Toán 11 tập 1 trang 52 Bài 2: Cấp số cộng

Giải toán 11 tập 1 trang 52 Bài 2 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng Bài trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 49 toán 11 tập 1

Hoạt động 1 trang 49 toán 11 tập 1

Cho dãy số $ – 2;3;8;13;18;23;28$

Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.

Lời giải:

Số hạng thứ hai = Số hạng thứ nhất + 5

Số hạng thứ ba = Số hạng thứ hai + 5

Số hạng thứ tư = Số hạng thứ ba + 5

…

Số hạng thứ bảy = Số hạng thứ sáu + 5

Số hạng đứng sau = Số hạng đứng trước + 5

Luyện tập – vận dụng 1 trang 49 toán 11 tập 1

Cho (u_n) là cấp số cộng ${u_1}\; = {\rm{ }}-{\rm{ }}7,{\rm{ }}{u_2}\; = {\rm{ }}-{\rm{ }}2.$ Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó.

Lời giải:

Công sai của cấp số cộng đã cho là: $d{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_2}\;-{\rm{ }}{u_1}\; = {\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {-{\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}5.$

Khi đó:

$u_3 = -7+ (3-1).5=3$

$u_4 = -7+ (4-1).5=8$

$u_5 = -7+ (5-1).5=13$

Vậy 5 số hạng đầu của cấp số cộng là: -7, -2, 3, 8, 13.

Trang 50 toán 11 tập 1

Luyện tập – vận dụng 2 trang 50 toán 11 tập 1

Cho dãy số (un) với ${u_n} = – 5n + 7(n \ge 1).$Dãy (${u_n}$) có là cấp số cộng không? Vì sao?

Lời giải:

Ta có: $u_n+1= – 5(n +1)+ 7=-5n+2$

Do đó, $u_n+1 – u_n = -5n+2-( – 5n + 7)=-5=d$

=> $({u_n})$ là cấp số cộng

HĐ 2 trang 50 toán 11 tập 1

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$, công sai d

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng theo ${u_1}$ và $d$

b) Dự đoán công thức tính ${u_n}$ theo ${u_1}$ và $d$

Lời giải:

a) Số hạng thứ nhất: ${u_1}$

Số hạng thứ hai: ${u_2} = {u_1} + d$

Số hạng thứ ba: ${u_3} = {u_2} + d = {u_1} + d + d = {u_1} + 2d$

Số hạng thứ tư: ${u_4} = {u_3} + d = {u_1} + 2d + d = {u_1} + 3d$

Số hạng thứ năm: ${u_5} = {u_4} + d = {u_1} + 3d + d = {u_1} + 4d$

b) Dự đoán công thức tính ${u_n}$: ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$

LT – VD 3 trang 50 toán 11 tập 1

Hãy giải bài toán trong phần mở đầu

Ruộng bậc thang là một hình thức canh tác có nhiều ở khu vực Tây Bắc và Đông Bắc Việt Nam. Hình ảnh ruộng bậc thang thể hiện nét đẹp văn hóa, là công trình nghệ thuật độc đáo của đồng bào vùng cao phía Bắc. Ruộng bậc thang ở một số nơi đã trở thành những địa chỉ tham quan du lịch đầy hấp dẫn của du khách trong nước và quốc tế.

Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao 1 250 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới là 1,2m.

Hỏi thửa ruộng bậc thứ 10 có độ cao là bao nhiêu so với mực nước biển?

Lời giải:

Độ cao các thửa ruộng so với mực nước biển tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1 250 m và công sai d = 1,2 (m).

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: $u_n = u_1 + (n – 1).d = 1 250 + (n – 1).1,2$.

Vậy độ cao của thửa ruộng thứ 10 so với mực nước biển là:

$u_10 = 1 250 + (10 – 1).1,2 = 1 260,8 m$.

HĐ 3 trang 50 toán 11 tập 1

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$, công sai d

a) So sánh các tổng sau: ${u_1} + {u_n};\,{u_2} + {u_{n – 1}};…;{u_n} + {u_1}$

b) Đặt ${S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + … + {u_n}$. So sánh $n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)$ với $2{S_n}$

Lời giải:

a) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}{u_1} + {u_n} = {u_1} + {u_1} + \left( {n – 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d\\{u_2} + {u_{n – 1}} = {u_1} + d + \left( {n – 2} \right)d = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\\{u_n} + {u_1} = {u_1} + {u_1} + \left( {n – 1} \right)d = 2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d\end{array} \right\} \Rightarrow {u_1} + {u_n} = {u_2} + {u_{n – 1}} = … = {u_n} + {u_1}$

b) Dựa vào công thức vừa chứng minh ta có: $n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)$ = $2{S_n}$

Trang 51 toán 11 tập 1

LT – VD 4 trang 51 toán 11 tập 1

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau:

a) 3; 1; – 1; … với n = 10;

b) 1,2; 1,7; 2,2; … với n = 15.

Lời giải:

a) Ta có: 3; 1; – 1; … là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1 = 3$ và công sai d = 1 – 3 = – 2.

Khi đó $u_{10} = 3 + (10 – 1).(– 2) = 3 + (– 18) = – 15$.

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là:

$S_{10}= \frac{10(3+(-15))}{2}=-60$

b) 1,2; 1,7; 2,2; … với n = 15.

Ta có: 1,2; 1,7; 2,2; … là cấp số cộng với số hạng ban đầu $u_1 = 1,2$ và công sai d = 1,7 – 1,2 = 0,5.

Khi đó $u_{15} = 1,2 + (15 – 1).0,5 = 8,2$.

Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng là:

$S_{15}=\frac{15(1,2+8,2)}{2}=70,5$.

Bài 1 trang 51 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao?

a) $10, -2, -14, -26, -38$;

b) $\frac{1}{2}, \frac{5}{4}, 2, \frac{11}{4}, \frac{7}{2}$;

c) $1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, 4^{2}, 5^{2}$;

d) $1, 4, 7, 10, 13$.

Bài giải:

a) Dãy số là cấp số cộng vì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với -12. Công sai của cấp số cộng này là -12.

b) Dãy số là cấp số cộng vì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với $\frac{3}{4}$. Công sai của cấp số cộng này là $\frac{3}{4}$.

c) Dãy số không phải là cấp số cộng vì $u_{2}-u_{1}\neq u_{3}-u_{2}$.

d) Dãy số là cấp số cộng vì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 3. Công sai của cấp số cộng này là 3.

Trang 52 toán 11 tập 1

Bài 2 trang 52 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Trong các dãy số ($u_{n}$) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai $d$.

a) $u_{n}=3-2n$;

b) $u_{n}=\frac{3n+7}{5}$;

c) $u_{n}=3^{n}$.

Bài giải:

a) Dãy số là cấp số cộng với $u_{1}=1, d=-2$.

b) Dãy số là cấp số cộng với $u_{1}=2, d=\frac{3}{5}$.

c) Dãy số không phải là cấp số cộng.

Bài 3 trang 52 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có số hạng đầu $u_{1}=-3$, công sai $d=5$.

a) Viết công thức của số hạng tổng quát $u_{n}$.

b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?

Bài giải:

a) Số hạng tổng quát $u_{n}=5n-8$

b) Ta có: $5n – 8 = 492 \Rightarrow n=100$. Suy ra, số 492 là số hạng thứ 100.

c) Số 300 không phải là số hạng của cấp số cộng trên.

Bài 4 trang 52 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho cấp số cộng ($u_{n}$) có $u_{1}=4, u_{2}=1$. Tính $u_{10}$.

Bài giải:

Ta có: $d=1-4=-3$ nên $u_{10}=4+(10-1).(-3)=-23$.

Bài 5 trang 52 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho cấp số cộng ($u_{n}$) với $u_{1}=\frac{1}{3}$ và $u_{1}+u_{2}+u_{3}=-1$.

a) Tìm công sai $d$ và viết công thức của số hạng tổng quát $u_{n}$.

b) Số $-67$ là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Số $7$ có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

Bài giải:

a) Ta có: $u_{1}+u_{2}+u_{3}=-1 \Leftrightarrow u_{1}+u_{1}+(2-1)d+u_{1}+(3-1)d=-1\Leftrightarrow 3u_{1}+3d=-1$

$\Leftrightarrow d=-\frac{2}{3}$.

Số hạng tổng quát: $u_{n}=\frac{1}{3}+(n-1)(-\frac{2}{3})=1-\frac{2}{3}n$.

b) Ta có: $1-\frac{2}{3}n=-67\Leftrightarrow n=102$. Do đó, số -67 là số hạng thứ 102 của cấp số cộng trên.

c) Số 7 không phải là số hạng của cấp số cộng trên.

 Bài 6 trang 52 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số ($u_{n}$) với $u_{n}=0,3n+5$ với mọi $n\geq 1$.

Bài giải:

Ta có: $n=100$.

Suy ra: $S_{100}=\frac{(u_{1}+u_{100}).100}{2}=\frac{(5,3+35).100}{2}=2015$.

Bài 7 trang 52 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ $n$ tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: $x_{n}=75+5(n-1)$.

a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét?

b) Dãy số ($x_{n}$) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?

Bài giải:

a) Vì $n=3$ nên $x_{3}=75+5(3-1)=85$. Vậy một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao là 85 centimét vào năm 3 tuổi.

b) Dãy số ($x_{n}$) có là một cấp số cộng. Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên 5 centimét.

Bài 8 trang 52 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu.

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu.

Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:

a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?

b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Bài giải:

a) Ta có: 3 năm = 12 quý

Phương án 1: $u_{3}=156\Rightarrow S_{3}=414$

Phương án 2: $u_{12}=43,8 \Rightarrow S_{12}=406,8$

Suy ra, chọn phương án 1.

b) Ta có: 10 năm = 40 quý

Phương án 1: $u_{10}=282\Rightarrow S_{10}=2010$

Phương án 2: $u_{40}=94,2\Rightarrow S_{40}=2364$

Suy ra, chọn phương án 2.