Bài 3. Phương pháp quy nạp toán học Chuyên đề học tập Toán 10

Giải Bài 3. Phương pháp quy nạp toán học Chuyên đề học tập Toán 10. Hướng dẫn giải bài tập theo từng bước, dễ hiểu sách chuyên đề học tập toán 10 Kết nối tri thức

HĐ1 Chuyên đề học tập Toán 10

Hãy quan sát các đẳng thức sau:

\(1 = {1^2}\)

\(1 + 3 = 4 = {2^2}\)

\(1 + 3 + 5 = 9 = {3^2}\)

\(1 + 3 + 5 + 7 = 16 = {4^2}\)

\(1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = {5^2}\)……

Có nhận xét gì về các số ở vế trái và ở vế phải của các đẳng thức trên? Từ đó hãy dự đoán công thức tính tổng của n số lẻ đầu tiên

\(1 + 3 + 5 + … + (2n – 1).\)

Lời giải chi tiết:

Các số ở vế trái đều là các số lẻ (các số lẻ liên tiếp), vế trái là tổng các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.
Vế phải là bình phương của số số ở vế trái.

=> Tổng \(1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)\) là tổng của n số lẻ liên tiếp, nên ta dự đoán:

\(1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = {n^2}.\)

HĐ2 Chuyên đề học tập Toán 10

Xét đa thức \(p(n) = {n^2} – n + 41.\)

a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.

b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trongg trường hợp tổng quát.

Lời giải chi tiết:

a) \(p(1) = {1^2} – 1 + 41 = 41\) là một số nguyên tố

\(p(2) = {2^2} – 2 + 41 = 43\) là một số nguyên tố

\(p(3) = {3^2} – 3 + 41 = 47\) là một số nguyên tố

\(p(4) = {4^2} – 4 + 41 = 53\) là một số nguyên tố

\(p(5) = {5^2} – 5 + 41 = 61\) là một số nguyên tố

b) Dự đoán: p(n) là số nguyên tố với \(n \in \mathbb{N}*\)

Luyện tập 1 Chuyên đề học tập Toán 10

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) ta có

\(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1(1 + 1)}}{2}\)

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 1\)

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:

\(1 + 2 + 3 + … + k = \frac{{k(k + 1)}}{2}\)

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh

\(1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\)

Thật vậy ta có

\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{{k(k + 1)}}{2} + (k + 1)\\ = \frac{{k(k + 1) + 2(k + 1)}}{2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)}}{2}\end{array}\)

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)

Luyện tập 2 Chuyên đề học tập Toán 10

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) ta có đẳng thức

\({a^n} – {b^n} = (a – b)({a^{n – 1}} + {a^{n – 2}}b + … + a{b^{n – 2}} + {b^{n – 1}})\)

Lời giải chi tiết:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với \(n = 2\) ta có \({a^2} – {b^2} = (a – b)(a + b)\)

Như vậy mệnh đề đúng cho trường hợp \(n = 2\)

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), tức là ta có:

\({a^k} – {b^k} = (a – b)({a^{k – 1}} + {a^{k – 2}}b + … + a{b^{k – 2}} + {b^{k – 1}})\)

Ta sẽ chứng minh mệnh đề cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta sẽ chứng minh

\({a^{k + 1}} – {b^{k + 1}} = (a – b)({a^k} + {a^{k – 1}}b + … + a{b^{k – 1}} + {b^k})\)

Thật vậy ta có

\(\begin{array}{l}{a^{k + 1}} – {b^{k + 1}} = {a^{k + 1}} – {a^k}b + {a^k}b – {b^{k + 1}} = {a^k}(a – b) + b({a^k} – {b^k})\\ = {a^k}(a – b) + b(a – b)({a^{k – 1}} + {a^{k – 2}}b + … + a{b^{k – 2}} + {b^{k – 1}})\\ = (a – b)[{a^k} + b({a^{k – 1}} + {a^{k – 2}}b + … + a{b^{k – 2}} + {b^{k – 1}})]\\ = (a – b)({a^k} + {a^{k – 1}}b + {a^{k – 2}}{b^2} + … + a{b^{k – 1}} + {b^k})\end{array}\)

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)

Vận dụng (Công thức lãi kép) Chuyên đề học tập Toán 10

Lãi suất gửi tiết kiệm trong ngân hàng thường được tính theo thể thức lãi kép theo định kì. Theo thể thức này, nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Giả sử một người gửi số tiền A với lãi suất r không đổi trong mỗi kì.

a) Tính tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) \({T_1},{T_2},{T_3}\) mà người đó nhận được sau kì thứ 1, sau kì thứ 2 và sau kì thứ 3.

b) Dự đoán công thức tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) \({T_n}\) mà người đó thu được sau n kì. Hãy chứng minh công thức nhận được đó bằng quy nạp.

Lời giải chi tiết

a) Sau kì thứ 1 người đó nhận được: \({T_1} = A + A.r = A(1 + r)\)

Sau kì thứ 1 người đó không rút ra thì ở kì thứ 2 tiền vốn chính là \({T_1}\), vậy người đó nhận được: \({T_2} = {T_1} + {T_1}.r = {T_1}(1 + r) = A.{(1 + r)^2}\)

Sau kì thứ 3 người đó nhận được: \({T_3} = {T_2} + {T_2}.r = {T_2}(1 + r) = A.{(1 + r)^3}\)

b) Dự đoán: \({T_n} = A.{(1 + r)^n}\) (*)

Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({T_1} = A(1 + r)\)

Vậy (*) đúng với \(n = 1\)

Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({T_k} = A.{(1 + r)^k}\)

Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({T_{k + 1}} = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)

Thật vậy, sau kì thứ k, nếu không rút lãi thì lãi được tính vào tiền vốn của kì k+1, khi đó số tiền nhận được là \({T_{k + 1}} = {T_k} + {T_k}.r = {T_k}(1 + r) = A.{(1 + r)^{k + 1}}\)

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)

Giải bài 2.1 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)

a) \(2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)\)

b) \({1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \(2.1 = 1.(1 + 1)\)

Vậy a) đúng với \(n = 1\)

Giải sử a) đúng với \(n = k\) tức là ta có \(2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)\)

Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)\)

Thật vậy, ta có

\(\left( {2 + 4 + 6 + … + 2k} \right) + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)\)

Vậy a) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)

b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({1^2} = \frac{{1.(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6}\)

Vậy b) đúng với \(n = 1\)

Giải sử b) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\)

Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\)

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}\left[ {k(2k + 1) + 6(k + 1)} \right] = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right) = \frac{{(k + 1)}}{6}.(k + 2).(2k + 3)\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\end{array}\)

Vậy b) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)

Giải bài 2.2 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10

Mỗi khẳng định sau là đúng hay sai? Nếu em nghĩ là đúng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.

a) \(p(n) = {n^2} – n + 11\) là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n

b) \({n^2} > n\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)

Lời giải chi tiết

a) Khẳng định \(p(n) = {n^2} – n + 11\) là số nguyên tố với mọi số tự nhiên n là một khẳng định sai. Thật vậy, với \(n = 11\) ta có \(p(11) = {11^2}\) là hợp số (vì nó chia hết cho 11).

b)

Cách 1:

Xét \(T = {n^2} – n\), ta chứng minh \(T > 0\forall n \ge 2\)

Vì \(n \ge 2\) nên \(n – 1 \ge 1\). Do đó \(T = n(n – 1) \ge 2 > 0\)

Vậy \({n^2} > n\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)

Cách 2:

Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 2\) ta có \({2^2} > 2\)

Vậy b) đúng với \(n = 2\)

Giải sử b) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({k^2} > k\)

Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(k + 1)^2} > k + 1\)

Thật vậy, ta có

\({(k + 1)^2} = {k^2} + 2k + 1 > {k^2} + 1 > k + 1\) (do \(k \ge 2\) và \({k^2} > k\) (theo giả thiết quy nạp))

Vậy b) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2.\)

Giải bài 2.3 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10

Chứng minh rằng \({n^3} – n + 3\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).

Lời giải chi tiết

Với \(n = 1\) ta có \({1^3} – 1 + 3 = 3\) chia hết cho 3.

Vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\).

Giải sử mệnh đề đúng với \(n = k\) tức là ta có \({k^3} – k + 3\) chia hết cho 3.

Ta chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(k + 1)^3} – (k + 1) + 3\) chia hết cho 3.

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{(k + 1)^3} – (k + 1) + 3 = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 – k – 1 + 3\\ = {k^3} + 3{k^2} + 2k + 3 = ({k^3} – k + 3) + 3{k^2} + 3k\\ = ({k^3} – k + 3) + 3({k^2} + k)\end{array}\)

chia hết cho 3 do \({k^3} – k + 3 \vdots 3\).

Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).

Giải bài 2.4 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10

Đề bài

Chứng minh rằng \({n^2} – n + 41\) là số lẻ với mọi số nguyên dương n.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Với \(n = 1\) ta có \({1^2} – 1 + 41 = 41\) là số lẻ

Với \(n \ge 2\) ta có \({n^2} – n + 41 = n(n – 1) + 41\) không chia hết cho 2 (do \(n(n – 1)\)tích hai số tự nhiên liên tiếp, luôn chia hết cho 2. Còn 41 không chia hết cho 2)

Nói cách khác với \(n \ge 2\) thì \({n^2} – n + 41\) là số lẻ.

Vậy \({n^2} – n + 41\) là số lẻ với mọi số nguyên dương n.

Cách 2:

Ta chứng minh (4) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({1^2} – 1 + 41 = 41\) là số lẻ.

Vậy (4) đúng với \(n = 1\)

Giải sử (4) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({k^2} – k + 41\) là số lẻ.

Ta chứng minh (3) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(k + 1)^2} – (k + 1) + 41\) là số lẻ.

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{(k + 1)^2} – (k + 1) + 41 = {k^2} + 2k + 1 – k – 1 + 41\\ = {k^2} + k + 41 = \left( {{k^2} – k + 41} \right) + 2k\end{array}\)

Là số lẻ vì \({k^2} – k + 41\) lẻ và \(2k\) chẵn.

Vậy (4) đúng với mọi số nguyên dương n.

Giải bài 2.5 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10

Chứng minh rằng nếu \(x > – 1\) thì \({(1 + x)^n} \ge 1 + nx\) với mọi số tự nhiên n.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh (5) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 0\) ta có \({(1 + x)^0} \ge 1 + 0.x\)

Vậy (5) đúng với \(n = 0\)

Giải sử (5) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({(1 + x)^k} \ge 1 + kx\)

Ta chứng minh (5) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(1 + x)^{k + 1}} \ge 1 + (k + 1)x\)

Thật vậy, ta có

\({(1 + x)^{k + 1}} = (1 + x){(1 + x)^k} \ge (1 + x)(1 + kx) = 1 + (1 + k)x + k{x^2} \ge 1 + (k + 1)x\)

Do \(1 + x > 0,k{x^2} \ge 0\)

Vậy (5) đúng với mọi số tự nhiên n.

Giải bài 2.6 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10

Cho tổng \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + … + \frac{1}{{n(n + 1)}}\).

a) Tính \({S_1},{S_2},{S_3}.\)

b) Dự đoán công thức tính tổng \({S_n}\) và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}{S_1} = \frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{2}\\{S_2} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} = \frac{2}{3}\\{S_3} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = \frac{3}{4}\end{array}\)

b) Dự đoán \({S_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) (6)

Ta chứng minh (6) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({S_1} = \frac{1}{2}\)

Vậy (6) đúng với \(n = 1\)

Giải sử (5) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({S_k} = \frac{k}{{k + 1}}\)

Ta chứng minh (3) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}}\)

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + … + \frac{1}{{k(k + 1)}} + \frac{1}{{(k + 1)(k + 2)}}\\ = \frac{k}{{k + 1}} + \frac{1}{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{{k(k + 2) + 1}}{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{{{k^2} + 2k + 1}}{{(k + 1)(k + 2)}}\\ = \frac{{{{(k + 1)}^2}}}{{(k + 1)(k + 2)}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}}\end{array}\)

Vậy (6) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).

Giải bài 2.7 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (\(n \ge 4\)) là \(\frac{{n(n – 3)}}{2}.\)

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh số đường chéo của một đa giác n cạnh (\(n \ge 4\)) là \(\frac{{n(n – 3)}}{2}\) (*) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 4\) ta có số đường chéo của một tứ giác là \(\frac{{4(4 – 3)}}{2} = 2\)

Vậy (*) đúng với \(n = 4\)

Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có số đường chéo của một đa giác k cạnh là \(\frac{{k(k – 3)}}{2}\)

Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh số đường chéo của một đa giác k+1 cạnh là \(\frac{{(k + 1)(k – 2)}}{2}\)

Thật vậy, xét đa giác \({A_1}{A_2}…{A_{k + 1}}\) ta có:

So với đa giác \({A_1}{A_2}…{A_k}\), thì đa giác \({A_1}{A_2}…{A_{k + 1}}\) có thêm các đường chéo là \({A_1}{A_k}\)và \({A_2}{A_{k + 1}},{A_3}{A_{k + 1}},…,{A_{k – 1}}{A_{k + 1}}\) (nhiều hơn k-1 đường chéo)

Do đó số đường chéo của đa giác k+1 cạnh là:

\(\frac{{k(k – 3)}}{2} + k – 1 = \frac{{{k^2} – 3k + 2k – 2}}{2} = \frac{{{k^2} – k – 2}}{2} = \frac{{(k + 1)(k – 2)}}{2}.\)

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 4\).