Toán 11 tập 2 trang 115 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Giải toán 11 tập 2 trang 115 Bài 6 sách Cánh diều có đáp án chi tiết từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 107 toán 11 tập 2

Hoạt động 1 trang 107 toán 11 tập 2

Cho hình lăng trụ tam giác có các mặt bên là hình chữ nhật ở Hình 80a, 80b. Hãy cho biết mỗi cạnh bên của lăng trụ đó có vuông góc với các mặt đáy hay không.

Lời giải:

$ABB’A’$ là hình chữ nhật $ \Rightarrow AA’ \bot AB$

$ACC’A’$ là hình chữ nhật $ \Rightarrow AA’ \bot AC$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AA’ \bot \left( {ABC} \right)\\AA’\parallel BB’\parallel CC’\end{array} \right\} \Rightarrow BB’ \bot \left( {ABC} \right),CC’ \bot \left( {ABC} \right)$

Vậy các cạnh bên của lăng trụ đó vuông góc với các mặt đáy.

Luyện tập 1 trang 107 toán 11 tập 2

Cho hình lập phương có cạnh bằng $a$. Tính độ dài đường chéo của hình lập phương đó.

Lời giải:

$\Delta ABC$ vuông tại $B \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2 $

$\Delta AA’C$ vuông tại $A \Rightarrow A’C = \sqrt {AA{‘^2} + A{C^2}}  = a\sqrt 3 $

Vậy độ dài đường chéo của hình lập phương đó bằng $a\sqrt 3 $.

Trang 108 toán 11 tập 2

Hoạt động 2 trang 108 toán 11 tập 2

Để tạo mô hình một tháp chuông ở Hình 83a từ một tấm bìa hình vuông, bạn Dũng cắt bỏ phần màu trắng gồm bốn tam giác cân bằng nhau có đáy là các cạnh của tấm bìa (Hình 83b) rồi gấp lại phần màu xanh để tạo thành một hình chóp tứ giác. Quan sát Hình 83a, 83b và cho biết:

a) Đáy của hình chóp mà bạn Dũng tạo ra là tứ giác có tính chất gì;

b) Các cạnh bên của hình chóp đó có bằng nhau hay không.

Lời giải:

a) Đáy của hình chóp mà bạn Dũng tạo ra là hình vuông.

b) Các cạnh bên của hình chóp đó bằng nhau.

Trang 110 toán 11 tập 2

Luyện tập 2 trang 110 toán 11 tập 2

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$. Chứng minh rằng các cạnh bên tạo với mặt phẳng chứa đáy các góc bằng nhau.

Lời giải:

Gọi $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\\ \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SA,OA} \right) = \widehat {SAO},\\\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,OB} \right) = \widehat {SBO},\\\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,OC} \right) = \widehat {SCO}\end{array}$

Tam giác $ABC$ đều $ \Rightarrow OA = OB = OC$.

$\begin{array}{l}SA = SB = SC \Rightarrow \frac{{OA}}{{SA}} = \frac{{OB}}{{SB}} = \frac{{OC}}{{SC}} \Rightarrow \cos \widehat {SAO} = \cos \widehat {SBO} = {\mathop{\rm co}\nolimits} \widehat {sSCO}\\ \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right)\end{array}$

Hoạt động 3 trang 110 toán 11 tập 2

Khối bê tông ở Hình 87a gợi nên hình ảnh một hình chóp bị cắt đi bởi mặt phẳng $\left( R \right)$ song song với đáy. Hình 87b là hình biểu diễn của khối bê tông ở Hình 87a. Hãy dự đoán về mối quan hệ giữa các đường thẳng chứa các cạnh ${A_1}{B_1},{A_2}{B_2},{A_3}{B_3},{A_4}{B_4}$.

Lời giải:

Các đường thẳng chứa các cạnh ${A_1}{B_1},{A_2}{B_2},{A_3}{B_3},{A_4}{B_4}$ đồng quy tại một điểm.

Trang 111 toán 11 tập 2

Luyện tập 3 trang 111 toán 11 tập 2

Cho hình chóp đều $S.ABC$. Gọi $A’,B’,C’$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $SA,SB,SC$. Chứng minh rằng phần hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {A’B’C’} \right)$ là hình chóp cụt đều.

Lời giải:

$A’$ là trung điểm của $SA$

$B’$ là trung điểm của $SB$

$ \Rightarrow A’B’$ là đường trung bình của $\Delta SAB$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow A’B’\parallel AB\\AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A’B’\parallel \left( {ABC} \right)$

$A’$ là trung điểm của $SA$

$C’$ là trung điểm của $SC$

$ \Rightarrow A’C’$ là đường trung bình của $\Delta SAC$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow A’C’\parallel AC\\AC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow A’C’\parallel \left( {ABC} \right)$

$\left. \begin{array}{l}A’B’\parallel \left( {ABC} \right)\\A’C’\parallel \left( {ABC} \right)\\A’B’,A’C’ \subset \left( {A’B’C’} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {A’B’C’} \right)\parallel \left( {ABC} \right)$

Vậy phần hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {A’B’C’} \right)$ là hình chóp cụt đều.

Trang 112 toán 11 tập 2

Hoạt động 4 trang 112 toán 11 tập 2

Hãy nêu lại công thức tính thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác, khối lăng trụ đứng tứ giác.

Lời giải:

Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác, khối lăng trụ đứng tứ giác bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

V = B.h với B là diện tích đáy, h là chiều cao khối lăng trụ.

Luyện tập 4 trang 112 toán 11 tập 2

Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$’ biết tất cả các cạnh bằng $a$ và hình chiếu của $A’$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là trung điểm của $AB$.

Lời giải:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$$ \Rightarrow A’H \bot \left( {ABC} \right)$

$AH = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

$\Delta AA’H$ vuông tại $H$$ \Rightarrow A’H = \sqrt {AA{‘^2} – A{H^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{ABC.A’B’C’}} = {S_{\Delta ABC}}.A’H = \frac{{3{a^3}}}{8}\end{array}$

Trang 114 toán 11 tập 2

Luyện tập 5 trang 114 toán 11 tập 2

Cho khối tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Chứng minh rằng thể tích của khối tứ diện đó bằng $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$.

Lời giải:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

$ \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)$

Tam giác $ABC$ đều

$ \Rightarrow AM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Tam giác $SAO$ vuông tại $O \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} – A{O^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$

$\begin{array}{l}{S_{\Delta ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\end{array}$

Luyện tập 6 trang 114 toán 11 tập 2

Một thùng đựng rác có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với hai cạnh đáy lần lượt dài 2 dm và 3 dm, chiều cao bằng 4 dm. Tính thể tích của thùng đựng rác.

Lời giải:

Diện tích đáy lớn là: $S = A{B^2} = {3^2} = 9$

Diện tích đáy bé là: $S’ = {2^2} = 4$

Thể tích hình chóp cụt là:

$V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS’}  + S’} \right) = \frac{1}{3}.4\left( {9 + \sqrt {9.4}  + 4} \right) = \frac{{76}}{3} \approx 25,3\left( {d{m^3}} \right)$

Trang 115 toán 11 tập 2

Bài 1 trang 115 SGK Toán 11 tập 2

Quan sát và cho biết chiếc đèn treo ở Hình 96a, trạm khảo sát trắc địa ở Hình 96b có dạng hình gì?

Bài làm

Hình 96a có dạng hình khối lăng trụ

Hình 96b có dạng hình khối chóp cụt đều

Bài 2 trang 115 SGK Toán 11

Cho hình chóp đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a

a) Chứng minh rằng các tam giác ASC và BSD là tam giác vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh rằng đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

c) Chứng minh rằng góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 độ

Bài làm

a) ABCD là hình vuông => AC = BD = a$\sqrt{2}$

Xét $\Delta$ ASC có SA² + SC² = 2a² = AC², SA = SC

=> Tam giác ASC là tam giác vuông cân tại S

Xét $\Delta$ BSD có: SB² + SD² = 2a² = BD², SB = SD

=> Tam giác BSD là tam giác vuông cân tại S

b) Tam giác ASC là tam giác vuông cân tại S => SO ⊥ AC

Tam giác BSD là tam giác vuông cân tại S => SO ⊥ BD

=> SO ⊥ (ABCD)

c) SO ⊥ (ABCD) => (SA,(ABCD)) = (SA,OA) = $\widehat{SAO}$

Tam giác ASC vuông cân tại S => $\widehat{SAO}$ = 45^∘

Vậy (SA,(ABCD)) = 45^∘

Bài 3 trang 115 SGK Toán 11 tập 2

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC” và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’.

Bài làm

a) ABCD là hình vuông => AB ⊥ BD

BB′ ⊥ (ABCD) => BB′ ⊥ AC

=>AC ⊥ (BDD′B′)

mà AC ⊂ (ACC′A′)

=>(ACC′A′) ⊥ (BDD′B′)

b) Có AB // CD

CD // C’D’

=> AB // C’D’

=> d(AB,C’D’) = d(B,C’D’)

Tương tự, có d(B, C’D’) = BC’

ABCD là hình vuông

=> AC = a$\sqrt{2}$

CC′ ⊥ (ABCD) => (AC′,(ABCD)) = (AC′,AC) = $\widehat{CAC’}$ = 60^∘

=> CC ′= AC.tan$\widehat{CAC’}$ = a$\sqrt{6}$

Tam giác BCC’ vuông tại C => BC′² = a$\sqrt{7}$

Bài 4 trang 115 SGK Toán 11

Một chiếc bánh chưng có dạng khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh là 15 cm, 15cm và 6cm. Tính thể tích của chiếc bánh chưng đó

Bài làm

Thể tích chiếc bánh chưng là: 15.15.6 = 1350 (cm²)

Bài 5 trang 115 SGK Toán 11 tập 2

Một miếng pho mát có dạng khối lăng trụ đứng với chiều cao 10 cm và đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 12 cm. Tính khối lượng của miếng pho mát theo đơn vị gam, biết khối lượng riêng của loại pho mát đó là 3g/cm².

Bài làm

Diện tích đáy của miếng phomat là:

$\frac{1}{2}$⋅6$\sqrt{3}$⋅12$\sqrt{2}$ = 36$\sqrt{6}$

Thể tích của miếng phomat là: 36$\sqrt{6}$⋅10 ≈ 882 (cm²)

Vậy khối lượng của miếng phomat là: 882.3 = 2646 (g)

Bài 6 trang 115 SGK Toán 11 tập 2

Một loại đèn đá muối có dạng khối chóp tứ giác đều. Tính theo a thể tích của đèn đá muối đó, giả sử các cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng a

Bài làm

Có diện tích đáy là a^{2}

Chiều cao của khối chóp là: $\sqrt{a^{2}-\left ( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right )^{2}}=\frac{a^{2}}{2}$

Thể tích là: $\frac{1}{3\cdot }\frac{a^{2}}{2}\cdot a^{2}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{6}$

Bài 7 trang 115 SGK Toán 11 tập 2

Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình 98). Cạnh đáy dưới dài 5 m, cạnh đáy trên dài 2 m, cạnh bên dài 3 m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1 470 000 đồng/m³. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Bài làm

Theo đề bài, ta có AB = 5, A’B’ = 2, CC’ = 3

Có ABCD là hình vuông

=> AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=5\sqrt{2}$

=> CO = $\frac{1}{2}AC=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Có A’B’C’D’ là hình vuông

A’C’ = $\sqrt{A’B’^{2}+B’C’^{2}}=2\sqrt{2}$

=> C’O’ = $\frac{1}{2}A’C’=\sqrt{2}$

Kẻ C’H ⊥ OC

=> OHC’O’ là hình chữ nhật

=> $OH=O’C’=\sqrt{2}, OO’=C’H => CH=OC-OH=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

– Có tam giác CC’H vuông tại H => $C’H=\frac{3\sqrt{2}}{2} => OO’=C’H=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Diện tích đáy lớn là $S=AB^{2}=5^{2}=25 ( m^{2} )$

Diện tích đáy bé là $S’=A’B’^{2}=2^{2}=4 ( m^{2} )$

Thể tích hình chóp cụt là

$V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{SS’}+S’)$

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}(25+\sqrt{25.4}+4)=\frac{39\sqrt{2}}{2} ( m^{3} )$

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:

$\frac{39\sqrt{2}}{2}.1470000\approx 40 538 432$ (đồng)