Toán 11 tập 1 trang 15 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Giải toán 11 tập 1 trang 15 Bài 1 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng Bài trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 5 toán 11 tập 1

HĐ 1 trang 5 toán 11 tập 1

Nêu định nghĩa góc trong hình học phẳng.

Lời giải:

Góc là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc là độ hoặc radian.

Số đo của mỗi góc không vượt quá ${180^ \circ }$

Trang 6 toán 11 tập 1

LT – VD 1 trang 6 toán 11 tập 1

Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau.

Lời giải:

Ta có bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau:

HĐ 2 trang 6 toán 11 tập 1

So sánh chiều quay của kim đồng hồ với:

a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a.

b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b.

Lời giải:

a) Chiều quay từ tia Om đến tia Ox trong Hình 3a là chiều quay ngược chiều kim đồng hồ

b) Chiều quay từ tia Om đến tia Oy trong Hình 3b là chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.

Trang 7 toán 11 tập 1

LT – VD 2 trang 7 toán 11 tập 1

Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác trong Hình 4b.

Lời giải:

Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz,Ot) với tia đầu là tia Oz và tia cuối là tia Ot

HĐ 3 trang 7 toán 11 tập 1

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là $3\frac{1}{4}$vòng). Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

c) Trong Hình 5c, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Hỏi tia đó quét nên một góc bao nhiêu độ?

Lời giải:

a) Trong Hình 5a, tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng. Tia đó quét nên một góc ${360^ \circ }$

b) Trong Hình 5b, tia Om quay theo chiều dương ba vòng và một phần tư vòng ( tức là $3\frac{1}{4}$vòng). Tia đó quét nên một góc ${3.360^ \circ } + \frac{1}{4}{360^ \circ } = {1170^ \circ }$

c) Trong Hình 5x, toa Om quay theo chiều âm đúng một vòng. Tia đó quét nên một góc -${360^ \circ }$

Trang 8 toán 11 tập 1

LT – VD 3 trang 8 toán 11 tập 1

Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo $ – \frac{{5\pi }}{4}$

Lời giải:

Ta có $ – \frac{{5\pi }}{4} = – \pi + \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)$. Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo $ – \frac{{5\pi }}{4}$ được biểu diễn ở hình sau:

HĐ 4 trang 8 toán 11 tập 1

Trong Hình 7a, ba góc lượng giác có cùng tia đầu Ou và tia cuối Ov, trong đó Ou ⊥ Ov. Xác định số đo của góc lượng giác trong các Hình 7b, 7c, 7d.

Lời giải:

Quan sát Hình 7 ta thấy:

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7b) là 90°.

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7c) là 360° + 90° = 450°.

+ Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou và tia cuối Ov trong Hình 7d) là – (360° – 90°) = 90° – 360° = 270°.

Trang 9 toán 11 tập 1

LT – VD 4 trang 9 toán 11 tập 1

Viết công thức biểu thị số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc lượng giác có số đo bằng $ – \frac{{4\pi }}{3}$.

Lời giải:

Ta có:

$(O’u’,O’v’) = (Ou,Ov) + k2\pi \,\, = \, – \frac{{4\pi }}{3}\, + k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})$

HĐ 5 trang 9 toán 11 tập 1

Cho góc ( hình học) xOz, tia Oy nằm trong góc xOz ( Hình 8). Nêu mối liên hệ giữa số đo góc xOz và tổng số đo của hau góc xOy và yOz.

Lời giải:

Ta có : $\widehat {xOz} = \widehat {xOy} + \widehat {yOz}$

LT – VD 5 trang 9 toán 11 tập 1

Cho góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo là $ – \frac{{11\pi }}{4}$, góc lượng giác (Ou,Ow) có số đó là $\frac{{3\pi }}{4}$. Tìm số đo của góc lượng giác (Ov,Ow).

Lời giải:

Theo hệ thức Chasles, ta có:

$\begin{array}{l}(Ov,Ow) = (Ou,Ov) – (Ou,Ow) + k2\pi \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \, – \frac{{11\pi }}{4} – \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi = – \frac{7}{2} + k2\pi ,\,\,(k \in \mathbb{Z})\end{array}$

Trang 10 toán 11 tập 1

HĐ6 trang 10 toán 11 tập 1

a) Trong mặt phẳng tọa độ (định hướng) Oxy, hãy vẽ đường tròn tâm O và bán kính bằng 1

b) Hãy nêu chiều dương, chiều âm trên đường tròn tâm O với bán kính bằng 1

Lời giải:

a)

b) Chiều dương là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ; chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

LT-VD6 trang 10 toán 11 tập 1

Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho $\left( {OA,ON} \right) = – \frac{\pi }{3}$

Lời giải:

HĐ7 trang 10 toán 11 tập 1

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left( {OA,OM} \right) = 60^\circ $

b) So sánh hoành độ của điểm M với $\cos 60^\circ $; tung độ của điểm M với $\sin 60^\circ $

Lời giải:

a)

b) ta có $\cos 60^\circ $ bằng hoành độ của điểm M

$\sin 60^\circ $ bằng tung độ của điểm M

Trang 11 toán 11 tập 1

LT-VD7 trang 11 toán 11 tập 1

Tìm giác trị lượng giác của góc lượng giác $\beta = – \frac{\pi }{4}$

Lời giải:

$\sin \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\cos \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\tan \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{2};\,\,\cot \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) = – 2$

HĐ8 trang 11 toán 11 tập 1

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha = – 30^\circ $

Lời giải:

$\begin{array}{l}\cos \left( { – 30^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} > 0\\\sin \left( { – 30^\circ } \right) = – \frac{1}{2} < 0\\\tan \left( { – 30^\circ } \right) = – \frac{{\sqrt 3 }}{3} < 0\\\cot \left( { – 30^\circ } \right) = – \sqrt 3 < 0\end{array}$

LT-VD8 trang 11 toán 11 tập 1

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha = \frac{{5\pi }}{6}$

Lời giải:

Do $\frac{\pi }{2} < \frac{{5\pi }}{6} < \pi $ nên

$\begin{array}{l}\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\\\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) > 0\\\tan \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\\\cot \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) < 0\end{array}$

HĐ9 trang 11 toán 11 tập 1

Cho góc lượng giác $\alpha $. So sánh

a) ${\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,$ và 1

b) $\tan \alpha .\cot \alpha \,\,$ và 1 với $\cos \alpha \ne 0;\sin \alpha \ne 0$

c) $1 + {\tan ^2}\alpha \,\,$ và $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ với $\cos \alpha \ne 0$

d) $1 + {\cot ^2}\alpha \,$ và $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ với $\sin \alpha \ne 0$

Lời giải:

a) ${\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1$

b) $\tan \alpha .\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = 1$

c) $\frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha + 1$

d) $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha $

Trang 12 toán 11 tập 1

LT-VD9 trang 12 toán 11 tập 1

Cho góc lượng giác $\alpha $sao cho $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ và $\sin \alpha = – \frac{4}{5}$. Tìm $\cos \alpha $

Lời giải:

Vì ${\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1$ nên ${\cos ^2}\alpha = 1 – {\sin ^2}\alpha = 1 – {\left( { – \frac{4}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$

Do $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$ nên $\cos \alpha < 0$. Suy ra $\cos \alpha = – \frac{3}{5}$

HĐ10 trang 12 toán 11 tập 1

Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\alpha = 45^\circ $

Lời giải:

$\sin \left( {45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\cos \left( {45^\circ } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\,\tan \left( {45^\circ } \right) = \frac{1}{2};\,\,\cot \left( {45^\circ } \right) = 2$

LT-VD10 trang 12 toán 11 tập 1

Tính giá trị của biểu thức:

$Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}$

Lời giải:

Ta có

$\begin{array}{l}Q = {\tan ^2}\frac{\pi }{3} + {\sin ^2}\frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{4} + \cos \frac{\pi }{2}\\\,\,\,\,\, = \,{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 1 + 0 = \frac{7}{2}\end{array}$

Trang 13 toán 11 tập 1

HĐ11 trang 13 toán 11 tập 1

Trên đường tròn lượng giác, cho hai điểm M, M’ sao cho góc lượng giác $\left( {OA,OM} \right) = \alpha ,\,\,\left( {OA,OM’} \right) = – \alpha $ (Hình 13)

a) Đối với hai điểm M, M’ nêu nhận xét về: hoành độ của chúng, tung độ của chúng.

b) Nêu mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác $\alpha $ và $- \alpha $

Lời giải:

a) Hoành độ của điểm M và M’ bằng nhau

Tung độ của điểm M và M’ đối nhau

b) Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác tương ứng của hai góc lượng giác $\alpha$ và $- \alpha $

Trang 5 toán 14 tập 1

LT-VD11 trang 14 toán 11 tập 1

a) ${\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8}$

b) $\tan {1^ \circ }.\tan {2^ \circ }.\tan {45^ \circ }.\tan {88^ \circ }.\tan {89^ \circ }$

Lời giải:

a) ${\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} – \frac{\pi }{8}} \right) = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\frac{\pi }{8} = 1$

b)

$\begin{array}{l}\tan {1^ \circ }.\tan {2^ \circ }.\tan {45^ \circ }.\tan {88^ \circ }.\tan {89^ \circ }\\ = (\tan {1^ \circ }.\tan {89^ \circ }).(\tan {2^ \circ }.\tan {88^ \circ }).\tan {45^ \circ }\\ = (\tan {1^ \circ }.\cot {1^ \circ }).(\tan {2^ \circ }.\cot {2^ \circ }).\tan {45^ \circ }\\ = 1\end{array}$

LT-VD12 trang 14 toán 11 tập 1

Dùng máy tính cầm tay để tính ;

a) $\tan ( – {75^ \circ });$b) $\cot \left( { – \frac{\pi }{5}} \right)$

Lời giải:

a) $\tan ( – {75^ \circ }) = – 2 – \sqrt 3 $

b) $\cot \left( { – \frac{\pi }{5}} \right) \approx – 1,376$

Trang 15 toán 11 tập 1

Bài 1 trang 15 sgk Toán 11 tập 1 CD

Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằng $\frac{\pi }{2},\frac{7\pi }{6},\frac{-\pi }{6}$.

Bài giải:

Điểm M ≡ điểm B thì (OA, OM) = $\frac{\pi }{2}$.

Điểm N nằm trên cung A’B’, sao cho cung A’N = $\frac{1}{3}$ cung A’B’ thì (OA, ON) = $\frac{7\pi }{6}$.

Điểm P nằm trên cung AB’, sao cho cung AP = $\frac{1}{3}$ cung AB’ thì (OA, OP) = $\frac{-\pi }{6}$.

Bài 2 trang 15 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225^∘, −225^∘, −1035^∘, $\frac{5\pi }{3}$, $\frac{19\pi }{2}$, $\frac{-159\pi }{4}$.

Bài giải:

sin(225^∘) = $\frac{-\sqrt{2} }{2}$, cos(225^∘) = $\frac{-\sqrt{2} }{2}$, tan(225^∘) = 1, cot(225^∘) = 1

sin(−225^∘) = $\frac{\sqrt{2} }{2}$, cos(−225^∘) = $\frac{\sqrt{2} }{2}$, tan(225^∘) = −1, cot(225^∘) = −1

sin (−1035^∘) = $\frac{\sqrt{2} }{2}$, cos(−1035^∘) = $\frac{\sqrt{2} }{2}$, tan(−1035^∘) = 1, cot(−1035^∘) = 1

sin($\frac{5\pi }{3}$) = $-\frac{\sqrt{3} }{2}$, cos($\frac{5\pi }{3}$) = 12, tan($\frac{5\pi }{3}$) = $-\sqrt{3}$, cot($\frac{5\pi }{3}$) = $-\frac{\sqrt{3} }{3}$

sin($\frac{19\pi }{2}$) = −1, cos($\frac{19\pi }{2}$) = 0, cot($\frac{19\pi }{2}$) = 0

sin($\frac{-159\pi }{4}$) = $-\frac{\sqrt{2} }{2}$, cos($\frac{-159\pi }{4}$) = $\frac{\sqrt{2} }{2}$, tan($\frac{-159\pi }{4}$) =−1, cot($\frac{-159\pi }{4}$) = −1

Bài 3 trang 15 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

a) $\frac{\pi }{3}$ + k2π (k∈Z);

b) kπ (k∈Z);

c) $\frac{\pi }{2}$ + kπ (k∈Z);

d) $\frac{\pi }{4}$ + kπ (k∈Z).

Bài giải:

a) sin($\frac{\pi }{3}$ + k2π) = $\frac{\sqrt{3} }{2}$; cos ($\frac{\pi }{3}$ + k2π)= $\frac{1}{2}$; tan($\frac{\pi }{3}$ + k2π) = $-\sqrt{3}$; cot($\frac{\pi }{3}$ + k2π) = $\frac{\sqrt{3} }{3}$.

b) sin(kπ) = 0; cos(kπ) = −1 nếu k lẻ hoặc =1 nếu k chẵn; tan(kπ) = 0.

c) sin($\frac{\pi }{2}$ + kπ) = −1 nếu k lẻ hoặc =1 nếu k chẵn; cos($\frac{\pi }{2}$+kπ) = 0; cot($\frac{\pi }{2}$+kπ) = 0.

d) sin($\frac{\pi }{4}$ + kπ) = $-\frac{\sqrt{2} }{2}$ nếu k lẻ hoặc = $\frac{\sqrt{2} }{2}$ nếu k chẵn; cos($\frac{\pi }{4}$+ kπ) = $-\frac{\sqrt{2} }{2}$ nếu k lẻ hoặc = $\frac{\sqrt{2} }{2}$ nếu k chẵn; tan($\frac{\pi }{4}$+kπ) = 1; cot($\frac{\pi }{4}$+kπ) = 1.

Bài 4 trang 15 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) sinα = $\frac{\sqrt{15} }{4}$ với $\frac{\pi }{2}$ < α < π;

b) cosα = $-\frac{2}{3}$ với −π < α < 0;

c) tanα = 3 với −π < α < 0;

d) cotα = −2 với 0 < α < π.

Bài giải:

a) sinα = $\frac{\sqrt{15} }{4}$ với $\frac{\pi }{2}$ < α < π ⇒ α ≈ 1.318

b) cosα = $-\frac{2}{3}$ với −π < α < 0⇒ α ≈ 2.3

c) tanα = 3 với −π < α < 0⇒ α ≈ 1.249

d) cotα =− 2 với 0 < α < π ⇒ α ≈ −0.464

Bài 5 trang 15 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tính:

a) A = sin²5^∘ + sin²10^∘ + sin²15^∘ +…+ sin²85^∘ (17 số hạng).

b) B = cos5^∘ + cos10^∘ + cos15^∘ +…+ cos175^∘ (35 số hạng).

Bài giải:

a) A = cos²85^∘ + cos²80^∘ + cos²75^∘ +…+ sin²45^∘ +…+ sin²85^∘ = $\frac{17}{2}$

b) B = −cos175^∘ − cos170^∘ − cos165^∘ −…+ cos175^∘ = 0

Bài 6 trang 15 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2h.

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1h; 3h; 5h.

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài giải:

Ta có công thức độ dài của một cung tròn là: l = R.α

a) Sau 1h, vệ tinh chuyển động được một cung α = π

Như vậy, quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1h là: l = 9000π (km).

Sau 3h, vệ tinh chuyển động được một cung α = 3π

Như vậy, quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 3h là: l = 27000π (km).

Sau 5h, vệ tinh chuyển động được một cung α = 5π

Như vậy, quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 5h là: l = 45000π (km).

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau: $\frac{200000}{9000}$ ≈ 22h.