Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn Toán lớp 9 tập 1
Giải Bài 1: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn Toán lớp 9 tập 1 có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Giải Toán 9 trang 6
Hoạt động 1 trang 6 TOÁN LỚP 9 Tập 1
Cho phương trình \(\left( {x + 3} \right)\left( {2x – 5} \right) = 0\).
a) Các giá trị \(x = – 3,\,x = \frac{5}{2}\) có phải là nghiệm của phương trình không? Tại sao?
b) Nếu số \({x_0}\) khác \(- 3\) và khác \(\frac{5}{2}\) thì \({x_0}\) có phải là nghiệm của phương trình không? Tại sao?
Lời giải:
a) Với \(x = – 3\), ta có: \(\left( {x + 3} \right)\left( {2x – 5} \right) = \left( { – 3 + 3} \right)\left( {2x – 5} \right) = 0.\left( {2x – 5} \right) = 0\).
Với \(x = \frac{5}{2}\), ta có: \(\left( {x + 3} \right)\left( {2x – 5} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {2.\frac{5}{2} – 5} \right) = \left( {x + 3} \right).0 = 0\).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = – 3\) và \(x = \frac{5}{2}\).
b) Nếu số \({x_0}\) khác -3 và khác \(\frac{5}{2}\) thì \({x_0}\) không phải là nghiệm của phương trình.
Giải Toán 9 trang 7
Thực hành 1 trang 7 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Giải các phương trình:
a) \(\left( {x – 7} \right)\left( {5x + 4} \right) = 0\);
b) \(\left( {2x + 9} \right)\left( {\frac{2}{3}x – 5} \right) = 0\).
Lời giải:
a) Ta có: \(\left( {x – 7} \right)\left( {5x + 4} \right) = 0\)
\(x – 7 = 0\) hoặc \(5x + 4 = 0\)
\(x = 7\) hoặc \(x = \frac{{ – 4}}{5}\).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 7\) và \(x = \frac{{ – 4}}{5}\).
b) Ta có: \(\left( {2x + 9} \right)\left( {\frac{2}{3}x – 5} \right) = 0\)
\(2x + 9 = 0\) hoặc \(\frac{2}{3}x – 5 = 0\)
\(x = – 3\) hoặc \(\frac{2}{3}x = 5\)
\(x = – 3\) hoặc \(x = \frac{{15}}{2}\).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = – 3\) và \(x = \frac{{15}}{2}\).
Thực hành 2 trang 7 TOÁN LỚP 9 Tập 1
Giải các phương trình:
a) 2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0;
b) x(3x + 5) – 6x – 10 = 0.
Lời giải:
a) Ta có: 2x(x + 6) + 5(x + 6) = 0
(x + 6)(2x + 5) = 0
x + 6 = 0 hoặc 2x + 5 = 0
x = –6 hoặc \(x = \frac{{ – 5}}{2}\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –6 và \(x = \frac{{ – 5}}{2}\)
b) Ta có: x(3x + 5) – 6x – 10 = 0
x(3x + 5) – 2(3x + 5) = 0
(3x + 5)(x – 2) = 0
3x + 5 = 0 hoặc x – 2 = 0
\(x = \frac{{ – 5}}{3}\) hoặc x = 2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{{ – 5}}{3}\) và x = 2.
Vận dụng 1 trang 7 TOÁN LỚP 9 Tập 1
Độ cao \(h\) (mét) của một quả bóng gôn sau khi được đánh \(t\) giây được cho bởi công thức \(h = t\left( {20 – 5t} \right)\). Có thể tính được thời gian bay của quả bóng kể từ khi được đánh đến khi chạm đất không?
Lời giải:
Quả bóng lúc bắt đầu đánh lên (nghĩa là lúc độ cao của quả bóng so với mặt đất là h = 0) đến khi quả bóng chạm đất (lúc này độ cao của quả bóng so với mặt đất cũng là h = 0).
Thay h = 0 vào công thức đã cho, ta được: t(20 – 5t) = 0.
t = 0 hoặc 20 – 5t = 0
t = 0 hoặc t = 4.
Do đó t = 0 giây là lúc quả bóng chưa được đánh lên cao, t = 4 giây là thời gian quả bóng được đánh lên và sau đó chạm đất.
Vậy thời gian bay của quả bóng từ khi được đánh đến khi chạm đất là 4 giây.
Hoạt động 2 trang 7 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Xét hai phương trình
\(2x + \frac{1}{{x – 2}} – 4 = \frac{1}{{x – 2}}\,\,(1)\) và \(2x – 4 = 0\,\,(2)\)
a) Có thể biến đổi như thế nào để chuyển phương trình (1) về phương trình (2)?
b) \(x = 2\) có là nghiệm của phương trình (2) không? Tại sao?
c) \(x = 2\) có là nghiệm của phương trình (1) không? Tại sao?
Lời giải:
a)
\(\begin{array}{l}2x + \frac{1}{{x – 2}} – 4 = \frac{1}{{x – 2}}\,\,\\\frac{{2x(x – 2)}}{{x – 2}} + \frac{1}{{x – 2}} – \frac{{4(x – 2)}}{{x – 2}} = \frac{1}{{x – 2}}\\\frac{{2x(x – 2) + 1 – 4(x – 2)}}{{x – 2}} = \frac{1}{{x – 2}}\\\frac{{2{x^2} – 4x + 1 – 4x + 8}}{{x – 2}} = \frac{1}{{x – 2}}\\\frac{{2{x^2} – 8x + 8}}{{x – 2}} = 0\\\frac{{2({x^2} – 4x + 4)}}{{x – 2}} = 0\\\frac{{2{{(x – 2)}^2}}}{{x – 2}} = 0\end{array}\)
Nếu \(x – 2 = 0\) thì phương trình vô nghĩa.
Nếu \(x – 2 \ne 0\) suy ra \(x \ne 2\) thì phương trình trở thành:
\(\begin{array}{l}2(x – 2) = 0\\2x – 4 = 0\end{array}\)
Vậy để biến đổi phương trình (1) về phương trình (2) thì \(x \ne 2\).
b) Thay \(x = 2\) vào phương trình (1) ta được:
\(\begin{array}{l}2.2 + \frac{1}{{2 – 2}} – 4 = \frac{1}{{2 – 2}}\,\,\\0 + \frac{1}{0} – 4 = \frac{1}{0}\end{array}\)
Điều này là vô lí nên \(x = 2\) không phải là nghiệm của phương trình (1).
c) Thay \(x = 2\) vào phương trình (2) ta được:
\(\begin{array}{l}2.2 – 4 = 0\\4 – 4 = 0\\0 = 0\end{array}\)
Điều này luôn đúng nên \(x = 2\) là nghiệm của phương trình (2).
Giải Toán 9 trang 8
Thực hành 3 trang 8 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:
a) \(\frac{5}{{x + 7}} = \frac{{ – 14}}{{x – 5}}\)
b) \(\frac{3}{{3x – 2}} = \frac{x}{{x + 2}} – 1\)
Lời giải:
a) \(\frac{5}{{x + 7}} = \frac{{ – 14}}{{x – 5}}\)
Điều kiện xác định: \(x + 7 \ne 0\) và \(x – 5 \ne 0\)
khi \(x \ne – 7\) và \(x \ne 5\).
Vậy điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne – 7\) và \(x \ne 5\).
b) \(\frac{3}{{3x – 2}} = \frac{x}{{x + 2}} – 1\)
Điều kiện xác định: \(3x – 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\)
khi \(x \ne \frac{2}{3}\) và \(x \ne – 2\).
Vậy điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne \frac{2}{3}\) và \(x \ne – 2\).
Hoạt động 3 trang 8 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Cho phương trình \(\frac{x}{{x – 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1\).
a) Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.
b) Xét các phép biến đổi như sau:
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{x – 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1\\\frac{x}{{x – 2}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\end{array}\)
\(\frac{{x(x + 1)}}{{(x – 2)(x + 1)}} = \frac{{(x + 2)(x – 2)}}{{(x + 1)(x – 2)}}\)
\({x^2} + x = {x^2} – 4\)
\(x = – 4\)
Hãy giải thích cách thực hiện mỗi phép biến đổi trên.
c) \(x = – 4\) có là nghiệm của phương trình đã cho không?
Lời giải:
a) Điều kiện xác định: \(x – 2 \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\)
khi \(x \ne 2\) và \(x \ne – 1\).
Vậy điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 2\) và \(x \ne – 1\).
b) \(\frac{x}{{x – 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1\)
Quy đồng vế phải với mẫu thức chung là \(x + 1\): \(\frac{x}{{x – 2}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\)
Quy đồng cả hai vế với mẫu thức chung là \((x – 2)(x + 1)\): \(\frac{{x(x + 1)}}{{(x – 2)(x + 1)}} = \frac{{(x + 2)(x – 2)}}{{(x + 1)(x – 2)}}\)
Hai phân thức bằng nhau có cùng mẫu thì tử bằng nhau.\({x^2} + x = {x^2} – 4\)
Giải phương trình ta được \(x = – 4\)
c) Thay \(x = – 4\) vào phương trình, ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{ – 4}}{{( – 4) – 2}} = \frac{1}{{( – 4) + 1}} + 1\\\frac{{ – 4}}{{ – 6}} = \frac{1}{{ – 3}} + 1\\\frac{2}{3} = \frac{2}{3}\\\frac{2}{3} – \frac{2}{3} = 0\\0 = 0\end{array}\)
Điều này luôn đúng nên \(x = – 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy \(x = – 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.
Giải Toán 9 trang 9
Thực hành 4 trang 9 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Giải các phương trình:
a) \(\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2\);
b) \(\frac{2}{{x – 2}} – \frac{3}{{x – 3}} = \frac{{3x – 20}}{{(x – 3)(x – 2)}}\).
Lời giải:
a) \(\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2\)
Điều kiện xác định: \(x \ne – 5\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2\\\frac{{2(x + 6)}}{{2(x + 5)}} + \frac{{3(x + 5)}}{{2(x + 5)}} = \frac{{2.2(x + 5)}}{{2(x + 5)}}\\2x + 12 + 3x + 15 = 4x + 20\\x = – 7\end{array}\)
Ta thấy: \(x = – 7\) thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = – 7\).
b) \(\frac{2}{{x – 2}} – \frac{3}{{x – 3}} = \frac{{3x – 20}}{{(x – 3)(x – 2)}}\)
Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne 3\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{2}{{x – 2}} – \frac{3}{{x – 3}} = \frac{{3x – 20}}{{(x – 3)(x – 2)}}\\\frac{{2(x – 3)}}{{(x – 2)(x – 3)}} – \frac{{3(x – 2)}}{{(x – 2)(x – 3)}} = \frac{{3x – 20}}{{(x – 2)(x – 3)}}\\2x – 6 – 3x + 6 = 3x – 20\\4x = 20\\x = 5\end{array}\)
Ta thấy \(x = 5\) thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 5\).
Vận dụng 2 trang 9 TOÁN LỚP 9 TậP 1
Hai thành phố A và B cách nhau 120km. Một ô tô di chuyển từ A đến B, rồi quay trở về A với tổng thời gian đi và về là 4 giờ 24 phút. Tính tốc độ lúc đi của ô tô, biết tốc độ lúc về lớn hơn tốc độ lúc đi là 20%.
Lời giải:
Gọi tốc độ lúc đi của ô tô là \(x\) (km/h), \(x > 0\).
Thời gian lúc đi của ô tô là \(\frac{{120}}{x}\) (giờ).
Tốc độ lúc về của ô tô là \(x + 20\% x = 1,2x\) (km/h).
Thời gian lúc về của ô tô là \(\frac{{120}}{{1,2x}}\) (giờ).
Đổi 4 giờ 24 phút = \(\frac{{22}}{5}\) giờ.
Vì tổng thời gian đi và về của ô tô là 4 giờ 24 phút nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\frac{{120}}{x} + \frac{{120}}{{1,2x}} = \frac{{22}}{5}\\\frac{{120.6}}{{6x}} + \frac{{120.5}}{{6x}} = \frac{{22.1,2x}}{{6x}}\\720 + 600 = \frac{{132}}{5}x\\x = 50\end{array}\)
Ta thấy \(x = 50\) thỏa mãn điều kiện.
Vậy tốc độ lúc đi của ô tô là 50km/h.
Bài 1 trang 9 Toán 9 Tập 1:
Giải các phương trình sau:
a) 5x(2x – 3) = 0;
b) (2x – 5)(3x + 6) = 0;
c) \((\frac{2}{3} x – 1)(\frac{1}{2} x + 3)=0\)
d) (2,5t – 7,5)(0,2t + 5) = 0.
Lời giải:
a) Ta có: 5x(2x – 3) = 0
5x = 0 hoặc 2x – 3 = 0
x = 0 hoặc x= \(\frac{3}{2}\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x=\(\frac{3}{2}\)
b) Ta có: (2x – 5)(3x + 6) = 0
2x – 5 = 0 hoặc 3x + 6 = 0
x= \(\frac{5}{2}\) hoặc x = –2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=52 và x = –2.
c) \(\left( {\frac{2}{3}x – 1} \right)\left( {\frac{1}{2}x + 3} \right) = 0\)
\(\frac{2}{3}x – 1 = 0 hoặc \frac{1}{2}x + 3 = 0\)
\(x = \frac{3}{2}\) hoặc x = – 6.
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{3}{2}\) và x = – 6.
d) Ta có: (2,5t – 7,5)(0,2t + 5) = 0
2,5t – 7,5 = 0 hoặc 0,2t + 5 = 0
2,5t = 7,5 hoặc 0,2t = –5
x = 5 hoặc x = –25.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 5 và x = –25.
Bài 2 trang 9 Toán 9 Tập 1:
Giải các phương trình sau:
a) 3x(x – 4) + 7(x – 4) = 0;
b) 5x(x + 6) – 2x – 12 = 0;
c) x2 – x – (5x – 5) = 0;
d) (3x – 2)2 – (x + 6)2 = 0.
Lời giải:
a) Ta có: 3x(x – 4) + 7(x – 4) = 0
(x – 4)(3x + 7) = 0
x – 4 = 0 hoặc 3x + 7 = 0
x = 4 hoặc x=\(\frac{-7}{3}\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 4 và x=\(\frac{-7}{3}\)
b) Ta có: 5x(x + 6) – 2x – 12 = 0
5x(x + 6) – 2(x + 6) = 0
(x + 6)(5x – 2) = 0
x + 6 = 0 hoặc 5x – 2 = 0
x = –6 hoặc x=\(\frac{2}{5}\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –6 và x = \(\frac{2}{5}\)
c) Ta có: x2 – x – (5x – 5) = 0
x(x – 1) – 5(x – 1) = 0
(x – 1)(x – 5) = 0
x – 1 = 0 hoặc x – 5 = 0
x = 1 hoặc x = 5.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 5.
d) Ta có: (3x – 2)2 – (x + 6)2 = 0.
(3x – 2 + x + 6)(3x – 2 – x – 6) = 0.
(4x + 4)(2x – 8) = 0.
8(x + 1)(x – 4) = 0.
x + 1 = 0 hoặc x – 4 = 0
x = –1 hoặc x = 4.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –1 và x = 4.
Bài 3 trang 9 toán 9 tập 1:
Giải các phương trình:
a) \(\frac{x+5}{x-3}+2=\frac{2}{x-3}\)
b) \(\frac{3x+5}{x+1}+\frac{2}{x}=3\)
c) \(\frac{x+3}{x-2}+\frac{x+2}{x-3}=2\)
d) \(\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{16}{x^2-4}\)
Lời giải:
a) Điều kiện xác định: x ≠ 3.
Ta có: \(\frac{x+5}{x-3}+2=\frac{2}{x-3}\)
\(\frac{x+5}{x-3}+\frac{2(x-3)}{x-3} =\frac{2}{x-3}\)
x + 5 + 2(x – 3) = 2
x + 5 + 2x – 6 = 2
3x = 3
x = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.
b) Điều kiện xác định: x ≠ – 1 và x ≠ 0
Ta có: \(\frac{3x+5}{x+1}+\frac{2}{x}=3\)
\(\frac{x\left(3x+5\right)}{x\left(x+1\right)}+\frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}=\frac{3x\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}\)
x(3x + 5) + 2(x + 1) = 3x(x + 1)
3x2 + 5x + 2x + 2 = 3x2 + 3x
4x = – 2
\(x=-\frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x=-\frac{1}{2}\).
c) Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ 3
Ta có: \(\frac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}+\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\frac{2\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\)
(x + 3)(x – 3) + (x + 2)(x – 2) = 2(x – 2)(x – 3)
x2 – 9 + x2 – 4 = 2x2 – 10x + 12
10x = 25
x = 2,5 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2,5.
d) Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ – 2.
Ta có: \(\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{16}{x^2-4}\)
\(\frac{\left(x+2\right)^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{16}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)
(x + 2)2 – (x – 2)2 = 16
(x + 2 + x – 2)(x + 2 – x + 2) = 16
2x . 4 = 16
x = 2 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 4 trang 9 Toán 9 Tập 1:
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km. Sau 1 giờ 40 phút, trên cùng quãng đường đó, một xe máy cũng đi từ A đến B và đến B sớm hơn xe đạp 1 giờ. Tính tốc độ của mỗi xe, biết rằng tốc độ của xe máy gấp 3 lần tốc độ của xe đạp.
Lời giải:
Đổi 1 giờ 40 phút = \(\frac{5}{3}\) giờ
Gọi tốc độ của xe đạp là x (km/h) (x > 0)
Tốc độ của xe máy là 3x (km/h).
Thời gian xe đạp đi từ A đến B là: \(\frac{60}{x}\) (giờ)
Thời gian xe máy đi từ A đến B là: \(\frac{60}{3x}\) (giờ)
Do xe máy xuất phát sau xe đạp \(\frac{5}{3}\) giờ và đến B sớm hơn xe đạp 1 giờ nên ta có phương trình:
\(\frac{60}{x}-\frac{5}{3}-1=\frac{60}{3x}\)
\(\frac{60}{x}-\frac{8}{3}=\frac{60}{3x}\)
\(\frac{180}{3x}-\frac{8x}{3x}=\frac{60}{3x}\)
180 – 8x = 60
8x = 120
x = 15 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy tốc độ của xe đạp là 15 km/h và tốc độ của xe máy là 45 km/h.
Bài 5 trang 10 toán 9 tập 1:
Một xí nghiệp dự định chia đều 12 600 000 đồng để thưởng cho các công nhân tham gia hội thao nhân ngày thành lập xí nghiệp. Khi đến ngày hội thao chỉ có 80% số công nhân tham gia, vì thế mỗi người tham gia hội thao được nhận thêm 105 000 đồng. Tính số công nhân dự định tham gia lúc đầu.
Lời giải:
Gọi số công nhân dự định tham gia lúc đầu là x (người) (x > 0)
Số công nhân tham gia thực tế là: 0,8x (người)
Theo dự định, mỗi công nhân được nhận số tiền là: \(\frac{12\ 600\ 000}{x}\) (đồng)
Thực tế, mỗi công nhân được nhận số tiền là: \(\frac{12\ 600\ 000}{0,8x}\) (đồng)
Do thực tế, mỗi người tham gia được nhận thêm 105 000 đồng nên ta có phương trình:
\(\frac{12\ 600\ 000}{x}=\frac{12\ 600\ 000}{0,8x}-105\ 000\)
\(\frac{12\ 600\ 000.0,8}{0,8x}=\frac{12\ 600\ 000}{0,8x}-\frac{105\ 000.0,8x}{0,8x}\)
10 080 000 = 12 600 000 – 84 000x
84 000x = 2 520 000
x = 30 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy số công nhân dự định tham gia lúc đầu là 30 công nhân.