Toán 11 tập 1 trang 47 Bài 1: Dãy số

Giải toán 11 tập 1 trang 47 Bài 1 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng Bài trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 43 toán 11 tập 1

HĐ 1 trang 43 toán 11 tập 1

Một vật chuyển động đều với vận tốc 20m/s. Hãy viết các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang.

Lời giải:

Các số chỉ quãng đường vật chuyển động được lần lượt: 20, 40, 60, 80, 100

Trang 44 toán 11 tập 1

LT – VD 1 trang 44 toán 11 tập 1

Hàm số $u(n) = n^3$ xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; 4; 5} là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển.

Lời giải:

Số hạng đầu của khai triển là $u_{1} = u(1) = 1^3 = 1$.

Số hạng cuối của khai triển là $u_{5} = u(5) = 5^3 = 125$.

Dãy số được viết dưới dạng khai triển là: 1; 8; 27; 64; 125.

HĐ 2 trang 44 toán 11 tập 1

Cho hàm số $u\left( n \right) = \frac{1}{n},\,n \in \mathbb{N}*$. Hãy viết các số ${u_1},{u_2},…,{u_n},…$ theo hàng ngang

Lời giải:

$\frac{1}{{{n_1}}};\frac{1}{{{n_2}}};…;\frac{1}{{{n_n}}};…$$$

LT – VD 2 trang 44 toán 11 tập 1

Cho dãy số $(u_n) = n^2$.

a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$.

b) Viết dạng khai triển của dãy số $(u_n)$.

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: $u­_1 = 1^2 = 1; u_2 = 2^2 = 4; u_3 = 3^2 = 9; u_4 = 4^2 = 16, u_5 = 5^2 = 25$.

Số hạng tổng quát của dãy số un là $u_n = n^2$ với n ∈ ℕ.

b) Dạng khai triển của dãy số $u_1 = 1; u_2 = 4; u_3 = 9; u_4 = 16, u_5 = 25, …, u_n = n^2, …$

Trang 45 toán 11 tập 1

HĐ 3 trang 45 toán 11 tập 1

• Dãy số: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 (1)
• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định bởi: Với mỗi số tự nhiên $n \ge 1,{u_n}$ là số thập phân hữu hạn có phần số nguyên là 1 và phần thập phân là n chữ số thập phân đầu tiên đứng sau “,” của số $\sqrt 2 $. Cụ thể là:

${u_1} = 1,4;{u_2} = 1,41;{u_3} = 1,414;{u_4} = 1,4142;{u_5} = 1,41421;…\left( 2 \right)$

• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {\left( { – 2} \right)^n}$ (3)
• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định bởi: ${u_1} = 1$ và ${u_n} = {u_{n – 1}} + 2$ với mọi $n \ge 2\,\,\left( 4 \right)$

a) Hãy nêu cách xác định mỗi số hạng của lần lượt các dãy số (1), (2), (3), (4)

b) Từ đó hãy cho biết dãy số có thể cho bằng những cách nào.

Lời giải:

a) Cách xác định mỗi số hạng của dãy số:

(1) : Liệt kê

(2) : Nêu cách xác định của mỗi số hạng trong dãy số

(3) : Nêu số hạng tổng quát

(4) : Truy hồi

b) Dãy số có thể cho bằng những cách sau:

– Liệt kê số hạng của dãy số

– Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số

– Cho công thức của số hạng tổng quát

– Truy hồi

Trang 46 toán 11 tập 1

LT – VD 3 trang 46 toán 11 tập 1

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{n-3}{3n+1}$ . Tìm $u_{33}, u_{333}$ và viết dãy số dưới dạng khai triển.

Lời giải:

Ta có: $u_{33}=\frac{33-3}{3.33+1}=\frac{30}{100} = 0,3$ ;

$u_{333}=\frac{333-3}{3.333+1}=\frac{330}{1000} = 0,33$.

Dãy số dưới dạng khai triển là:

$u_1=−\frac{1}{2}; u_2=−\frac{1}{7};u_3=0,u_4=\frac{1}{13};…;u_n=\frac{n−3}{3.n+1};…$

HĐ 4 trang 46 toán 11 tập 1

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {n^2}$. Tính ${u_{n + 1}}$. Từ đó hãy so sánh ${u_{n + 1}}$ và ${u_n}$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$

Lời giải:

Xét ${u_{n + 1}} – {u_n} = {n^2} + 2n + 1 – {n^2} = 2n + 1$

Do $n \in \mathbb{N}* \Rightarrow 2n + 1 > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$

LT – VD 4 trang 46 toán 11 tập 1

Chứng minh rằng dãy số $(v_n)$ với $v_n = \frac{1}{3^x}$ là một dãy số giảm.

Lời giải:

Ta có: $v_{n+1}=\frac{1}{3^{n+1}}$

Xét hiệu $v_{n+1}-v_n=\frac{1}{3^{n+1}}-\frac{1}{3^n}=-\frac{2}{3}.\frac{1}{3^n} < 0$

Suy ra $v_{n+1} < v_n$.

Vậy dãy số giảm.

Trang 47 toán 11 tập 1

HĐ 5 trang 47 toán 11 tập 1

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 1 + \frac{1}{n}$. Khẳng định ${u_n} \le 2$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$ có đúng không?

Lời giải:

$\begin{array}{l}{u_n} \le 2 \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{n} \le 2\\ \Leftrightarrow \frac{{n + 1}}{n} – 2 \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{n + 1 – 2n}}{n} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ – n + 1}}{n} \le 0\\Do\,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}$

Khẳng định trên là đúng

LT – VD 5 trang 47 toán 11 tập 1

Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{n^2+1}{2n^2+4}$ là bị chặn.

Lời giải:

Ta có: $u_n = \frac{n^2+1}{2n^2+4} < \frac{1}{2}.\frac{n^2+1}{n^2+2} < \frac{1}{2}.(1- \frac{1}{n^2+2}) < \frac{1}{2}$.

Ta lại có: $u_n = \frac{n^2+1}{2n^2+4} > 0$

Do đó $0 < u_n < \frac{1}{2}$.

Vì vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn.

Bài 1 trang 47 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát $u_{n}$ cho bởi công thức sau:

a) $u_{n}=2n^{2}+1$;

b) $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2n-1}$;

c) $u_{n}=\frac{2^{n}}{n}$;

d) $u_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$.

Bài giải:

a) $3, 9, 19, 33, 51$;

b) $-1; \frac{1}{3}; -\frac{1}{5}; \frac{1}{7}; -\frac{1}{9}$;

c) $2;2;\frac{8}{3}; 4; \frac{32}{5}$;

d) $2;\frac{9}{4}; \frac{64}{27}; \frac{625}{256}; (\frac{6}{5})^{5}$.

Bài 2 trang 47 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

a) Gọi $u_{n}$ là số chấm ở hàng thứ $n$ trong Hình 1. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số $(u_{n})$.

b) Gọi $v_{n}$ là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ $n$ trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số $(v_{n})$.

Bài giải:

a) Ta có: ${u_1} = 1,{u_2} = 2,{u_3} = 3$

Dự đoán ${u_n} = n$

b) Ta có: $\begin{array}{l}{v_1} = 1\\{v_2} = 8 = {2^3}\\{v_3} = 27 = {3^3}\\{v_4} = 64 = {4^3}\end{array}$

Dự đoán: ${v_n} = {n^3}$

Trang 48 toán 11 tập 1

Bài 3 trang 48 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số ($u_{n}$), biết:

a) $u_{n}=\frac{n-3}{n+2}$;

b) $u_{n}=\frac{3^{n}}{2^{n}.n!}$;

c) $u_{n}=(-1)^{n}.(2^{n}+1)$.

Bài giải:

a) Xét:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{n + 1 – 3}}{{n + 1 + 2}} – \frac{{n – 3}}{{n + 2}}\\ = \frac{{n – 2}}{{n + 3}} – \frac{{n – 3}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} – 4 – {n^2} + 9}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}$

=> Dãy số là dãy số tăng

b) Xét:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} – \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{{2.2}^n}.n!.\left( {n + 1} \right)}} – \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} – \frac{{{3^n}.2\left( {n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}}\\ = \frac{{{3^n}\left( {3 – 2n – 2} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{{3^n}\left( { – 2n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} < 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}$

=> Dãy số là dãy số giảm

c) Xét:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} – {u_n} = {\left( { – 1} \right)^{n + 1}}.\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) – {\left( { – 1} \right)^n}.\left( {{2^n} + 1} \right)\\ = {\left( { – 1} \right)^n}\left[ {\left( { – 1} \right).\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) – {2^n} – 1} \right]\\ = {\left( { – 1} \right)^n}\left( { – {2^{n + 1}} – 1 – {2^n} – 1} \right)\\ = {\left( { – 1} \right)^n}\left( { – {{3.2}^n} – 2} \right)\end{array}$

=> Dãy số không tăng không giảm

Bài 4 trang 48 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Trong các dãy số ($u_{n}$) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) $u_{n}= n^{2}+2$;

b) $u_{n}=-2n+1$;

c) $u_{n}=\frac{1}{n^{2}+n}$.

Bài giải:

a) Vì $n^{2}+2\geq 3$ nên dãy số $u_{n}$ là dãy số bị chặn dưới;

b) Vì $-2n+1\leq -1$ nên dãy số $u_{n}$ là dãy số bị chặn trên;

c) Vì $0< \frac{1}{n^{2}+n}\leq \frac{1}{2}$ nên dãy số $u_{n}$ là dãy số bị chặn.

Bài 5 trang 48 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho dãy số thực dương ($u_{n}$). Chứng minh rằng dãy số ($u_{n}$) là dãy số tăng khi và chỉ khi $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}> 1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.

Bài giải:

Vì $u_{n}> 0$ nên nhân $u_{n}$ vào hai vế của bất đẳng thức $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}> 1$, ta có: $u_{n+1}> u_{n}$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.

Suy ra: Dãy số ($u_{n}$) là dãy số tăng khi và chỉ khi $\frac{u_{n}+1}{u_{n}}> 1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$.

Bài 6 trang 48 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi $P_{n}$ (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau $n$ tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.

c) Dự đoán công thức của $P_{n}$ tính theo $n$.

Bài giải:

a) Sau 1 tháng, chị Mai có: $100(1+0,005)$ (triệu đồng)

b) Sau 3 tháng, chị Mai có: $100(1+0,005)^{3}+6(1+0,005)^{2}$ (triệu đồng)

c) Dự đoán công thức: $P_{n}=100(1+0,005)^{n}+6(1+0,005)^{n-1}$ (triệu đồng).