Toán 11 tập 2 trang 55 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Toán 11 tập 2 trang 55 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
Giải toán 11 tập 2 trang 55 Bài 4 sách Cánh diều có đáp án chi tiết từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Trang 48 toán 11 tập 2
Hoạt động 1 trang 48 toán 11 tập 2
Trong bài toán ở phần mở đầu, giả sử r = 1,14%/năm
a) Viết phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu
b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lũy thừa?
Lời giải:
a) Phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu là:
$S = 2S.{e^{1,14.t}} \Leftrightarrow 2{e^{1,14t}} = 1 \Leftrightarrow {e^{1,14t}} = \frac{1}{2}$
b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là t và nằm ở vị trí mũ của lũy thừa
Luyện tập – Vận dụng 1 trang 48 toán 11 tập 2
Cho hai ví dụ về phương trình mũ
Lời giải:
2 ví dụ về phương trình mũ
- ${4^{x + 1}} = 2$
- ${7^{2x}} = 49$
Hoạt động 2 trang 48 toán 11 tập 2
a) Vẽ đồ thị hàm số $y = {3^x}$ và đường thẳng y = 7
b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình ${3^x} = 7$
Lời giải:
a) Ta có bảng sau:
Ta có đồ thị sau:
b, Hai đồ thị $y = {3^x}$ và y = 7 có 1 giao điểm. Vậy số nghiệm của phương trình ${3^x} = 7$ là 1
Trang 49 toán 11 tập 2
Luyện tập – Vận dụng 2 trang 49 toán 11 tập 2
Giải mỗi phương trình sau:
a) ${9^{16 – x}} = {27^{x + 4}}$
b) ${16^{x – 2}} = 0,{25.2^{ – x + 4}}$
Lời giải:
a) ${9^{16 – x}} = {27^{x + 4}}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {3^{2.\left( {16 – x} \right)}} = {3^{3.\left( {x + 4} \right)}}\\ \Leftrightarrow 2.\left( {16 – x} \right) = 3.\left( {x + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 32 – 2x – 3x – 12 = 0\\ \Leftrightarrow – 5x = – 20\\ \Leftrightarrow x = 4\end{array}$
b) ${16^{x – 2}} = 0,{25.2^{ – x + 4}}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{4\left( {x – 2} \right)}} = 0,{25.2^{ – x + 4}}\\ \Leftrightarrow {2^{4x – 8 + x – 4}} = 0,25\\ \Leftrightarrow {2^{5x – 12}} = 0,25\\ \Leftrightarrow 5x – 12 = {\log _2}0,25\\ \Leftrightarrow 5x – 12 = – 2\\ \Leftrightarrow x = 2\end{array}$
Hoạt động 3 trang 49 toán 11 tập 2
Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: $pH = – \log [{H^ + }]$ (Trong đó $[{H^ + }]$ chỉ nống độ hydrogen). Đo chỉ số pH của một mẫu nước sông, ta có kết quả là pH = 6,1.
a) Viết phương trình thể hiện nồng độ x của ion hydrogen $[{H^ + }]$ trong mẫu nước sông đó.
b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lôgarit?
Lời giải:
a) Ta có: $ – \log [{H^ + }] = 6.1 \Leftrightarrow – \log x = 6,1$
b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là x và nằm ở vị trí hệ số của logarit
Trang 50 toán 11 tập 2
Luyện tập – Vận dụng 3 trang 50 toán 11 tập 2
Cho hai ví dụ về phương trình logarit
Lời giải:
- ${\log _2}\left( {x + 1} \right) = 8$
- ${\log _3}\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 2$
Hoạt động 4 trang 50 toán 11 tập 2
a) Vẽ đồ thị hàm số $y = {\log _4}x$ và đường thẳng y = 5
b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình ${\log _4}x = 5$
Lời giải:
a) Đồ thị hai hàm số:
b, Hai hàm số có 1 giao điểm. Phương trình ${\log _4}x = 5$ có 1 nghiệm
Trang 51 toán 11 tập 2
Luyện tập – Vận dụng 4 trang 51 toán 11 tập 2
Giải mỗi phương trình sau:
a) ${\log _5}\left( {2x – 4} \right) + {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {x – 1} \right) = 0$
b) ${\log _2}x + {\log _4}x = 3$
Lời giải:
a) ${\log _5}\left( {2x – 4} \right) + {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {x – 1} \right) = 0$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\{\log _5}\left( {2x – 4} \right) – {\log _5}\left( {x – 1} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\{\log _5}\left( {\frac{{2x – 4}}{{x – 1}}} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\\frac{{2x – 4}}{{x – 1}} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\2x – 4 = x – 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}$
Vậy phương trình có nghiệm x = 3
b) ${\log _2}x + {\log _4}x = 3$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x + {\log _2}{x^2} = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}{x^3} = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^3} = {2^3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 2\end{array}$
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
HĐ 5 trang 51 toán 11 tập 2
Quan sát Hình 11 và nêu nhận xét về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$. Từ đó, hãy tìm x sao cho ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 2$
Phương pháp giải:
Dựa vào nhìn đồ thị để xét tính đồng biến nghịch biến
Lời giải chi tiết:
– Hàm số $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ nghịch biến trên toàn R
– Dựa vào đồ thị ta thấy: ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 2 \Leftrightarrow x > – 1$
Trang 52 toán 11 tập 2
LT 5 trang 52 toán 11 tập 2
Cho hai ví dụ về bất phương trình mũ cơ bản
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa bất phương trình mũ để xác định
Lời giải chi tiết:
Ví dụ:
+ ${3^x} = 9$
+ ${4^{x + 2}} = 16$
Trang 53 toán 11 tập 2
LT 6 trang 53 toán 11 tập 2
Giải mỗi bất phương trình sau:
a) ${7^{x + 3}} < 343$
b) ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} \ge 3$
Phương pháp giải:
Dựa vào ví dụ 10 để làm
Lời giải chi tiết:
a) ${7^{x + 3}} < 343$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 3 < {\log _7}343\\ \Leftrightarrow x + 3 < 3\\ \Leftrightarrow x < 0\end{array}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $\left( { – \infty ;0} \right)$
b) ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} \ge 3$
$ \Leftrightarrow x \le {\log _{\frac{1}{4}}}3$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $\left( { – \infty ;{{\log }_{\frac{1}{4}}}3} \right]$
HĐ 6 trang 53 toán 11 tập 2
Quan sát Hình 12 và nêu nhận xét về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số lôgarit $y = {\log _2}x$. Từ đó, hãy tìm x sao cho ${\log _2}x > 1$
Phương pháp giải:
Dựa vào nhìn đồ thị để xét tính đồng biến nghịch biến
Lời giải chi tiết:
– Hàm số $y = {\log _2}x$ đồng biến trên tập xác định
– Dựa vào đồ thị ta thấy: ${\log _2}x > 1 \Leftrightarrow x > 2$
LT 7 trang 53 toán 11 tập 2
Cho hai ví dụ về bất phương trình logarit cơ bản
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa để làm
Lời giải chi tiết:
- $\log x > 1$
- ${\log _3}\left( {x + 1} \right) < 6$
Trang 54 toán 11 tập 2
LT 8 trang 54 toán 11 tập 2
Giải mỗi bất phương trình sau:
a) ${\log _3}x < 2$
b) ${\log _{\frac{1}{4}}}\left( {x – 5} \right) \ge – 2$
Phương pháp giải:
Dựa vào ví dụ 13 để làm
Lời giải chi tiết:
a) ${\log _3}x < 2$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 < x < {3^2}\\ \Leftrightarrow 0 < x < 9\end{array}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (0 ; 9)
b) ${\log _{\frac{1}{4}}}\left( {x – 5} \right) \ge – 2$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 < x – 5 \le {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ – 2}}\\ \Leftrightarrow 5 < x \le 21\end{array}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {5;21} \right]$
Bài 1 trang 54 SGK Toán 11 tập 2
a) (0,3)x−3 = 1
b) 53x−2 = 25
c) 9x−2 = 243x+1
d) $log_{\frac{1}{2} } (x+1)$ = −3
e) log5(3x − 5) = log5(2x + 1)
g) $log_{\frac{1}{7} } (x+9)$ = $log_{\frac{1}{7} } (2x-1)$
Bài làm
a) (0,3)x−3 = 1
<=> (0,3)x−3 = (0,3)0
<=> x − 3 = 0
<=> x = 3
b) 53x−2 = 25
<=> 53x−2 = 52
<=> 3x − 2 = 2
<=> 3x = 4
<=> x = $\frac{4}{3}$
c) 9x−2 = 243x+1
<=> 32(x − 2) = 35(x + 1)
<=> 2x − 4 = 5x + 5
<=> −3x = 9
<=> x = −3
d) $log_{\frac{1}{2} } (x+1)$ = −3
ĐKXĐ: x + 1 > 0 => x > −1
<=> $log_{\frac{1}{2} } (x+1)$ = $log_{\frac{1}{2} } (8)$
<=> x + 1 = 8
<=> x = 7
e) log5(3x − 5) = log5(2x + 1)
ĐKXĐ: x > $\frac{5}{3}$
<=> 3x − 5 = 2x + 1
<=> x = 6
g) $log_{\frac{1}{7} } (x+9)$ = $log_{\frac{1}{7} } (2x-1)$
ĐKXĐ: x > $\frac{1}{2}$
<=> x + 9 = 2x − 1
<=> x = 10
Bài 2 trang 55 SGK Toán 11 tập 2
Giải mỗi bất phương trình sau:
a) $3^{x}>\frac{1}{243}$
b) $\left ( \frac{2}{3} \right )^{3x-7}\leq \frac{3}{2}$
c) $4^{x+3}\geq 32^{x}$
d) log(x – 1) < 0
e) $log_{\frac{1}{5}}(2x-1)\geq log_{\frac{1}{5}}(x+3)$
g) $ln(x+3)\geq ln(2x-8)$
Bài làm
a) $3^{x}>\frac{1}{243}$
<=> $3^{x}>3^{-5}$
<=> x > -5
b) $\left ( \frac{2}{3} \right )^{3x-7}\leq \frac{3}{2}$
<=> $3x-7\geq -1$
<=> $3x\geq 6$
<=> $x\geq 2$
c) $4^{x+3}\geq 32^{x}$
<=> $2^{2(x+3)}\geq 2^{5x}$
<=> $2x+6\geq 5x$
<=> $-3x\geq -6$
<=> $x\leq 2$
d) log(x – 1) < 0
ĐKXĐ: x > 1
<=> log(x-1) < log(1)
<=> x – 1 < 1
<=> x < 2
Kết hợp với ĐKXĐ: 1 < x < 2
e) $log_{\frac{1}{5}}(2x-1)\geq log_{\frac{1}{5}}(x+3)$
ĐKXĐ: $x>\frac{1}{2}$
<=> $2x-1\leq x+3$
<=> $x\leq 4$
Kết hợp với ĐKXĐ => $\frac{1}{2}< x\leqslant 4$
g) $ln(x+3)\geq ln(2x-8)$
ĐKXĐ: x > 3
<=> $x+3\geq 2x-8$
<=> $x\leq 11$
Kết hợp với ĐKXĐ => $3< x \leq 11$
Bài 3 trang 55 SGK Toán 11 tập 2
Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất là x%/năm ( x> 0). Sau 3 năm, người đó rút được cả gốc và lãi là 119,1016 triệu đồng. Tìm x, biết rằng lãi suất không thay đổi qua các năm và người đó không rút tiền ra trong suốt quá trình gửi
Bài làm
Có công thức: $100.(1+\frac{x}{100})^{3}=119,1016$
<=> $1+\frac{x}{100}=1.06$
<=> $\frac{x}{100}=0,06$
<=> x = 6%
Bài 4 trang 55 SGK Toán 11 tập 2
Sử dụng công thức tính mức độ cường âm L ở ví dụ 14, hãy tính cường gộ âm mà tai người có thể chịu đựng được, biết rằng giá trị cực đại của mức cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được là 130dB
Bài làm
$L=10log\frac{I}{10^{-12}}$
<=> $130=10log\frac{I}{10^{-12}}$
<=> $log\frac{I}{10^{-12}}=13$
<=> $log\frac{I}{10^{-12}}=log1.10^{13}$
<=> $\frac{I}{10^{-12}}=1.10^{13}$
<=> I = 10