Toán 11 tập 1 trang 109 Bài 4 : Hai mặt phẳng song song

Giải toán 11 tập 1 trang 109 Bài 4 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng Bài trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 105 toán 11 tập 1

Hoạt động 1 trang 105 toán 11 tập 1

Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q).

Nếu (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có bao nhiêu điểm chung? Các điểm chung đó có tính chất gì?

Lời giải:

Đối với hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) trong không gian, có hai khả năng xảy ra:

– Hai mặt phẳng (P) và (Q) có 1 điểm chung. Khi đó, chúng có vô số điểm chung và các điểm chung đó cùng nằm trên một đường thẳng.

Luyện tập 1 trang 105 toán 11 tập 1

Nêu ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh hai mặt phẳng song song.

Lời giải:

Trong thực tiễn có nhiều hình ảnh về hai mặt phẳng song song: các mặt của giá để đồ, trần nhà và sàn nhà, hai bức tường đối diện nhau,…

Trang 106 toán 11 tập 1

Hoạt động 2 trang 106 toán 11 tập 1

Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) (Hình 61). Hai mặt phẳng (P) và (Q) có điểm chung hay không?

Lời giải:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung

Luyện tập 2 trang 106 toán 11 tập 1

Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P, I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB, AM, AN, AP. Chứng minh rằng (IJK) // (BCD).

Lời giải:

Tam giác AMP có: I, K là trung điểm AM, AP

Suy ra: IK // MP

Suy ra IK // (BCD) (1)

Tam giác ANP có: J, K là trung điểm AN, AP

Suy ra: JK // NP

Suy ra: JK // (BCD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (IJK) // (BCD)

Hoạt động 3 trang 106 toán 11 tập 1

Cho mặt phẳng (Q) và điểm M nằm ngoài mặt phẳng (Q).

a) Trong mặt phẳng (Q) vẽ hai đường thẳng a’, b’ cắt nhau. Qua điểm M kẻ các đường thẳng a, và b lần lượt song song với a’, b’. Gọi (P) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng (cắt nhau) a và b (Hình 63). Mặt phẳng (P) có song song với mặt phẳng (Q) hay không?

b) Xét mặt phẳng (R) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q). Hai mặt phẳng (R) và (P) có trùng nhau hay không?

Lời giải:

a) Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q)

b) Hai mặt phẳng (R) và (P) trùng nhau

Trang 107 toán 11 tập 1

Hoạt động 4 trang 107 toán 11 tập 1

Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a.

a) Mặt phẳng (R) có cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến b, hãy nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai giao tuyến a và b (Hình 64)

b) Trong trường hợp mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến b, hãy nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai giao tuyến a và b (Hình 64)

Lời giải:

a) Hai giao tuyến a và b song song với nhau

b) Hai giao tuyến a và b song song với nhau

Trang 108 toán 11 tập 1

Luyện tập 3 trang 108 toán 11 tập 1

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Đường thẳng a cắt hai mặt phẳng trên theo thứ tự tại A, B. Đường thẳng b song song với đường thẳng a và cắt hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt tại A’, B’. Chứng minh rằng $AB = A’B’$

Lời giải:

Ta có (P) // (Q)

Suy ra AA’ // BB’ (1)

Ta có a // b

Suy ra AB // A’B’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra AA’B’B là hình bình hành

Do đó AB = A’B’

Trang 109 toán 11 tập 1

Bài 1 trang 109 toán 11 tập 1

Bạn Chung cho rằng: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) luôn song song với (Q). Phát biểu của bạn Chung có đúng không? Vì sao?

Lời giải

Trường hợp a cắt b theo dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song thì ý kiến đúng

Trường hợp a không cắt b thì a // b

Ta có: a thuộc (P), a // (Q)

B thuộc (P), b // (Q)

Do đó: (P) // (Q)

Vậy ý kiến đúng

Bài 2 trang 109 toán 11 tập 1

Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành.

Lời giải

Theo định lý 2 ta có: Chỉ có một và một mặt phẳng qua A’ // (P).

Tương tự với các điểm B’, C’, D’

Theo giả thiết: A’, B’, C’, D’ đồng phẳng

Suy ra mặt phẳng chứa A’, B’, C’, D’ song song với (P)

Do đó: A’D’ // AD, B’C’ // BC, AD // BC

Suy ra: A’D’ // B’C’ (1)

Tương tự ta có: A’B’ // C’D’ (2)

Từ (1) và (2) suy ra A’B’C’D’ là hình bình hành

Bài 3 trang 109 toán 11 tập 1

Cho tứ diện ABCD. Lấy ${G_1},{G_2},{G_3}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh rằng $({G_1}{G_2}{G_3})//(BCD)$.

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $({G_1}{G_2}{G_3})$ với mặt phẳng $(ABD)$.

Lời giải

a) Gọi M, N, P là trung điểm của BC, CD, BD.

Ta có: ${G_1}$ là trọng tâm tam giác ABC, suy ra$\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3}$.

${G_3}$ là trọng tâm tam giác ABD, suy ra$\frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra tam giác AMP có$\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_3}}}{{AP}}$ nên ${G_1}{G_3}//MP$.

Mà MP thuộc (BCD) nên ${G_1}{G_3}//(BCD)$.

Tương tự ta có: ${G_2}{G_3}//(BCD)$.

Do đó, ${G_1}{G_2}{G_3}//(BCD)$.

b) 

Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên $\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD$

Giả sử $\left( {ABD} \right) \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = d$.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//(BCD)\$ABD) \cap (BCD) = BD\$ABD) \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = d\end{array} \right.$

Suy ra d//BD.

Mà ${G_3} \in ({G_1}{G_2}{G_3})$ nên ${G_3}$ là giao điểm của $({G_1}{G_2}{G_3})$ và (ABD).

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng $({G_1}{G_2}{G_3})$ và (ABD) đi qua ${G_3}$ và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.

Vậy $({G_1}{G_2}{G_3}) \cap (ABD) = IK$.

Bài 4 trang 109 toán 11 tập 1

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC)

b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính $\frac{{AN}}{{NC}}$

Lời giải

a) Ta có: AD // BC (ABCD là hình bình hành)

mà AD thuộc (AFD), BC thuộc (BEC)

nên (AFD) // (BEC)

b) Trong (ABEF), kẻ đường thẳng d qua M // AF

Ta có: d cắt AB tại I, d cắt EF tại J (1)

Trong (ABCD) có I thuộc (P) mà (P) // (AFD)

Suy ra từ I kẻ IH // AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (IJH) trùng (P) và // (AFD)

Ta có: (P) cắt AC tại N mà AC thuộc (ABCD), IH thuộc (P) và (ABCD)

Suy ra IH cắt AC tại N

Ta có các hình bình hành IBCH, IBEJ

Gọi O là trung điểm của AB

Ta có M là trọng tâm của tam giác ABE

Suy ra $\frac{{MO}}{{ME}} = \frac{1}{2}$

Ta có AB // CD suy ra AI // CH

Định lý Ta – let:$\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{CH}}$

Mà CH = IB (IBCH là hình bình hành)

Suy ra$\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IB}}$

Ta có: AB // EF nên OI // EJ

Do đó:$\frac{{OI}}{{{\rm{EJ}}}} = \frac{{MO}}{{ME}} = \frac{1}{2}$

Mà EJ = IB (IBEJ là hình bình hành)

Suy ra$\frac{{OI}}{{IB}} = \frac{1}{2}$ hay$IB = 2OI$

Ta có$\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AI}}{{IB}} = \frac{{AO + OI}}{{2OI}}$

Mà OA = OB (O là trung điểm AB)

Nên $\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{OB + OI}}{{2OI}} = 2$

Do đó: $\frac{{AN}}{{NC}} = 2$