Toán 11 tập 1 trang 31 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

Giải toán 11 tập 1 trang 31 Bài 3 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng Bài trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 22 toán 11 tập 1

HĐ 1 trang 22 toán 11 tập 1

a) Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$

Với $x \in \mathbb{R}$, hãy so sánh $f\left( { – x} \right)$ và $f\left( x \right)$

Quan sát parabol (P) là đồ thị của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ (Hình 20) và cho biết trục đối xứng của (P) là đường thẳng nào?

b) Cho hàm số $g\left( x \right) = x$

Với $x \in \mathbb{R}$, hãy so sánh $g\left( { – x} \right)$ và $g\left( x \right)$

Quan sát đường thẳng d là đồ thị của hàm số $g\left( x \right) = x$ (Hình 21) và cho biết gốc tọa độ O có là tâm đối xứng của đường thẳng d hãy không.

Lời giải:

a)

Ta có: $f\left( { – x} \right) = {\left( { – x} \right)^2} = {x^2},f\left( x \right) = {x^2} \Rightarrow f\left( { – x} \right) = f\left( x \right)$

Trục đối xứng của (P) là đường thẳng y = 0

b)

Ta có: $g\left( { – x} \right) = – g\left( x \right)$

Gốc tọa độ O là tâm đối xứng của đường thẳng d

Trang 23 toán 11 tập 1

LT – VD 1 trang 23 toán 11 tập 1

a) Chứng tỏ rằng hàm số $g(x) = {x^3}$là hàm số lẻ.

b) Cho ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

Lời giải:

a)

Hàm số $g(x) = {x^3}$

+) Có tập xác định D = R;

+) Với mọi $x \in R$thì $ – x \in R$

Ta có $g( – x) = {\left( { – x} \right)^3} = – {x^3} = – g(x)$

Vậy $g(x) = {x^3}$là hàm số lẻ.

b)

Ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn không là hàm số lẻ là

$f(x) = {x^3} + {x^2}$

HĐ 2 trang 23 toán 11 tập 1

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như Hình 22.

a) Có nhận xét gì về đồ thị hàm số trên mỗi đoạn $\left[ {a;a + T} \right],\left[ {a + T;a + 2T} \right],\left[ {a – T;a} \right]$?

b) Lấy điểm $M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ thuộc đồ thị hàm số với ${x_0} \in \left[ {a;a + T} \right]$. So sánh mỗi giá trị $f\left( {{x_0} + T} \right);f\left( {{x_0} – T} \right)$ với $f\left( {{x_0}} \right)$

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số trên mỗi đoạn là như nhau

b) $f\left( {{x_0} + T} \right) = f\left( {{x_0} – T} \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

LT – VD 2 trang 23 toán 11 tập 1

Cho ví dụ về hàm số tuần hoàn

Lời giải:

Ví dụ về hàm số tuần hoàn là : $g(x) = \left\{ \begin{array}{l}0\,\,\,\,\,\,\,,x \in Q\\1\,\,\,\,\,\,\,\,,x \in R\end{array} \right.$

Trang 24 toán 11 tập 1

HĐ 3 trang 24 toán 11 tập 1

Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left( {OA,OM} \right) = x\left( {rad} \right)$ (Hình 23). Hãy xác định $\sin x$.

Lời giải:

$\sin x = \frac{{OK}}{{OM}}$

HĐ 4 trang 24 toán 11 tập 1

Cho hàm số $y = \sin x$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng Oxy, hãy biểu diễn các điểm $\left( {x;y} \right)$ trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left( {x;\sin x} \right)$ với $x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]$ với nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$(Hình 24).

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn $\left[ { – 3\pi ; – \pi } \right]$, $\left[ {\pi ;3\pi } \right]$,…ta có đồ thị hàm số $y = \sin x$trên R được biểu diễn ở Hình 25.

Lời giải:

a)

b) Trong mặt phẳng Oxy, hãy biểu diễn các điểm $\left( {x;y} \right)$ trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left( {x;\sin x} \right)$ với $x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]$ với nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$(Hình 24).

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn $\left[ { – 3\pi ; – \pi } \right]$, $\left[ {\pi ;3\pi } \right]$,…ta có đồ thị hàm số $y = \sin x$trên R được biểu diễn ở Hình 25.

Trang 25 toán 11 tập 1

HĐ 5 trang 25 toán 11 tập 1

Quan sát đồ thị hàm số $y = \sin x$ ở Hình 25.

a) Nêu tập giá trị của hàm số $y = \sin x$

b) Gốc tọa độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số $y = \sin x$

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài $2\pi $, ta có nhận được đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ {\pi ;3\pi } \right]$ hay không? Hàm số $y = \sin x$có tuần hoàn hay không/

d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \sin x$

Lời giải:

a) Tập giá trị của hàm số$y = \sin x$là $\left[ { – 1;1} \right]$

b) Đồ thị hàm số $y = \sin x$nhận O là tâm đối xứng.

Như vậy hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài $2\pi $, ta nhận được đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ {\pi ;3\pi } \right]$

Như vậy, hàm số $y = \sin x$có tuần hoàn .

d) Hàm số $y = \sin x$đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)$ với $k \in Z$

LT – VD 3 trang 25 toán 11 tập 1

Hàm số $y = \sin x$ đồng biến hay nghịch biến trên khoảng $\left( { – \frac{{7\pi }}{2}; – \frac{{5\pi }}{2}} \right)$

Lời giải:

Do $\left( { – \frac{{7\pi }}{2}; – \frac{{5\pi }}{2}} \right) = \left( {\frac{\pi }{2} – 4\pi ;\frac{{3\pi }}{2} – 4\pi } \right)$ nên hàm số $y = \sin x$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – \frac{{7\pi }}{2}; – \frac{{5\pi }}{2}} \right)$

Trang 26 toán 11 tập 1

HĐ 6 trang 26 toán 11 tập 1

Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left( {OA,OM} \right) = x\left( {rad} \right)$ (Hình 26). Hãy xác định $\cos x$

Lời giải:

$\cos x = \frac{{OH}}{{OM}}$

HĐ 7 trang 26 toán 11 tập 1

Cho hàm số $y = \cos x$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left( {x;\cos x} \right)$ với $x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]$ và nối lại ta được đồ thị hàm

số $y = \cos x$ trên đoạn $x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]$ (Hình 27)

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn $\left[ { – 3\pi ; – \pi } \right]$, $\left[ {\pi ;3\pi } \right]$,…ta có đồ thị hàm số $y = \cos x$trên R được biểu diễn ở Hình 28.

Lời giải:

a)

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left( {x;\cos x} \right)$ với $x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]$ (Hình 27)

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn $\left[ { – 3\pi ; – \pi } \right]$, $\left[ {\pi ;3\pi } \right]$,…ta có đồ thị hàm số $y = \cos x$trên R được biểu diễn ở Hình 28.

Trang 27 toán 11 tập 1

HĐ 8 trang 27 toán 11 tập 1

Quan sát đồ thị $y = \cos x$ ở Hình 28

a) Nêu tập giá trị của hàm số $y = \cos x$

b) Trục tung có là trục đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số $y = \cos x$

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài $2\pi $, ta nhận được đồ thị có hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ {\pi ;3\pi } \right]$ hay không? Hàm số $y = \cos x$ có tuần hoàn hay không?

d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \cos x$

Lời giải:

a) Tập giá trị của hàm số $y = \cos x$là $\left[ { – 1;1} \right]$

b) Trục tung là trục đối xứng của hàm số $y = \cos x$.

Như vậy hàm số $y = \cos x$là hàm số chẵn.

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài $2\pi $, ta nhận được đồ thị có hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ {\pi ;3\pi } \right]$

Như vậy hàm số $y = \cos x$ là hàm số tuần hoàn

d) Hàm số $y = \cos x$đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)$ với $k \in Z$

LT – VD 4 trang 27 toán 11 tập 1

Hàm số $y = \cos x$ đồng biến hay nghịch biến trên khoảng $\left( { – 2\pi ; – \pi } \right)$

Hàm số $y = \cos x$đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)$ với $k \in Z$

Lời giải:

Do $\left( { – 2\pi ; – \pi } \right) = \left( { – 2\pi ;\pi – 2\pi } \right)$ nên hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – 2\pi ; – \pi } \right)$

HĐ 9 trang 27 toán 11 tập 1

Xét tập hợp $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$. Với mỗi số thực $x \in D$, hãy nêu định nghĩa $\tan x$

Lời giải:

$\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}$

Trang 28 toán 11 tập 1

HĐ 10 trang 28 toán 11 tập 1

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; tanx) với $x \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \tan x$ trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ (Hình 29).

c) Làm tương tự như trên đối với các khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right),\left( { – \frac{{3\pi }}{2}; – \frac{\pi }{2}} \right)$,…ta có đồ thị hàm số $y = \tan x$trên D được biểu diễn ở Hình 30.

Lời giải:

a)

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; tanx) với $x \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \tan x$ trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ (Hình 29).

c) Làm tương tự như trên đối với các khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right),\left( { – \frac{{3\pi }}{2}; – \frac{\pi }{2}} \right)$,…ta có đồ thị hàm số $y = \tan x$trên D được biểu diễn ở Hình 30.

HĐ 11 trang 28 toán 11 tập 1

Quan sát đồ thị hàm số $y = \tan x$ ở Hình 30

a) Nêu tập giá trị của hàm số $y = \tan x$

b) Gốc tọa độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số hay không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số $y = \tan x$

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $y = \tan x$ trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta nhận được đồ thị hàm số $y = \tan x$ trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ hay không? Hàm số $y = \tan x$ có tuần hoàn hay không?

d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \tan x$

Lời giải:

a) Tập giá trị của hàm số $y = \tan x$ là R

b) Gốc tọa độ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Như vậy, hàm số $y = \tan x$là hàm số lẻ

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $y = \tan x$ trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta nhận được đồ thị hàm số $y = \tan x$ trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$

Như vậy, hàm số $y = \tan x$ có tuần hoàn

d) Hàm số $y = \tan x$đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)$ với $k \in Z$

Trang 29 toán 11 tập 1

LT – VD 5 trang 29 toán 11 tập 1

Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị hàm số $y = \tan x$trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$

Lời giải:

Theo đồ thì của hàm số $y = \tan x$, số giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị hàm số $y = \tan x$trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ là 1

HĐ 12 trang 29 toán 11 tập 1

Xét tập hợp $E = R\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$. Với mỗi số thực $x \in E$, hãy nêu định nghĩ $\cot x$

Lời giải:

$\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}$

HĐ 13 trang 29 toán 11 tập 1

Cho hàm số $y = \cot x$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; cotx) với $x \in \left( {0;\pi } \right)$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \cot x$ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ (Hình 31)

c) Làm tương tự như trên đối với các khoảng $\left( {\pi ;2\pi } \right),\left( { – \pi ;0} \right),\left( { – 2\pi ; – \pi } \right),….$ta có đồ thị hàm số $y = \cot x$trên E được biểu diễn ở Hình 32.

Lời giải:

a)

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; cotx) với $x \in \left( {0;\pi } \right)$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \cot x$ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ (Hình 31)

c) Làm tương tự như trên đối với các khoảng $\left( {\pi ;2\pi } \right),\left( { – \pi ;0} \right),\left( { – 2\pi ; – \pi } \right),….$ta có đồ thị hàm số $y = \cot x$trên E được biểu diễn ở Hình 32.

Trang 30 toán 11 tập 1

HĐ 14 trang 30 toán 11 tập 1

Quan sát đồ thị hàm số $y = \cot x$ ở Hình 32.

a) Nêu tập giá trị của hàm số $y = \cot x$

b) Gốc tọa độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số $y = \cot x$

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $y = \cot x$ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài $\pi $, ta nhận được $y = \cot x$ trên khoảng $\left( {\pi ;2\pi } \right)$ hay không? Hàm số $y = \cot x$ có tuần hoàn hay không?

d) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \cot x$

Lời giải:

a) Tập giá trị của hàm số $y = \cot x$là R

b) Gốc tọa độ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Hàm số $y = \cot x$là hàm số lẻ

c) Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $y = \cot x$ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài $\pi $, ta nhận được $y = \cot x$ trên khoảng $\left( {\pi ;2\pi } \right)$

Hàm số $y = \cot x$ có tuần hoàn

d) Hàm số $y = \cot x$nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right),k \in Z$

LT – VD 6 trang 30 toán 11 tập 1

Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị hàm số $y = \cot x$trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$

Lời giải:

Theo đồ thì của hàm số $y = \tan x$, số giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị hàm số $y = \cot x$trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ là 1

Trang 31 toán 11 tập 1

Bài 1 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [−2π; 2π] để:

a) Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 1;

b) Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 0;

c) Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng -1;

d) Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng 0.

Bài giải:

a) Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 1

– Vẽ hàm số y = sinx trên đoạn $\left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]$

– Vẽ hàm số y = 1

– Lấy giao điểm của hai hàm số y = sinx và y = 1 là A, B,…

b) Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 0

– Vẽ hàm số y = sinx trên đoạn $\left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]$

– Vẽ hàm số y = 0

– Lấy giao điểm của hai hàm số y = sinx và y = 0 là A, B, C, D, E,…

c) Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng – 1

– Vẽ hàm số y = cosx trên đoạn $\left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]$

– Vẽ hàm số y = – 1

– Lấy giao điểm của hai hàm số y = cosx và y = – 1 là A, B,…

d) Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng 0

– Vẽ hàm số y = cosx trên đoạn $\left[ { – 2\pi ;2\pi } \right]$

– Vẽ hàm số y = 0

– Lấy giao điểm của hai hàm số y = cosx và y = 0 là C, D, E, F,…

Bài 2 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên khoảng (−π; $\frac{3\pi }{2}$) để:

a) Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng -1;

b) Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0;

c) Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 1;

d) Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 0.

Bài giải:

a) Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng – 1

– Vẽ hàm số y = tanx trên khoảng $\left( { – \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$

– Vẽ hàm số y = – 1

– Lấy giao điểm của hai hàm số y = tanx và y = – 1

b) Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0

– Vẽ hàm số y = tanx trên khoảng $\left( { – \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$

– Vẽ hàm số y = 0

– Lấy giao điểm của hai hàm số y = tanx và y = 0

c) Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 1

– Vẽ hàm số y = cotx trên khoảng $\left( { – \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$

– Vẽ hàm số y = 1

– Lấy giao điểm của hai hàm số y = cotx và y = 1

d) Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 0

– Vẽ hàm số y = cotx trên khoảng $\left( { – \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$

– Vẽ hàm số y = 0

– Lấy giao điểm của hai hàm số y = tanx và y = 0

Bài 3 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Xét sự biến thiên của mỗi hàm số sau trên các khoảng tương ứng:

a) y = sinx trên khoảng $(-\frac{9\pi }{2},-\frac{7\pi }{2})$, $(\frac{21\pi }{2},\frac{23\pi }{2})$;

b) y = cosx trên khoảng (−20π;−19π),(−9π;−8π).

Bài giải:

a) y = sinx

– Khoảng $\left( { – \frac{{9\pi }}{2}; – \frac{{7\pi }}{2}} \right)$

+ Vẽ đồ thị hàm số:

+ Đồng biến trên khoảng $\left( { – \frac{{9\pi }}{2}; – 4\pi } \right)$

+ Nghịch biến trên khoảng; $\left( { – 4\pi ; – \frac{{7\pi }}{2}} \right)$

– Khoảng $\left( {\frac{{21\pi }}{2};\frac{{23\pi }}{2}} \right)$

+ Vẽ đồ thị hàm số:

+ Đồng biến trên khoảng: $\left( {11\pi ;\frac{{23\pi }}{2}} \right)$

+ Nghịch biến trên khoảng: $\left( {\frac{{21\pi }}{2};11\pi } \right)$

b) Xét hàm số $y = \cos x$:

Do $\left( { – 20\pi ; – 19\pi } \right) = \left( {0 – 20\pi ;\pi – 20\pi } \right)$nên hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên khoảng $\left( { – 20\pi ; – 19\pi } \right)$

Do $\left( { – 9\pi ; – 8\pi } \right) = \left( { – \pi – 8\pi ;0 – 8\pi } \right)$ nên hàm số $y = \cos x$ đồng biến trên khoảng $\left( { – 9\pi ; – 8\pi } \right)$

Bài 4 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Dùng đồ thị hàm số, hãy cho biết:

a) Với mỗi m∈[−1;1], có bao nhiêu giá trị α∈[$-\frac{\pi }{2}$; $\frac{\pi }{2}$] sao cho sinα = m;

b) Với mỗi m∈[−1;1], có bao nhiêu giá trị α∈[0,π] sao cho cosα = m;

c) Với mỗi m∈R, có bao nhiêu giá trị α∈[$-\frac{\pi }{2}$; $\frac{\pi }{2}$] sao cho tanα = m;

d) Với mỗi m∈R, có bao nhiêu giá trị α∈[0,π] sao cho cotα = m.

Bài giải:

a) Đồ thị hàm số:

– Với mỗi $m \in \left[ { – 1;1} \right]$ chỉ có 1 giá trị $\alpha \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ sao cho $\sin \alpha = m$

b) Đồ thị hàm số:

– Với mỗi $m \in \left[ { – 1;1} \right]$ có 1 giá trị $\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]$ sao cho $\cos \alpha = m$

c) Đồ thị hàm số:

– Với mỗi $m \in \mathbb{R}$, có 2 giá trị $\alpha \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ sao cho $\tan \alpha = m$

d) Đồ thị hàm số:

– Với mỗi $m \in \mathbb{R}$, có 2 giá trị $\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]$ sao cho $\cot \alpha = m$

Bài 5 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:

a) y = sinxcosx;

b) y = tanx + cotx;

c) y = sin²x.

Bài giải:

a) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}f\left( { – x} \right) = \sin \left( { – x} \right).\cos \left( { – x} \right) = – \sin x.\cos x\\f\left( x \right) = \sin x.\cos x\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( { – x} \right) = – f\left( x \right)$

ð Hàm số $y = \sin x\cos x$ là hàm số lẻ

b) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}f\left( { – x} \right) = \tan \left( { – x} \right) + \cot \left( { – x} \right) = – \tan x – \cot x\\f\left( x \right) = \tan x + \cot x\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( { – x} \right) = – f\left( x \right)$

ð Hàm số $y = \tan x + \cot x$ là hàm số lẻ

c) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}f\left( { – x} \right) = {\sin ^2}\left( { – x} \right) = {\left( { – \sin \left( x \right)} \right)^2} = {\sin ^2}x\\f\left( x \right) = {\sin ^2}x\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( { – x} \right) = f\left( x \right)$

ð Hàm số $y = {\sin ^2}x$ là hàm số chẵn

Bài 6 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều:

Một dao động điều hòa có phương trình li độ dao động là: x = Acos(ωt+φ), trong đó t là thời gian tính bằng giây, A là biên độ dao động và x là li độ dao động đều được tính bằng centimét. Khi đó, chu kì T của dao động là T=2πω. Xác định giá trị của li độ khi t=0,t=T4,t=T2,t=3T4,t=T và vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa trên đoạn [0;2T] trong trường hợp:

a) A = 3cm, φ = 0;

b) A = 3cm, φ = $-\frac{\pi }{2}$;

c) A = 3cm, φ = $\frac{\pi }{2}$.

Bài giải:

Ta có

$\begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow \omega t = 0\\t = \frac{T}{4} \Rightarrow \omega t = \omega .\frac{{\frac{{2\pi }}{\omega }}}{4} = \frac{\pi }{2}\\t = \frac{T}{2} \Rightarrow \omega t = \omega .\frac{{\frac{{2\pi }}{\omega }}}{2} = \pi \\t = \frac{{3T}}{4} \Rightarrow \omega t = \omega .\frac{{3.\frac{{2\pi }}{\omega }}}{4} = \frac{{3\pi }}{2}\\t = T \Rightarrow \omega t = \omega .\frac{{2\pi }}{\omega } = 2\pi \end{array}$

a) $A = 3cm,\varphi = 0$

+) Với t=0 thì $x = 3\cos \left( {\omega .0 + 0} \right) = 3$

+) Với $t = \frac{T}{4}$thì $x = 3\cos \left( {\frac{\pi }{2} + 0} \right) = 0$

+) Với $t = \frac{T}{2}$thì $x = 3\cos \left( {\pi + 0} \right) = – 3$

+)Với $t = \frac{{3T}}{4}$thì $x = 3\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + 0} \right) = 0$

+Với $t = T$thì $x = 3\cos \left( {2\pi + 0} \right) = 3$

b) $A = 3cm,\varphi = – \frac{\pi }{2}$

+) Với t=0 thì $x = 3\cos \left( {0 – \frac{\pi }{2}} \right) = 0$

+) Với $t = \frac{T}{4}$thì $x = 3\cos \left( {\frac{\pi }{2} – \frac{\pi }{2}} \right) = 3$

+) Với $t = \frac{T}{2}$thì $x = 3\cos \left( {\pi – \frac{\pi }{2}} \right) = 0$

+)Với $t = \frac{{3T}}{4}$thì $x = 3\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} – \frac{\pi }{2}} \right) = 3$

+Với $t = T$thì $x = 3\cos \left( {2\pi – \frac{\pi }{2}} \right) = 0$

c) $A = 3cm,\varphi = \frac{\pi }{2}$

+) Với t=0 thì $x = 3\cos \left( {0 + \frac{\pi }{2}} \right) = 0$

+) Với $t = \frac{T}{4}$thì $x = 3\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right) = 3$

+) Với $t = \frac{T}{2}$thì $x = 3\cos \left( {\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = 0$

+)Với $t = \frac{{3T}}{4}$thì $x = 3\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + \frac{\pi }{2}} \right) = 3$

+Với $t = T$thì $x = 3\cos \left( {2\pi + \frac{\pi }{2}} \right) = 0$

Bài 7 trang 31 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Trong bài toán mở đầu, hãy chỉ ra một số giá trị của $x$ để ống đựng nước cách mặt nước 2m.

Bài giải:

Để ông đựng nước cách mặt nước 2m thì $h = \left| y \right| = 2$

Hay $\left| {2,5.\sin \left( {2\pi x – \frac{\pi }{2}} \right) + 2} \right| = 2$

Suy ra $2,5.\sin \left( {2\pi x – \frac{\pi }{2}} \right) + 2 = 2$ hoặc $2,5.\sin \left( {2\pi x – \frac{\pi }{2}} \right) + 2 = – 2$

*) $2,5.\sin \left( {2\pi x – \frac{\pi }{2}} \right) + 2 = 2\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2\pi x – \frac{\pi }{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\pi x – \frac{\pi }{2} = k\pi ,k \in Z\\ \Leftrightarrow 2x – \frac{1}{2} = k,k \in Z\\ \Leftrightarrow x = \frac{{2k + 1}}{4},k \in Z\\ \Leftrightarrow x \in \left\{ {….; – \frac{1}{4};\frac{1}{4};\frac{3}{4};….} \right\}$

*)$2,5.\sin \left( {2\pi x – \frac{\pi }{2}} \right) + 2 = – 2\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2\pi x – \frac{\pi }{2}} \right) = – 1,6\, < – 1$

Vì tập giá trị của hàm số sin là $\left[ { – 1;1} \right]$ nên trong trường hợp này phương trình vô nghiệm.