2)$

Từ (1) và (2) suy ra${G_1}B = {G_1}{G_2} = {G_2}D’$

Bài 2 trang 113 toán 11 tập 1

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D‘. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AA‘, C’D‘, AD‘. Chứng minh rằng:

a) NQ // A’D‘ và $NQ = \frac{1}{2}A’D’$

b) Tứ giác MNQC là hình bình hành

c) MN // (ACD‘)

d) (MNP) // (ACD‘)

Lời giải

a) Ta có: N là trung điểm của AA’ nên $\frac{{AN}}{{AA’}} = \frac{1}{2}$

Q là trung điểm của AD’ nên $\frac{{AQ}}{{AD’}} = \frac{1}{2}$

Theo định lý Ta – let, ta có NQ // A’D’

Suy ra $\frac{{NQ}}{{A’D’}} = \frac{{AN}}{{AA’}} = \frac{1}{2}$ nên$NQ = \frac{1}{2}A’D’$

b) Ta có: NQ // A’D’ mà A’D’ // BC nên NQ // BC hay NQ // MC (1)

Ta có $NQ = \frac{1}{2}A’D’$ mà A’D’ = BC, $MC = \frac{1}{2}BC$, nên NQ = MC (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNQC là hình bình hành

c) Ta có: MNQC là hình bình hành nên MN // CQ

Mà CQ thuộc (ACD’)

Nên MN // (ACD’)

d) Gọi O là trung điểm của AC

Tam giác ACB có: O, M là trung điểm của AC, BC

Suy ra: OM // AB nên $OM = \frac{1}{2}AB$

Mà AB = C’D’, $D’P = \frac{1}{2}C’D$,

Suy ra OM = D’P (1)

Ta có: OM // AB, AB // C’D’ nên OM // C’D‘ hay OM // D’P (2)

Từ (1) và (2) suy ra OMPD’ là hình bình hành. Do đó: MP // OD’

Mà OD’ thuộc (ACD’)

Suy ra: MP // (ACD’)

Mà MN thuộc (ACD’)

Do đó: (MNP) // (ACD’)

Bài 3 trang 113 toán 11 tập 1

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A’B‘.

a) Chứng minh rằng EF // (BCC’B’).

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC’B). Chứng minh rằng I là trung điểm đoạn thẳng CF.

Lời giải

a) Gọi H là trung điểm của BC

Tam giác ABC có: E là trung điểm của AC

Suy ra EH // AB

Mà AB // A’B’

Do đó EH // A’B’ hay EH // B’F (1)

Ta có: EH // AB nên

Mà AB = A’B”,

Nên EH = B’F (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EHB’F là hình bình hành

Suy ra EF // B’H

Suy ra EF // (BCC’B’)

b) Gọi K là trung điểm AB

Dễ dàng chứng minh FKBB’ là hình bình hành

Ta có: FK // BB’

Mà BB’ // CC’

Suy ra FK // CC’ (1)

Ta có: FK = BB’, mà BB’ = CC’

Do đó: FK = CC’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra FKCC’ là hình bình hành

Suy ra C’K cắt CF tại trung điểm mỗi đường

Suy ra I là trung điểm của CF