Toán 11 tập 2 trang 14 Bài 1: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Giải toán 11 tập 2 trang 14 Bài 1 sách Cánh diều có đáp án chi tiết từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 3 toán 11 tập 2

Mở đầu trang 3 toán 11 tập 2

Một cuộc khảo sát đã tiến hành xác định tuổi (theo năm) của 120 chiếc ô tô. Kết quả điều tra được cho trong Bảng 1.

Tìm các số đặc trung đo xu thế trung tâm (số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu ghép nhóm đó như thế nào cho thuận lợi?

Lời giải

–  Số trung bình cộng: $\overline x  = \frac{{2.13 + 6.19 + 10.48 + 14.22 + 18.8}}{{120}} = 8,93$

–  Trung vị: 10

–  Tứ phân vị: 4; 10; 16

–  Mốt: $\left[ {8;\left. {12} \right)} \right.$

HĐ 1 trang 3 toán 11 tập 2 Cánh diều

Trong bảng 1 ở phần mở đầu, ta thấy:

Có 13 ô tô có độ tuổi dưới 4;

Có 29 ô tô có độ tuổi dưới 8.

Hãy xác định số ô tô có độ tuổi:

a) Từ 8 đến dưới 12

b) Từ 12 đến dưới 16

c)  Từ 16 đến dưới 20

Lời giải:

a) Số ô tô có độ tuổi từ 8 đến dưới 12 là 48 ô tô

b) Số ô tô có độ tuổi từ 12 đến 16 là 22 ô tô

c) Số ô tô có độ tuổi từ 16 đến 20 là 8 ô tô

Trang 4 toán 11 tập 2

LT 1 trang 4 toán 11 tập 2

Mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 có bao nhiêu số liệu? Bao nhiêu nhóm? Tìm tần số của mỗi nhóm?

Lời giải:

Từ Bảng 1, ta thấy:

⦁ Mẫu số liệu đó gồm 120 số liệu và 5 nhóm.

⦁ Tần số của nhóm 1, 2, 3, 4, 5 lần lượt là: 13; 29; 48; 22; 8.

HĐ 2 trang 4 toán 11 tập 2 Cánh diều

Một trường trung học phổ thông chọn 36 học sinh nam của khối lớp 11, đo chiều cao của các bạn học sinh đó và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị: centimet):

Từ mẫu số liệu không ghép nhóm trên, hãy ghép các số liệu thành năm nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau.

Lời giải:

–  Ta chia bảng ghép nhóm thành các phần có độ dài bằng nhau: [160; 163); [163; 166); [166; 169); [169; 172); [172; 175)

Trang 5 toán 11 tập 2

LT 2 trang 5 toán 11 tập 2

Một thư viện thống kê số người đến đọc sách vào buổi trong 30 ngày của tháng vừa qua như sau:

Lập bảng tần số ghép nhóm có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng sau: [25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79); [79; 88); [88; 97)

Lời giải:

HĐ 3 trang 5 toán 11 tập 2

Trong Bảng 4 , có bao nhiêu số liệu với giá trị không vượt quá giá trị của đầu mút phải

a)     163 của nhóm 1

b)    166 của nhóm 2

c)     169 của nhóm 3

d)    172 của nhóm 4

e)     175 của nhóm 5

Lời giải:

Các giá trị không vượt quá giá trị của đầu mút phải:

a)     163 của nhóm 1: 6

b)    166 của nhóm 2: 18

c)     169 của nhóm 3: 28

d)    172 của nhóm 4: 33

e)     175 của nhóm 5: 36

Trang 6 toán 11 tập 2

LT 3 trang 6 toán 11 tập 2 Cánh diều

Trong bài toán ở Luyện tập 2, lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng: [25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79);

Lời giải:

HĐ 4 trang 6 toán 11 tập 2

Xét mẫu số liệu trong Ví dụ 2 được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm (Bảng 4).

a)     Tìm trung điểm ${x_1}$ của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm 1. Ta gọi trung điểm ${x_1}$ là giá trị đại diện của nhóm 1.

b)    Bằng cách tương tự, hãy tìm giá trị đại diện của bốn nhóm còn lại. Từ đó, hãy hoàn thiện các số liệu trong Bảng 7.

c)     Tính giá trị $\overline x $ cho bởi công thức sau:

$\overline x  = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + … + {n_5}{x_5}}}{n}$

Lời giải:

a) Trung điểm $x_1$ (giá trị đại diện) của nửa khoảng ứng với nhóm 1 là:

$x_1 = \frac{160+163}{2} = 161,5 $.

b) Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 2 là:

$x_2 = \frac{163+166}{2} = 164,5$.

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 3 là:

$x_3 = \frac{166+169}{2} = 167,5$.

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 4 là:

$x_4 = \frac{169+172}{2} = 170,5$.

Giá trị đại diện của nửa khoảng ứng với nhóm 5 là:

$x_5 = \frac{172+175}{2} = 173,5$.

Ta hoàn thiện được Bảng 7 như sau:

c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu đã cho là:

\[\bar{x}=\frac{6\cdot 161,5+12\cdot 164,5+10\cdot 167,5+5\cdot 170,5+3\cdot 173,5}{36}=166,41(6)\]

Trang 8 toán 11 tập 2

LT 4 trang 8 toán 11 tập 2 Cánh diều

Xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trong bài toán ở Luyện tập 2

Lời giải:

Trung điểm ${x_1} = 29,5$ là giá trị đại diện của nhóm 1

Trung điểm ${x_2} = 38,5$ là giá trị đại diện của nhóm 2

Trung điểm ${x_3} = 47,5$ là giá trị đại diện của nhóm 3

Trung điểm ${x_4} = 56,5$ là giá trị đại diện của nhóm 4

Trung điểm ${x_5} = 65,5$ là giá trị đại diện của nhóm 5

Trung điểm ${x_6} = 74,5$ là giá trị đại diện của nhóm 6

Trung điểm ${x_7} = 83,5$ là giá trị đại diện của nhóm 7

Trung điểm ${x_8} = 92,5$ là giá trị đại diện của nhóm 8

${n_1} = 3;{n_2} = 3;{n_3} = 6;{n_4} = 5;{n_5} = 4;{n_6} = 3;{n_7} = 4;{n_8} = 2$

$ \Rightarrow \overline x  = \frac{{29,5.3 + 38,5.3 + 47,5.6 + 56,5.5 + 65,5.4 + 74,5.3 + 83,5.4 + 92,5.2}}{{30}} = 59,2$

HĐ 5 trang 8 toán 11 tập 2 Cánh diều

Trong phòng thí nghiệm, người ta chia 99 mẫu vật thành năm nhóm căn cứ trên khối lượng của chúng (đơn vị: gam) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như Bảng 10.

a)     Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng: $\frac{n}{2} = \frac{{99}}{2} = 49,5$ có đúng không?

b)    Tìm đầu mút trái $r$, độ dài $d$, tần số ${n_3}$ của nhóm 3; tần số tích lũy $c{f_2}$ của nhóm 2.

c)     Tính giá trị ${M_e}$ theo công thức sau: ${M_e} = r + \left( {\frac{{49,5 – c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right).d$

Lời giải:

a)     Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 49,5

b)    + Đầu mút trái của nhóm 3: 32,5

+ Độ dài của nhóm 3: 42,5 – 37,5 = 5

+ Tần số của nhóm 3: 20

+ Tần số tích lũy $c{f_2}$ của nhóm 2: 40

c)     ${M_e} = 32,5 + \left( {\frac{{49,5 – 40}}{{20}}} \right).5 = 34,875$

Trang 9 toán 11 tập 2

LT 5 trang 9 toán 11 tập 2

Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở bảng 1

Lời giải:

Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 60

+ Đầu mút trái của nhóm 3: 8

+ Độ dài của nhóm 3: 4

+ Tần số của nhóm 3: 48

+ Tần số tích lũy $c{f_2}$ của nhóm 2: 42

${M_e} = 8 + \left( {\frac{{60 – 42}}{{48}}} \right).4 = 9,5$

Trang 10 toán 11 tập 2

HĐ 6 trang 10 toán 11 tập 2 Cánh diều

Giáo viên chủ nhiệm chia thời gian sử dụng Internet trong một ngày của 40 học sinh thành năm nhóm (đơn vị: phút) và lập bảng số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như Bảng 12

a)     Tìm trung vị ${M_e}$ của mẫu số liệu ghép nhóm đó. Trung vị ${M_e}$ còn gọi là tứ phân vị thứ 2 ${Q_2}$ của mẫu số liệu trên.

b)    Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = \frac{{40}}{4} = 10$ có đúng không?

Tìm đầu mút trái $s$, độ dài $h$, tần số ${n_2}$ của nhóm 2; tần số tích lũy $c{f_1}$ của nhóm 1

Sau đó, hãy tính giá trị ${Q_1}$ theo công thức sau: ${Q_1} = s + \left( {\frac{{10 – c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h$

Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ của mẫu số liệu đã cho

c)     Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.40}}{4} = 30$ có đúng không?

• Tìm đầu mút trái $t$, độ dài $l$, tần số ${n_3}$ của nhóm 3; tần số tích lũy $c{f_2}$ của nhóm 2.

Sau đó, hãy tính giá trị ${Q_3}$ theo công thức sau: ${Q_3} = t + \left( {\frac{{30 – c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right).l$

Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu đã cho

Lời giải:

a) ${M_e} = 120 + \left( {\frac{{20 – 19}}{{13}}} \right).60 = \frac{{1620}}{{13}}$

b) Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10

– Đầu mút trái của nhóm 2: 60

– Độ dài của nhóm 2: 60

– Tần số của nhóm 2: 13

– Tần số tích lũy của nhóm 1: 6

${Q_1} = 60 + \left( {\frac{{10 – 6}}{{13}}} \right).60 = \frac{{1020}}{{13}}$

c) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30

– Đầu mút trái của nhóm 3: 120

– Độ dài của nhóm 3: 60

– Tần số của nhóm 3: 13

– Tần số tích lũy của nhóm 2: 19

${Q_3} = 120 + \left( {\frac{{20 – 19}}{{13}}} \right).60 = \frac{{1620}}{{13}}$

Trang 12 toán 11 tập 2

LT 6 trang 12 toán 11 tập 2 Cánh diều

Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu trong bảng 1

Lời giải:

Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 60

+ Đầu mút trái của nhóm 3: 8

+ Độ dài của nhóm 3: 4

+ Tần số của nhóm 3: 48

+ Tần số tích lũy $c{f_2}$ của nhóm 2: 42

${M_e} = 8 + \left( {\frac{{60 – 42}}{{48}}} \right).4 = 9,5$

Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30

+ Đầu mút trái của nhóm 2: 4

+ Độ dài của nhóm 2: 4

+ Tần số của nhóm 2: 29

+ Tần số tích lũy $c{f_1}$ của nhóm 1 là: 13

${Q_1} = 4 + \left( {\frac{{30 – 13}}{{29}}} \right).4 \approx 6,34$

Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số lớn hơn hoặc bằng 90

+ Đầu mút trái của nhóm 3: 8

+ Độ dài của nhóm 3: 4

+ Tần số của nhóm 3: 48

+ Tần số tích lũy $c{f_2}$ của nhóm 2: 42

${M_e} = 8 + \left( {\frac{{90 – 42}}{{48}}} \right).4 = 12$

HĐ 7 trang 12 toán 11 tập 2 Cánh diều

Quan sát bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy ở Ví dụ 6 và cho biết:

a) Nhóm nào có tần số lớn nhất

b) Đầu mút trái và độ dài của nhóm có tần số lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

a) Nhóm có tần số lớn nhất là: [50 ; 60)

b) Đầu mút trái của nhóm là: 50

Độ dài của nhóm là: 10

Trang 14 toán 11 tập 2

Bài 1 trang 14 SGK Toán 11 tập 2

Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độc của 40 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đợn vị: km/h)

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng [40; 45), [45; 50), [50; 55), [55; 60), [60; 65), [65; 70)

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Bài làm

a) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả giá trị đại diện là

b) – Trung bình cộng là:

$\bar{x} = \frac{42,5.4+47,5.11++52,5.7+57,5.8+62,5.8+67,5.2}{40}$= 53,875

– Trung vị là:

Có bảng ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy là

Số phần tử của mẫu là n=40. Ta có:

$\frac{n}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = 20 => Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hoặc bằng 20

Xét nhóm 3 là nhóm [50;55) có r = 50; d = 5; n₃ = 7 và nhóm 2 là nhóm [45 ; 50) có cf₂ = 15

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

M_e = 50 + $(\frac{20-15}{7} )$⋅5 ≈ 53,6 (km/h)

– Q1 là:

Số phần tử của mẫu là n=40.

Ta có $\frac{n}{4} = \frac{40}{4}$ = 10. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10. Xét nhóm 2 là nhóm [45 ; 50) có r = 45; d = 5; n₂= 11và nhóm 1 là nhóm [40;45) có f₁ = 4

Áp dụng công thức, ta có Q₁ của mẫu số liệu là

=> Q₁ = 45 + $(\frac{10-4}{11} )$ ⋅ 5 ≈ 47,7 (km/h)

– Q₂ là:

Có Q₂ = M_e ≈ 53,6 (km/h)

– Q₃ là:

Ta có $\frac{3n}{4}$ = 30. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30. Xét nhóm 4 là nhóm [55 ; 60) có r = 55; d = 5; n₄ = 8 và nhóm 3 là nhóm [50 ; 55) có cf₃ = 22

Áp dụng công thức, ta có Q3 của mẫu số liệu là:

Q₃= 55 + $(\frac{30-22}{8} )$ ⋅ 5 = 60 (km/h)

c) Mốt của mẫu số liệu là:

Có nhóm 2 là nhóm có tần số lớn nhất

=> M_o = 45 + $(\frac{11-4}{2.11-4-7} )$ ⋅ 5 ≈ 43,2

Bài 2 trang 14 SGK Toán 11 tập 2

Mẫu số liệu ghi lại cân nặng của 30 bạn học sinh (đơn vị: kilôgam)

a) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số trên có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng:

b) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

c) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu

Bài làm

a) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả giá trị đại diện là

b) – Trung bình cộng là:

$\bar{x} = \frac{17,5+32,5+37,5.10+42,5.17+52,5}{30}$= 40

– Trung vị là:

Có bảng ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy là

Số phần tử của mẫu là n = 30. Ta có:

$\frac{n}{2}$ = $\frac{30}{2}$ =15 => Nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hoặc bằng 15

Xét nhóm 6 là nhóm [40 ; 45) có r = 40; d = 5; n₆ = 17 và nhóm 5 là nhóm [35 ; 40) có cf₅ = 12

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

M_e = 40 + $(\frac{15-12}{17} )$ ⋅ 5 ≈ 40,9 (kilôgam)

– Q₁ là:

Số phần tử của mẫu là n = 30.

Ta có $\frac{n}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = 7,5. Suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7,5. Xét nhóm 5 là nhóm [35 ; 40) có r = 35; d = 5; n₅ = 10 và nhóm 4 là nhóm [30 ; 35) có cf₄ = 2

Áp dụng công thức, ta có Q₁ của mẫu số liệu là

=> Q₁ = 35 + $(\frac{7.5-2}{10} )$ ⋅ 5 = 37,75 (kilôgam)

– Q₂ là:

Có Q₂ = M_e ≈ 40,9 (kilôgam)

– Q₃ là:

Ta có $\frac{3n}{4}$ = 22,5. Suy ra nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 22,5. Xét nhóm 6 là nhóm [40 ; 45) có r = 40; d = 5; n₆ = 17 và nhóm 5 là nhóm [35 ; 40) có cf₅ = 12

Áp dụng công thức, ta có Q3 của mẫu số liệu là:

Q₃ = 40 + $(\frac{22.5-12}{17} )$ ⋅ 5 = 43,1 (kilôgam)

c) Mốt của mẫu số liệu là:

Có nhóm 6 là nhóm có tần số lớn nhất

=> M_o = 40 + $(\frac{17-10}{2.17-10} )$ ⋅ 5 ≈ 41,46

Bài 3 trang 14 SGK Toán 11 tập 2

Bảng 15 cho ta tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của 40 mẫu câu ở vườn thực vật (đơn vị: centimét)

a) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu

Bài làm

a) Có bảng ghép nhóm bao gồm cả giá trị đại diện là

– Trung bình cộng là:

$\bar{x} = \frac{35.4+45.10+55.14+65.6+75.4++85.2}{40}$= 55.5

– Trung vị là

Số phần tử của mẫu là n = 40. Ta có:

$\frac{n}{2} = \frac{40}{2}$ = 20 => Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hoặc bằng 20

Xét nhóm 3 là nhóm [50 ; 60) có r = 50; d = 10; n₃ = 14 và nhóm 2 là nhóm [45 ; 50) có cf₂ = 14

Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

M_e = 50 + $(\frac{20-14}{14} )$ ⋅ 10 ≈ 54,3 (centimét)

– Q₁ là:

Số phần tử của mẫu là n = 40.

Ta có $\frac{n}{4}$ = $\frac{40}{4}$ = 10. Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10. Xét nhóm 2 là nhóm [40 ; 50) có r = 40; d = 10; n₂ = 10 và nhóm 1 là nhóm [30; 40) có cf₁ = 4

Áp dụng công thức, ta có Q₁ của mẫu số liệu là

=> Q1 = 40 + $(\frac{10-4}{10} )$ ⋅ 10 ≈ 46 (centimét)

– Q₂là:

Có Q₂ = M_e ≈ 54,3 (centimét)

– Q₃ là:

Ta có $\frac{3n}{4}$ = 30. Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30. Xét nhóm 4 là nhóm [60 ; 70) có r = 60; d = 10; n₄ = 6 và nhóm 3 là nhóm [50 ; 60) có cf₃ = 28

Áp dụng công thức, ta có Q3 của mẫu số liệu là:

Q₃ = 60 + $(\frac{30-28}{6} )$ ⋅ 10 = 63,3 (centimét)

c) Mốt của mẫu số liệu là:

Có nhóm 3 là nhóm có tần số lớn nhất

=> M_o = 50 + $(\frac{14-10}{2.14−10−6} )$ ⋅ 10 ≈ 53,3