Bài 24: Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông Toán lớp 9 tập 1

Giải Bài 24: Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông Toán lớp 9 tập 1  có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải Toán 9 trang 68

Thực hành 1 trang 68 Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài cạnh huyền bằng 20 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông trong mỗi trường hợp sau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm):

a) \(\widehat {B}\)=36°;

b) \(\widehat {C}\)=41°.

Lời giải

a)

Xét tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat {B}\)=36° , ta có:

• AB = BC . cos B = 20 . cos 36° ≈ 16,18 (cm).

• AC = BC . sin B = 20 . sin 36° ≈ 11,76 (cm).

Vậy AB ≈ 16,18 cm; AC ≈ 11,76 cm.

b)

Xét tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat {C}\)=41° , ta có:

• AB = BC . sin C = 20 . sin 41° ≈ 13,12 (cm).

• AC = BC . cos C = 20 . cos 41° ≈ 15,09 (cm).

Vậy AB ≈ 13,12 cm; AC ≈ 15,09 cm.

Thực hành 2 trang 68 Toán 9 Tập 1:

Tính độ dài cạnh góc vuông x của mỗi tam giác vuông trong Hình 3 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

a) Hình 3a: Xét tam giác ABC vuông tại A,\(\widehat {B}\)=32° , ta có:

x = AB = AC . cot B = 9 . cot 32° ≈ 14,40.

Vậy x ≈ 14,40.

b) Hình 3b: Xét tam giác DEF vuông tại F, \(\widehat {E}\)=48° , ta có:

x = DF = EF . tan E = 5 . tan 48° ≈ 5,55.

Vậy x ≈ 5,55.

Vận dụng 1 trang 68 Toán 9 Tập 1:

Một cần cẩu đang nâng một khối gõ trên sông. Biết tay cẩu AB có chiều dài là 16 m và nghiêng một góc 42° so với phương nằm ngang (Hình 4). Tính chiều dài BC của đoạn dây cáp (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

Xét tam giác ABC vuông tại C có \(\widehat {A}\)=48° , ta có:

BC = AB . sin 42° = 16 . sin 42° ≈ 10,71 (m).

Vậy chiều dài BC của đoạn dây cáp khoảng 10,71 m.

Giải Toán 9 trang 69

Khám phá 2 trang 69 Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác ABC (Hình 5). Em hãy cho biết trong các trường hợp nào sau đây, ta có thể tính được tất cả các cạnh và các góc của tam giác. Giải thích cách tính.

Lời giải

Ta xét các trường hợp sau:

– Trường hợp 1 khi biết độ dài hai cạnh của tam giác vuông thì ta sẽ tìm được cạnh còn lại (áp dụng định lí Pythagore) và các góc (áp dụng tỉ số lượng giác).

– Trường hợp 2 khi biết được số đo hai góc thì ta tính được số đo của góc còn lại (dựa vào định lí tổng ba góc trong một tam giác) nhưng chưa đủ dữ kiện để tính độ dài các cạnh của tam giác.

– Trường hợp 3 khi biết một cạnh và một góc của tam giác vuông ta sẽ tìm được cạnh còn lại và các góc (áp dụng tỉ số lượng giác).

Vậy trong các trường hợp đã cho, trường hợp 1 và trường hợp 3 ta có thể tính được tất cả các cạnh và các góc của tam giác.

Giải Toán 9 trang 70

Vận dụng 2 trang 70 Toán 9 Tập 1:

Trong Hình 9, cho OH = 4 m, \(\widehat {AOH}\)=42°,  \(\widehat {HOB}\)=28°. Tính chiều cao AB của dây.

Lời giải

Xét tam giác OHA vuông tại H, ta có

AH = OH . tan 42° = 4 . tan 42° ≈ 3,6 (m).

Xét tam giác OHB vuông tại H, ta có

HB = OH . tan 28° = 4 . tan 28° ≈ 2,1 (m).

Chiều cao AB của cây là: AH + HB ≈ 3,6 + 2,1 = 5,7 (m).

Vậy chiều cao AB của cây khoảng 5,7 m.

Giải Toán 9 trang 71

Bài 1 trang 71 Toán 9 Tập 1:

Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD. Biết AC = 16 cm và \(\widehat {BAC}\)=68° (Hình 10).

Lời giải chi tiết

Xét tam giác ABC vuông tại B, \(\widehat {BAC} = {68^o}\), ta có:

AB = AC .cos\(\widehat {BAC}\)  =  16.cos\({68^o} \approx 6 cm\)

BC = AC. sin\(\widehat {BAC}\) = 16. sin\({68^o} \approx 14,8 cm\)

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có \(AB = CD \approx 6 cm\) và \(BC = AD \approx 14,8 cm\).

Bài 2 trang 71 Toán 9 Tập 1:

Cho tam giác ABC có BC = 20 cm, \(\widehat {ABC}\)=22°,  \(\widehat {ACB}\)=30°.

a) Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC.

b) Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC.

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Bài 3 trang 71 Toán 9 Tập 1:

Một người đẩy một vật lên hết một con dốc nghiêng một góc 35° (Hình 11).

Lời giải

Nhìn vào hình ta có tam giác vuông ABC như hình sau:

Xét tam giác ABC vuông tại B có \(\widehat {ACB}\)=35° nên

AB=BC  .  sin\(\widehat {ACB}\)=4  .  sin35°≈2,3  (m)

Vậy độ cao của vật so với mặt đất khoảng 2,3 m.

Bài 4 trang 71 Toán 9 Tập 1:

Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B). Khi đi từ A đến B, An phải đi đoạn lên dốc AC và đoạn xuống dốc CB (Hình 12). Biết AB = 762 m, \(\widehat {A}\)=6°,  \(\widehat {B}\)=4°.

a) Tính chiều cao h của con dốc.

b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ? Biết rằng tốc độ khi lên dốc là 4 km/h và tốc độ khi xuống dốc là 19 km/h.

Lời giải chi tiết

a) Đặt AH = x (m) (0 < x < 762)

Suy ra BH = 762 – x (m). Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

h = x. tan \({6^o}\) và h = (762 – x). tan \({4^o}\)

Suy ra x. tan \({6^o}\)= (762 – x). tan \({4^o}\)

x.( tan \({6^o}\)+ tan \({4^o}\)) =762. tan \({4^o}\)

x = \(\frac{{762.\tan {4^o}}}{{\tan {6^o} + \tan {4^o}}}\)

Vậy h = \(\frac{{762.\tan {4^o}}}{{\tan {6^o} + \tan {4^o}}}\). tan \({6^o}\)\( \approx \) 32 m.

b) Xét tam giác AHC vuông tại H, \(\widehat A = {6^o}\), ta có:

\(AC = \frac{h}{{\sin A}} = \frac{{32}}{{\sin {6^o}}} \approx 306m\) = 0,306 km

Xét tam giác BHC vuông tại H, \(\widehat B = {4^o}\), ta có:

\(CB = \frac{h}{{\sin B}} = \frac{{32}}{{\sin {4^o}}} \approx 459m\) = 0,459 km

Thời gian An đi từ nhà tới trường là:

\(t = \frac{{AC}}{4} + \frac{{BC}}{{19}} = \frac{{0,306}}{4} + \frac{{0,459}}{{19}} \approx 0,1\) (h) = 6 phút.

Vậy An đến trường khoảng 6 giờ 6 phút.