Bài 2. Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Chuyên đề học tập Toán 10

Giải Bài 2. Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Chuyên đề học tập Toán 10. Hướng dẫn giải bài tập theo từng bước, dễ hiểu sách chuyên đề học tập toán 10 Kết nối tri thức

HĐ1 Chuyên đề học tập Toán 10

Gọi x, y, z lần lượt là số gà trống, số gà mái, số gà trống cần chuyển sang mục đích nuôi lấy thịt trong đàn gà.

a) Điều kiện của x, y và z là gì?

b) Từ giải thiết của bài toán, hãy tìm ba phương trình bậc nhất ràng buộc x, y và z, từ đó có một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

c) Giải hệ phương trình bậc nhất thu được. Từ đó đưa ra câu trả lời cho bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Số con gà là số tự nhiên nên điều kiện là \(x,y,z \in \mathbb{N}\).

Cả đàn gà có 3000 con nên \(x, y, z \le 3000\).

b) Tỉ lệ giữa gà trống và gà mái để sản suất gà giống là 1:10,5 nên ta có: \(\frac{x-z}{y} = \frac{1}{{10,5}}\)

Tổng số 3000 con, nên ta có: \(x + y = 3000\)

Tỉ lệ giữa gà trống và gà mái là \(\frac{{x}}{y} = \frac{5}{3}\)

Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3000\\10,5x – y -10,5z= 0\\3x – 5y= 0\end{array} \right.\)

c) Sử dụng máy tính cầm tay, ta được

\(x=1875;y=1125;z \approx 1768\)

Vậy cần chuyển khoảng 1768 con gà trống cho mục đích nuôi lấy thịt để đạt hiệu quả cao nhất.

Luyện tập 1 Chuyên đề học tập Toán 10

Cân bằng phản ứng hóa học đốt cháy octane trong oxygen.

\({C_{18}}{H_{18}} + {O_2} \to C{O_2} + {H_2}O\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử x, y, z, t là bốn số nguyên dương thỏa mãn cân bằng phản ứng

\(x{C_{8}}{H_{18}} + y{O_2} \to zC{O_2} + t{H_2}O\)

Vì số nguyên tử carbon, hydrogen và oxygen ở hai vế phải bằng nhau nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}8x = z\\18x = 2t\\2y = 2z + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8\frac{x}{t} = \frac{z}{t}\\18\frac{x}{t} = 2\\2\frac{y}{t} = 2\frac{z}{t} + 1\end{array} \right.\)

Đặt \(X = \frac{x}{t};Y = \frac{y}{t};Z = \frac{z}{t}\) ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

\(\left\{ \begin{array}{l}8X = Z\\18X = 2\\2Y = 2Z + 1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}8X – Z = 0\\18X = 2\\2Y – 2Z = 1\end{array} \right.\)

Dùng máy tính cầm tay giải hệ sau cùng ta được \(X = \frac{1}{9},Y = \frac{25}{18},Z = \frac{8}{9}\). Từ đây suy ra \(x=\frac{t}{9};y=\frac{25t}{18};z=\frac{8t}{9}\). Chọn \(t = 18\) ta được \(x = 2,y = 25,z = 16\).

Từ đó ta được phương trình cân bằng

\(2{C_{8}}{H_{18}} + 25{O_2} \to 16C{O_2} + 18{H_2}O\)

Luyện tập 2 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 10

Xét thị trường hải sản gồm ba mặt hàng là cua, tôm và cá. Kí hiệu x, y, z lần lượt là giá 1 kg cua, 1kg tôm và 1kg cá (đơn vị nghìn đồng). Kí hiệu \({Q_{{S_1}}}\), \({Q_{{S_2}}}\) và \({Q_{{S_3}}}\) là lượng cua, tôm và cá mà người bán bằng lòng bán với giá x, y và z. Kí hiệu \({Q_{{D_1}}}\), \({Q_{{D_2}}}\) và \({Q_{{D_3}}}\)tươn ứng là lượng cua, tôm và cá mà người mua bằng lòng mua với giá x, y và z. Cụ thể các hàm này được cho bởi

\(\begin{array}{l}{Q_{{S_1}}} = – 300 + x;{Q_{{D_1}}} = 1300 – 3x + 4y – z;\\{Q_{{S_2}}} = – 450 + 3y;{Q_{{D_2}}} = 1150 + 2x – 5y – z;\\{Q_{{S_3}}} = – 400 + 2z;{Q_{{D_3}}} = 900 – 2x – 3y + 4z.\end{array}\)

Tìm mức giá cua, tôm và cá mà người bán và người mua cùng hài lòng.

Lời giải chi tiết

Hệ phương trình cân bằng cung – cầu là \(\left\{ \begin{array}{l} – 300 + x = 1300 – 3x + 4y – z\\ – 450 + 3y = 1150 + 2x – 5y – z\\ – 400 + 2z = 900 – 2x – 3y + 4z.\end{array} \right.\)

Thu gọn ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}4x – 4y + z = 1600\\ – 2x + 8y + z = 1600\\2x + 3y – 2z = 1300.\end{array} \right.\)

Dùng mày tính cầm tay giải hệ, ta được \(x = 600,y = 300,z = 400\)

Vậy giá cua 600 nghìn đồng/kg, tôm 300 nghìn đồng/kg, cá 400 nghìn đồng/kg là giá bán hợp lí nhất.

Giải bài 1.7 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 10

Cho hàm cung và hàm cầu của ba mặt hàng như sau:

\(\begin{array}{l}{Q_{{S_1}}} = – 4 + x;{Q_{{D_1}}} = 70 – x – 2y – 6z;\\{Q_{{S_2}}} = – 3 + y;{Q_{{D_2}}} = 76 – 3x – y – 4z;\\{Q_{{S_3}}} = – 6 + 3z;{Q_{{D_3}}} = 70 – 2x – 3y – 2z.\end{array}\)

Hãy xác định giá cân bằng cung – cầu của ba mặt hàng.

Lời giải chi tiết

Hệ phương trình cân bằng cung – cầu là \(\left\{ \begin{array}{l} – 4 + x = 70 – x – 2y – 6z\\ – 3 + y = 76 – 3x – y – 4z\\ – 6 + 3z = 70 – 2x – 3y – 2z.\end{array} \right.\)

Thu gọn ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y + 6z = 74\\3x + 2y + 4z = 79\\2x + 3y + 5z = 76\end{array} \right.\)

Dùng mày tính cầm tay giải hệ, ta được \(x = 15,y = 7,z = 5\)

Vậy giá cân bằng cung – cầu của ba mặt hàng lần lượt là 15, 7 và 5.

Giải bài 1.8 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 10

Em Hà so sánh tuổi của mình với chị Mai và anh Nam. Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà. Cách đây bảy năm tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam. Ba năm nữa tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà. Hỏi tuổi của mỗingười là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Gọi số tuổi của Hà, Mai, Nam lần lượt là x, y, z (\(x,y,z \in \mathbb{N}*\))

Vì tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà nên \(z = 3x\)

Do cách đây bảy năm tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam nên \(y – 7 = \frac{1}{2}(z – 7)\)

Ba năm nữa tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà nên \(z + 3 = (y + 3) + (x + 3)\)

Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn \(\left\{ \begin{array}{l}3x – z = 0\\2y – z = 7\\x + y – z = – 3\end{array} \right.\)

Dùng máy tính cầm tay, giải hpt ta được \(x = 13,y = 23,z = 39\)

Vậy tuổi của Hà 13 tuổi, Mai 23 tuổi và Nam 39 tuổi.

Giải bài 1.9 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 10

Bác Việt có 330 740 nghỉn đồng, bác chia số tiền này thành ba phần và đem đầu tư vào ba hình thức: Phần thứ nhất bác đầu tư vào chứng khoán với lãi thu được 4% một năm; phần thứ hai bác mua vàng thu lãi 5% một năm và phần thứ ba bác gửi tiết kiệm với lãi suất 6% một năm. Sau một năm, kể cả gốc và lãi bác thu được ba món tiền bằng nhau. Hỏi tổng số tiền cả gốc và lãi bác thu được sau một năm là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Gọi số tiền mà bác Việt đầu tư vào chứng khoán, vàng, gửi tiết kiệm lần lượt là x, y, z (nghìn đồng).

(\(x,y,z > 0\))

Tổng số tiền là 330 740 nghìn đồng nên \(x + y + z = 330\;740\)

Sau một năm, cả gốc lẫn lãi thu được ba món tiền bằng nhau nên ta có:

\(x + 4\% x = y + 5\% y = z + 6\% z\) hay \(1,04x = 1,05y = 1,06z\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 330\;740\\1,04x – 1,05y = 0\\1,05y – 1,06z = 0\end{array} \right.\)

Dùng máy tính cầm tay, giải hpt ta được \(x = 111\;300,y = 110\;240,z = 109\;200\)

Vậy bác Việt đầu tư 111 300 nghìn đồng vào chứng khoán, 110 240 nghìn đồng vào vàng và 109 200 nghìn đồng để gửi tiết kiệm.

Giải bài 1.10 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 10

Một tuyến cáp treo có ba loại vé sau đây: vé đi lên giá 250 nghìn đồng, vé đi xuống giá 200 nghìn đồng và vé hai chiều giá 400 nghìn đồng. Một ngày nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng. Tìm số vé bán ra mỗi loại, biết rằng nhân viên quản lí cáp treo đếm được 680 lượt người đi lên và 520 lượt người đi xuống.

Lời giải chi tiết

Gọi số vé bán ra mỗi loại đi lên, đi xuống, hai chiều lần lượt là x, y, z (\(x,y,z \in \mathbb{N}\))

Tổng số tiền thu được là 251 triệu (hay 251 000 nghìn đồng) nên \(250x + 200y + 400z = 251000\)

Có 680 lượt người đi lên nên ta có \(x + z = 680\)

520 lượt người đi xuống nên \(y + z = 520\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}250x + 200y + 400z = 251000\\x + z = 680\\y + z = 520\end{array} \right.\)

Dùng máy tính cầm tay, giải hệ pt ta được \(x = 220,y = 60,z = 460\).

Vậy ngày đó tuyến cáp treo bán 220 vé đi lên, 60 vé đi xuống và 460 vé hai chiều.

Giải bài 1.11 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 10

Ba lớp 10A, 10B, 10C của một trường trung học phổ thông gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Tính trung bình, mỗi em lớp 10A trổng được 3 cây xoan và 4 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây xoan và 5 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây xoan. Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây xoan và 375 cây bạch đàn. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu em?

Lời giải chi tiết

Gọi số học sinh lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là x, y, z (học sinh) (\(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))

Vì có tổng cộng 128 em nên ta có: \(x + y + z = 128\)

Do số cây xoan trồng được là 476 cây nên \(3x + 2y + 6z = 476\)

Số cây bạch đàn trồng được là 375 cây nên \(4x + 5y = 375\)

Từ đó, ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 128\\3x + 2y + 6z = 476\\4x + 5y = 375\end{array} \right.\)

Dùng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của hệ, ta được \(x = 40,y = 43,z = 45\)

Vậy lớp 10A có 40 học sinh, lớp 10B có 43 học sinh và lớp 10C có 45 học sinh.

Giải bài 1.12 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 10

Cân bằng phương trình phản ứng hóa học đốt cháy methane trong oxygen

\(C{H_4} + {O_2} \to C{O_2} + {H_2}O\)

Lời giải chi tiết

Giả sử x, y, z, t là bốn số nguyên dương thỏa mãn cân bằng phản ứng

\(xC{H_4} + y{O_2} \to zC{O_2} + t{H_2}O\)

Vì số nguyên tử carbon, hydrogen và oxygen ở hai vế phải bằng nhau nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = z\\4x = 2t\\2y = 2z + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{t} = \frac{z}{t}\\4\frac{x}{t} = 2\\2\frac{y}{t} = 2\frac{z}{t} + 1\end{array} \right.\)

Đặt \(X = \frac{x}{t};Y = \frac{y}{t};Z = \frac{z}{t}\) ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

\(\left\{ \begin{array}{l}X = Z\\4X = 2\\2Y = 2Z + 1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}X – Z = 0\\4X = 2\\2Y – 2Z = 1\end{array} \right.\)

Dùng máy tính cầm tay giải hệ sau cùng ta được \(X = Z = \frac{1}{2},Y = 1\). Từ đây suy ra \(2x = 2z = y = t\). Chọn \(t = 2\) ta được \(x = 1,y = 2,z = 1\).

Từ đó ta được phương trình cân bằng

\(C{H_4} + 2{O_2} \to C{O_2} + 2{H_2}O\)

Giải bài 1.13 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 10

Cho đoạn mạch như Hình 1.2. Gọi I là cường độ dòng điện của mạch chính, \({I_1},{I_2}\)và \({I_3}\) là cường độ dòng điện mạch rẽ. Cho biết \({R_1} = 6\Omega ,{\rm{ }}{R_2} = 8\Omega ,I = 3A\)và \({I_3} = 2A\).Tính điện trở \({R_3}\) và hiệu điện thế U giữa hai đầu đoạn mạch.

Lời giải chi tiết

Từ sơ đồ mạch điện, ta có:

\(\begin{array}{l}{I_{12}} = {I_1} = {I_2} \Rightarrow I = {I_{12}} + {I_3} = {I_1} + {I_3} \Rightarrow {I_1} = 1A\\{R_{12}} = {R_1} + {R_2} = 14 \Rightarrow {U_{12}} = {I_{12}}.{R_{12}} = {I_1}({R_1} + {R_2})\\{U_{12}} = {U_3} = {I_3}.{R_3}\\ \Leftrightarrow 1.(6 + 8) = 2.{R_3} \Leftrightarrow {R_3} = 7\\R = \frac{{{R_{12}}.{R_3}}}{{{R_{12}} + {R_3}}} = \frac{{14}}{3}\\ \Rightarrow U = I.R = 3.\frac{{14}}{3} = 14V.\end{array}\)

Vậy \({R_3} = 7\Omega \) và \(U = 14V.\)

Giải bài 1.14 trang 21 Chuyên đề học tập Toán 10

Mỗi giai đoạn phát triển của thực vật cần phân bón với tỉ lệ N, P, K nhất định. Bác An làm vườn muốn bón phân cho một cây cảnh có tỉ lệ N 😛 : K cân bằng nhau. Bác An có ba bao phân bón:

Bao 1 có tỉ lê N : P : K là 12 : 7 : 12.

Bao 2 có tỉ lê N : P : K là 6 : 30 : 25.

Bao 3 có tỉ lệ N : P : K là 30 : 16 : 11.

Hỏi phải trộn ba loại phân bón trên với tỉ lệ bao nhiêu để có hỗn hợp phân bón với tỉ lệ N : P : K là 15:15:15?

Chú ý rằng trên mỗi bao phân người ta thường viết một tỉ lệ N : P : K nhất định. Chẳng hạn trên bao phân 1 ghi tỉ lệ N : P : K là 12 : 7 : 12 nghĩa là hàm lượng đạm N (nitơ) chiếm12%, lân P (tức là P2Os) chiếm 7% và kali K (tức là K,O) chiếm 12%, còn các loại khác chiếm 100%-(12% +7% +12%) = 69%.

Lời giải chi tiết

Gọi tỉ lệ trộn bao 1, bao 2, bao 3 là x:y:z

Khi trộn x bao 1 với y bao 2 và z bao 3, ta có:

Tỉ lệ N là: x.12% + y.6% + z.30% = 15%

Tỉ lệ P là: x.7% + y.30% + z.16% = 15%

Tỉ lệ K là: x.12% + y.25% + z.11% = 15%

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}12x + 6y + 30z = 15\\7x + 30y + 16z = 15\\12x + 25y + 11z = 15\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình bằng máy tính cầm tay, ta được: \(x = \frac{1}{2},y = \frac{1}{4},z = \frac{1}{4}\)

=> Tỉ lệ cần trộn là x:y:z=2:1:1

Vậy bác An cần trộn ba loại phân bón trên theo tỉ lệ 2 : 1 : 1.