Bài 6. Hypebol Chuyên đề học tập Toán 10

Giải Bài 6 Hypebol Chuyên đề học tập Toán 10. Hướng dẫn giải bài tập theo từng bước, dễ hiểu sách chuyên đề học tập toán 10 Kết nối tri thức

HĐ1 Chuyên đề học tập Toán 10

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

a) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol thì các điểm có tọa độ \(({x_0}; – {y_0}),( – {x_0};{y_0}),( – {x_0}; – {y_0})\) cũng thuộc hypebol (H.3.12).

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?

c) Với điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol, hãy so sánh \(\left| {{x_0}} \right|\) với \(a\)

Lời giải chi tiết:

a) Nếu điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol thì \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} – \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} – \frac{{{{( – {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( – {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1;\frac{{{{( – {x_0})}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{{( – {y_0})}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

hay các điểm có tọa độ \(({x_0}; – {y_0}),( – {x_0};{y_0}),( – {x_0}; – {y_0})\) cũng thuộc Hypebol.

b)

\(y = 0 \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow x = \pm a\)

Giao điểm của hypebol với Ox là \({A_1}\left( { – a;0} \right),{A_2}\left( {a;0} \right).\)

\(x = 0 \Rightarrow – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) Vô lý vì \( – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \le 0 < 1\)

Vậy hypebol không có giao điểm với trục tung.

c) \(M({x_0};{y_0})\) thuộc hypebol thì \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} – \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 1 = \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} – \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} \le \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}}\\ \Leftrightarrow {x_0}^2 \ge {a^2}\\ \Leftrightarrow \left| {{x_0}} \right| \ge a\end{array}\)

 Luyện tập 1 Chuyên đề học tập Toán 10

Cho hyperbol \(\frac{{{x^2}}}{{64}} – \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\).

a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục

b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.

Lời giải chi tiết:

Ta có hypebol: \(\frac{{{x^2}}}{{64}} – \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

\( \Rightarrow a = 8,b = 6,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10\)

a) + Tiêu cự: \(2c = 20\)

+ Độ dài trục thực: \(2a = 16\); trục ảo \(2b = 12.\)

b) + Hai đỉnh \({A_1}( – 8;0),{A_2}(8;0)\)

+ Hai đường tiệm cận \(y = – \frac{3}{4}x\) và \(y = \frac{3}{4}x\)

 HĐ2 Chuyên đề học tập Toán 10

Cho điểm \(M({x_0};{y_0})\)thuộc hypebol có hai tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0)\), độ dài trục thực bằng 2a.

a) Tính \(M{F_1}^2 – M{F_2}^2\)

b) Giả sử \(M({x_0};{y_0})\) thuộc nhánh chứa đỉnh \({A_2}(a;0)\), tức là,\(M{F_1} – M{F_2} = 2a\). Tính \(M{F_1} + M{F_2},M{F_1},M{F_2}.\)

c) Giả sử \(M({x_0};{y_0})\) thuộc nhánh chứa đỉnh \({A_1}( – a;0)\), tức là,\(M{F_2} – M{F_1} = 2a\). Tính \(M{F_1} + M{F_2},M{F_1},M{F_2}.\)

Lời giải chi tiết:

a) Tính \(M{F_1}^2 – M{F_2}^2\)

Ta có: \(\overrightarrow {M{F_1}} ( – c – {x_0}; – {y_0});\overrightarrow {M{F_2}} (c – {x_0}; – {y_0})\)

\( \Rightarrow M{F_1}^2 = {( – c – {x_0})^2} + {( – {y_0})^2};M{F_2}^2 = {(c – {x_0})^2} + {( – {y_0})^2}\)

\( \Rightarrow M{F_1}^2 – M{F_2}^2 = {( – c – {x_0})^2} – {(c – {x_0})^2} = 4c{x_0}\)

b) Khi điểm M \(M({x_0};{y_0})\) thuộc nhánh chứa đỉnh \({A_2}(a;0)\) (\(M{F_1} – M{F_2} = 2a\)),

\(\begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 – M{F_2}^2}}{{M{F_1} – M{F_2}}} = \frac{{2c}}{a}{x_0}\\M{F_1} = \frac{{\frac{{2c}}{a}{x_0} + 2a}}{2} = a + \frac{c}{a}{x_0}\\M{F_2} = \frac{{\frac{{2c}}{a}{x_0} – 2a}}{2} = – a + \frac{c}{a}{x_0}\end{array}\)

c) Khi điểm \(M({x_0};{y_0})\) thuộc nhánh chứa đỉnh \({A_1}( – a;0)\) (\(M{F_2} – M{F_1} = 2a\)),

\(\begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = \frac{{M{F_1}^2 – M{F_2}^2}}{{M{F_1} – M{F_2}}} = – \frac{{2c}}{a}{x_0}\\M{F_1} = \frac{{\left( { – \frac{{2c}}{a}{x_0}} \right) – 2a}}{2} = – a – \frac{c}{a}{x_0}\\M{F_2} = \frac{{\left( { – \frac{{2c}}{a}{x_0}} \right) + 2a}}{2} = a – \frac{c}{a}{x_0}\end{array}\)

 Câu hỏi Chuyên đề học tập Toán 10

Hiệu độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm thuộc hypebol có mối quan hệ gì với độ dài trục thực?

Lời giải chi tiết:

Nếu \(M({x_0};{y_0})\) thuộc nhánh chứa đỉnh \({A_2}(a;0)\) thì \(M{F_1} – M{F_2} = 2a\)

Nếu \(M({x_0};{y_0})\) thuộc nhánh chứa đỉnh \({A_1}( – a;0)\) thì \(M{F_2} – M{F_1} = 2a\)

\( \Rightarrow \left| {M{F_1} – M{F_2}} \right| = 2a\)

Luyện tập 2 Chuyên đề học tập Toán 10

Cho hypebol có độ dài trục thực bằng 6, độ dài trục ảo bằng \(6\sqrt 3 \). Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của một điểm M thuộc hypebol và có hoành độ bằng 9.

Lời giải chi tiết:

Độ dài trục thực bằng \(2a = 6 \Rightarrow a = 3.\)

Độ dài trục ảo bằng \(2b = 6\sqrt 3 \Rightarrow b = 3\sqrt 3 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 6\).

Với \(M(9;{y_0})\) thuộc hypebol ta có:

\(M{F_1} = \left| {3 + \frac{6}{3}.9} \right| = 21;M{F_2} = \left| {3 – \frac{6}{3}.9} \right| = 15.\)

Luyện tập 3 Chuyên đề học tập Toán 10

Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{1} – \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) với hai tiêu điểm \({F_1}( – 2;0),{F_2}(2;0)\). Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính qua tiêu \(M{F_2}\) nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm

Lời giải chi tiết:

Xét hypebol \(\frac{{{x^2}}}{1} – \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) với hai tiêu điểm \({F_1}( – 2;0),{F_2}(2;0)\), ta có:

\(a = 1,b = \sqrt 3 ,c = 2\).

\( \Rightarrow M{F_2}\) nhỏ nhất bằng \(c – a = 1\) khi M trùng đỉnh \({A_2}(1;0)\)

Khi đó, \(M{F_1} = \left| {1 + \frac{2}{1}.1} \right| = 3.\)

HĐ3 Chuyên đề học tập Toán 10

Cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với các tiêu điểm \({F_1}( – c;0),{F_2}(c;0),\)ở đây \(c = \sqrt {{a^2} – {b^2}} \) (H.3.6). Xét các đường thẳng \({\Delta _1}:x = – \frac{{{a^2}}}{c}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{{a^2}}}{c}\).

Với điểm M (x; y) thuộc hypebol, tính các tỉ số \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}}\) và \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\) theo a và c.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;\;\;M{F_2} = \left| {a – \frac{c}{a}x} \right|\)

\(d(M,{\Delta _1}) = \left| {x – \left( { – \frac{{{a^2}}}{c}} \right)} \right| = \left| {x + \frac{{{a^2}}}{c}} \right|\); \(d(M,{\Delta _2}) = \left| {x – \frac{{{a^2}}}{c}} \right|\)

\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \left| {\frac{{{a^2} + cx}}{a}} \right|:\left| {\frac{{{a^2} + cx}}{c}} \right| = \left| {\frac{c}{a}} \right| = \frac{c}{a}\) ;

\(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \left| {\frac{{{a^2} – cx}}{a}} \right|:\left| {\frac{{{a^2} – cx}}{c}} \right| = \left| {\frac{c}{a}} \right| = \frac{c}{a}\)

Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = \frac{c}{a}.\)

Luyện tập 4 Chuyên đề học tập Toán 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol (H) có phương trình chính tắc, có tâm sai \(e = 2\) và một đường chuẩn là \(x = 8\). Lập phương trình chính tắc của (H).

Lời giải chi tiết:

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Vì \(a,c > 0\) nên \(e > 0\)

+ Đường chuẩn: \({\Delta _2}:x = 8 = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 16\)

+ Tâm sai của hypebol: \(e = 2 \Rightarrow \frac{c}{{16}} = 2 \Rightarrow c = 32 \Rightarrow b = 16\sqrt 3 \)

Phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{256}} – \frac{{{y^2}}}{{768}} = 1\).

 Vận dụng Chuyên đề học tập Toán 10

Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt trời là \({3.10^8}\) km và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 (H.3.15). Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng tọa độ ứng với \({10^8}\) km trên thực tế.

Lời giải chi tiết:

\({3.10^8}\) km = 3 đơn vị.

Gọi PTCT của quỹ đạo hình hypebol đó là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\),

Giả sử Mặt trời là tiêu điểm \({F_2}( – c;0)\).

Điểm M bất kì thuộc hypebol là vị trí của sao chổi trong quỹ đạo, khi đó:

\(M{F_2}\) nhỏ nhất bằng \(c – a = 3\) khi M trùng đỉnh \({A_2}(a;0)\)

Tâm sai của hypebol là: \(e = \frac{c}{a} = 3,6 \Rightarrow c = 3,6a\)

\( \Rightarrow 2,6a = 3 \Leftrightarrow a = \frac{{15}}{{13}},\;c = \frac{{54}}{{13}} \Rightarrow {b^2} = \frac{{207}}{{13}}\)

\( \Rightarrow \)PTCT của hypebol là: \(\frac{{169{x^2}}}{{225}} – \frac{{13{y^2}}}{{207}} = 1\),

Giải bài 3.7 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

Xác định tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, tâm sai và phương trình các đường chuẩn của hypebol

Lời giải chi tiết

Ta có phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

\( \Rightarrow a = 3,b = 2,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {13} \)

+ 2 đỉnh: \({A_1}\left( { – 3;0} \right),{A_2}\left( {3;0} \right),\)

+ Độ dài trục thực: 2a = 6, độ dài trục ảo: 2b = 4.

+ Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{{\sqrt {13} }}{3}\)

+ Đường chuẩn: \({\Delta _1}:x = – \frac{3}{{\frac{{\sqrt {13} }}{3}}} \Leftrightarrow x = – \frac{{9\sqrt {13} }}{{13}}\) và \({\Delta _2}:x = \frac{{9\sqrt {13} }}{{13}}\).

Giải bài 3.8 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{7} = 1\)

Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc hypebol, biết điểm M có hoành độ bằng 12.

Lời giải chi tiết

Ta có phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{7} = 1\).

\( \Rightarrow a = 3,b = \sqrt 7 ,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 4\)

Bán kính qua tiêu của M (12; y):

\(M{F_1} = \left| {3 + \frac{4}{3}.12} \right| = 19,\;M{F_2} = \left| {3 – \frac{4}{3}.12} \right| = 13.\)

Giải bài 3.9 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc. Lập phương trình chính tắc của (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có nửa khung thực tế bằng 4, tiêu cự bằng 10.

b) (H) có tiêu cự bằng \(2\sqrt {13} \), một đường tiệm cận là \(y = \frac{2}{3}x\).

c) (H) có tâm sai bằng \(e = \sqrt 5 \), và đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\).

Lời giải chi tiết

a)

+ Độ dài nửa trục bằng 4 \( \Rightarrow a = 4\).

+ Tiêu cự bằng\(10 = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10 = 2\sqrt {{4^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{4^2} + {b^2}} = 5\\ \Leftrightarrow {4^2} + {b^2} = 25\\ \Leftrightarrow {b^2} = 9\\ \Rightarrow b = 3.\end{array}\)

⇒PTCT của hypebol

\(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)

b)

+ Tiêu cự bằng \(2\sqrt {13} = 2c \Rightarrow c = \sqrt {13} .\)

+ Ta có: \(2\sqrt {13} = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {13} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 13.\end{array}\)

Đường tiệm cận \(y = \frac{2}{3}x = \frac{b}{a}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3}.\)

\( \Leftrightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{9} = \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{13}} = \frac{{13}}{{13}} = 1.\)

\( \Rightarrow a = 3,b = 2.\)

⇒PTCT của hypebol

\(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

c,

+ Tâm sai của hypebol:\(e = \frac{c}{a} = \sqrt 5 \Leftrightarrow c = a\sqrt 5 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 5{a^2} \Rightarrow {b^2} = 4{a^2}\)(1).

+ Hypebol đi qua điểm \((\sqrt {10} ;6)\)nên ta có: \(\frac{{{{(\sqrt {10} )}^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{6^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (2).

Thay (1) vào (2) ta có:

\(\frac{{10}}{{{a^2}}} – \frac{{36}}{{4{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{10}}{{{a^2}}} – \frac{9}{{{a^2}}} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow {b^2} = 4 \Rightarrow b = 2.\)

⇒PTCT của hypebol

\(\frac{{{x^2}}}{{{1^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} – \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

+ Độ dài nửa trục bằng 4 \( \Rightarrow a = 4\).

+ Tiêu cự bằng\(10 = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10 = 2\sqrt {{4^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{4^2} + {b^2}} = 5\\ \Leftrightarrow {4^2} + {b^2} = 25\\ \Leftrightarrow {b^2} = 9\\ \Rightarrow b = 3.\end{array}\)

⇒PTCT của hypebol:\(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)

b)

+ Tiêu cự bằng\(2\sqrt {13} = 2c \Rightarrow c = \sqrt {13} .\)

+ Ta có:\(2\sqrt {13} = 2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {13} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 13.\end{array}\)

Đường tiệm cận \(y = \frac{2}{3}x = \frac{b}{a}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{3}.\)

\( \Leftrightarrow \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{9} = \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{13}} = \frac{{13}}{{13}} = 1.\)

\( \Rightarrow a = 3,b = 2.\)

⇒PTCT của hypebol:\(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{4} = 1.\)

c,

Giải bài 3.10 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10

Một hypebol mà độ dài trục thực bằng độ dài trục ảo được gọi là hypebol vuông. Tìm tâm sai và phương trình hai đường tiệm cận của hypebol vuông

Lời giải chi tiết

Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là hypebol vuông, tức là \(2a = 2b\) hay \(a = b.\)

\( \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = a\sqrt 2 \)

+ Tâm sai của hypebol: \(e = \frac{c}{a} = \sqrt 2 \)

+ Hai đường tiệm cận \(y = – \frac{b}{a}x\) và \(y = \frac{b}{a}x\) hay \(y = – x\) và \(y = x\).

 Giải bài 3.11 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi

Lời giải chi tiết

Gọi PTCT của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Hai đường tiệm cận \({d_1}:y = – \frac{b}{a}x\) và \({d_2}:y = \frac{b}{a}x\)

Lấy \(M({x_0};{y_0})\) bất kì thuộc hypebol.

\(d(M,{d_1}) = \frac{{\left| {\frac{b}{a}{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} }};d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\frac{b}{a}{x_0} – {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} }}.\)

\( \Rightarrow d(M,{d_1}).d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\left( {\frac{b}{a}{x_0} + {y_0}} \right)\left( {\frac{b}{a}{x_0} – {y_0}} \right)} \right|}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{\left| {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}{x_0}^2 – {y_0}^2} \right|}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}}\)

Mà \(M({x_0};{y_0})\)thuộc hypebol nên \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} – \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\) hay \({\left( {\frac{b}{a}} \right)^2}{x_0}^2 – {y_0}^2 = {b^2}\)

\( \Rightarrow d(M,{d_1}).d(M,{d_2}) = \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{{a^2}.{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\) là hằng số (đpcm)

Giải bài 3.12 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10

Bốn trạm phát tín hiệu vô tuyến có vị trí A, B, C, D theo thứ tự đó thẳng hàng và cách đều với khoảng cách 200 km (H.3.16). Tại một thời điểm, bốn trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s. Một tàu thủy nhận được tín hiệu từ trạm C trước 0,0005 s so với tín hiệu từ trạm B và nhận được tín hiệu từ trạm D sớm 0,001 s so với tín hiệu từ trạm A.

a) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C.

b) Tính hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm A, D.

c) Chọn hệ trục tọa độ Oxy như trong Hình 3.16 (1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ ứng với 100 km trên thực tế). Hãy lập phương trình chính tắc của hai hypebol đi qua vị trí M của tàu.

d) Tính khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C (đáp số được làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo đơn vị km)

Lời giải chi tiết

a) Gọi vị trí của tàu là M.

\( \Rightarrow \) Hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm B, C là MB – MC.

MB = t. 292 000 (km) (t là số giây để tàu thủy nhận được tín hiệu từ trạm B)

MC = (t – 0,0005). 292 000 (km)

\( \Rightarrow \) MB – MC = 0,0005. 292 000 = 146 (km)

b) Tương tự, hiệu các khoảng cách từ tàu đến các trạm D, A là:

0,001. 292 000 = 292 (km)

c)

+ Gọi PTCT của hypepol H1 đi qua M, nhận B (-1;0) và C (1;0) làm tiêu điểm là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Ta có: \(c = 1\)

Khi đó độ dài trục thực là MB – MC = 2a, tương ứng 1,46 trên hệ trục tọa độ.

\( \Rightarrow a = 0,73 \Rightarrow {b^2} = 0,4671\)

PTCT của hypebol H1 là \(\frac{{{x^2}}}{{0,{{73}^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{0,4671}} = 1\)

+ Gọi PTCT của hypepol H2 đi qua M, nhận A (-3;0) và D (3;0) làm tiêu điểm là \(\frac{{{x^2}}}{{a{‘^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{b{‘^2}}} = 1\)

Ta có: \(c’ = 3\)

Khi đó độ dài trục thực là MA – MD = 2a’, tương ứng 2,92 trên hệ trục tọa độ.

\( \Rightarrow a = 1,46 \Rightarrow {b^2} = 6,8684\)

PTCT của hypebol H2 là \(\frac{{{x^2}}}{{1,{{46}^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{6,8684}} = 1\)

+ Tọa độ M là giao điểm của hai hypebol H1 và H2 (\({x_M},{y_M} > 0\))

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{0,{{73}^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{0,4671}} = 1\\\frac{{{x^2}}}{{1,{{46}^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{6,8684}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 2,729\\{y^2} = 1,92494\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 1,65197\\{y_M} = 1,38742\end{array} \right.\)

Vậy M có tọa độ (1,65197; 1,38742)

d)

Cách 1:

\(\begin{array}{l}MB = \left| {a + \frac{c}{a}{x_M}} \right| = \left| {0,73 + \frac{1}{{0,73}}.1,65197} \right| \approx 2,99 = 299\;(km)\\MC = \left| {a – \frac{c}{a}{x_M}} \right| = \left| {0,73 – \frac{1}{{0,73}}.1,65197} \right| \approx 1,53 = 153\;(km)\end{array}\)

Cách 2:

\(\begin{array}{l}MB = \sqrt {{{(1,65197 – ( – 1))}^2} + 1,{{38742}^2}} \approx 2,99 = 299km\\MC = \sqrt {{{(1,65197 – 1)}^2} + 1,{{38742}^2}} \approx 1,53 = 153km\end{array}\)