Toán 11 tập 1 trang 77 Bài 3: Hàm số liên tục

Giải toán 11 tập 1 trang 77 Bài 3 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng Bài trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 73 toán 11 tập 1

HĐ 1 trang 73 toán 11 tập 1

Quan sát đồ thị hàm số $f\left( x \right) = x$ ở Hình 11.

a) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).$

b) So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ với $f\left( 1 \right).$

Lời giải:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x = 1$

b) $f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).$

Trang 74 toán 11 tập 1

LT – VD 1 trang 74 toán 11 tập 1

Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + 1$ tại ${x_0} = 1.$

Lời giải:

Ta có $f\left( {{x_0}} \right) = f\left( 1 \right) = {1^3} + 1 = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^3} + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {x^3} + 1 = 1 + 1 = 2$

$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} = 1.$

HĐ 2 trang 74 toán 11 tập 1

Cho hàm số $f\left( x \right) = x + 1$ với $x \in \mathbb{R}.$

a) Giả sử ${x_0} \in \mathbb{R}.$ Hàm số $f\left( x \right)$ có liên tục tại điểm ${x_0}$ hay không?

b) Quan sát đồ thị hàm số $f\left( x \right) = x + 1$ với $x \in \mathbb{R}$ (Hình 13), nếu nhận xét về đặc điểm của đồ thị hàm số đó.

Lời giải:

a) Ta có $f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x + 1 = {x_0} + 1$

$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0}.$

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số là một đường thẳng liền mạch với mọi giá trị $x \in \mathbb{R}.$

LT – VD 2 trang 74 toán 11 tập 1

Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x – 1,\,\,x < 2\\ – x,\,\,x \ge 2\end{array} \right.$ có liên tục trên $\mathbb{R}$ hay không?

Lời giải:

+) Với mỗi ${x_0} \in \left( { – \infty ;2} \right)$ có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x – 1} \right) = {x_0} – 1 = f\left( {{x_0}} \right)$

Do đó hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} \in \left( { – \infty ;2} \right).$

+) Với mỗi ${x_0} \in \left( {2; + \infty } \right)$ có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { – x} \right) = – {x_0} = f\left( {{x_0}} \right)$

Do đó hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại ${x_0} \in \left( {2; + \infty } \right).$

+) Với mỗi ${x_0} = 2$ có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( {x – 1} \right) = 2 – 1 = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { – x} \right) = – 2$

$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ do đó không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right).$

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ gián đoạn tại ${x_0} = 2$ nên hàm số $f\left( x \right)$ không liên tục trên $\mathbb{R}.$

Trang 75 toán 11 tập 1

Hoạt động 3 trang 75 toán 11 tập 1

Quan sát đồ thị các hàm số: $y = {x^2} – 4x + 3$ (Hình 14a);

$y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\,\,\left( {x \ne 1} \right)$ (Hình 14b);

$y = \tan x$ (Hình 14c).

Và nêu nhận xét về tính liên tục của mỗi hàm số đó trên từng khoảng của tập xác định.

Lời giải:

Hình 14a đồ thị là đường cong Parabol liền mạch nên hàm số liên tục trên toàn bộ trên khoảng xác định.

Hình 14b đồ thị bị chia làm hai nhánh:

– Với x < 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên liên tục.

– Với x > 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên liên tục.

Vậy hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.

Hình 14c đồ thị hàm số y = tanx chia thành nhiều nhánh, và mỗi nhánh là các đường cong liền. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng xác định của chúng.

Trang 76 toán 11 tập 1

Luyện tập, vận dụng 3 trang 76 toán 11 tập 1

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x – 8}}$ có liên tục trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ;8} \right),\left( {8; + \infty } \right)$ hay không?

Lời giải:

Do $f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x – 8}}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định khi $x \ne 8$ nên hàm số đó liên tục trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ;8} \right),\left( {8; + \infty } \right)$

Hoạt động 4 trang 76 toán 11 tập 1

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + x$ và $g\left( x \right) = {x^2} + 1\,\,\left( {x \in \mathbb{R}} \right).$ Hãy cho biết:

a) Hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ có liên tục tại $x = 2$ hay không.

b) Các hàm số $f\left( x \right) + g\left( x \right);f\left( x \right) – g\left( x \right);f\left( x \right).g\left( x \right);\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ có liên tục tại $x = 2$ hay không.

Lời giải:

a) Ta có $f\left( x \right),g\left( x \right)$ là các hàm đa thức nên các hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Vậy các hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ liên tục tại $x = 2$

b) $\begin{array}{l}f\left( x \right) + g\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + x + 1\\f\left( x \right) – g\left( x \right) = {x^3} – {x^2} + x – 1\\f\left( x \right).g\left( x \right) = \left( {{x^3} + x} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = {x^5} + 2{x^3} + x\\\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = x\end{array}$

Ta có $f\left( x \right) + g\left( x \right);f\left( x \right) – g\left( x \right);f\left( x \right).g\left( x \right);\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ là các hàm đa thức nên các hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Vậy các hàm số $f\left( x \right) + g\left( x \right);f\left( x \right) – g\left( x \right);f\left( x \right).g\left( x \right);\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ liên tục tại $x = 2$

Luyện tập, vận dụng 4 trang 76 toán 11 tập 1

Xét tính liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos x$ trên $\mathbb{R}.$

Lời giải:

Vì hai làm lượng giác $y = \sin x,y = \cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$

$ \Rightarrow f\left( x \right) = \sin x + \cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$

Trang 77 toán 11 tập 1

Bài 1 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số $f(x)=2x^{3}+x+1$ tại điểm $x=2$.

Bài giải:

Tập xác định: $\mathbb{R}$

Ta có: $f(2)=2.2^{3}+2+1=19$

$\lim_{x\rightarrow 2} f(x)=19$

Do đó: $\lim_{x\rightarrow 2} f(x)=f(2)$

Vậy hàm số đã cho liên tục tại $x=2$.

Bài 2 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a, 15b, 15c, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích.

Bài giải:

a) $f(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) TXĐ: $\mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}$

Do hàm số $g(x)$ là hàm phân thức hữu tỉ nên hàm số liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty,1)$ và $(1,+\infty)$.

c) Ta có: $\lim_{x\rightarrow -1^{-}} h(x)=\lim_{x\rightarrow -1^{-}}(-2x)=2$

$\lim_{x\rightarrow -1^{+}} h(x)=\lim_{x\rightarrow -1^{+}}(x+1)=0$

$h(-1)=-1+1=0$

Do đó: $\lim_{x\rightarrow -1^{-}} h(x)\neq \lim_{x\rightarrow -1^{+}} h(x)=h(-1)$

Vậy hàm số $h(x)$ không liên tục tại $x=-1$.

Bài 3 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Bạn Nam cho rằng: “Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục tại điểm $x_{0}$, còn hàm số $y=g(x)$ không liên tục tại $x_{0}$, thì hàm số $y=f(x)+g(x)$ không liên tục tại $x_{0}$”. Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích.

Bài giải:

Ý kiến đúng.

Giả sử $y=f(x)+g(x)$ liên tục tại $x_{0}$.

Đặt $h(x)=f(x)+g(x)$. Ta có: $g(x)=h(x)-f(x)$

Vì $y=h(x), y=f(x)$ liên tục tại $x_{0}$ nên hiệu của chúng là hàm số $y=g(x)$ phải liên tục tại $x_{0}$.

Điều này trái với đề bài nên do đó ý kiến của Nam là đúng.

Bài 4 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó:

a) $f(x)=x^{2}+\sin x$;

b) $g(x)=x^{4}-x^{2}+\frac{6}{x-1}$;

c) $h(x)=\frac{2x}{x-3}+\frac{x-1}{x+4}$.

Bài giải:

a) Ta có: $y=x^{2}$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

$y=\sin x$ là hàm lượng giác nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Do đó: Hàm số $f(x)=x^{2}+\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) TXĐ: $\mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}$

Ta có: $y=x^{4}-x^{2}$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Do đó: Hàm số $g(x)=x^{4}-x^{2}+\frac{6}{x-1}$ liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty,1)$ và $(1,+\infty)$.

c) TXĐ: $\mathbb{R}\setminus \left \{ 3;-4 \right \}$

Hàm số $h(x)=\frac{2x}{x-3}+\frac{x-1}{x+4}$ liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty,-4)$, $(-4,3)$ và $(3,+\infty)$.

Bài 5 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho hàm số.

a) Với $a=0$, xét tính liên tục của hàm số tại $x=4$.

b) Với giá trị nào của $a$ thì hàm số liên tục tại $x=4$?

c) Với giá trị nào của $a$ thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó?

Bài giải:

a) Ta có: a=0 thì

Có: $f(4)=1$

$\lim_{x\rightarrow 4} f(x)=4^{2}+4+1=21$

Do đó: $\lim_{x\rightarrow 4} f(x)\neq f(4)$

Vậy hàm số không liên tục tại $x=4$.

b) Ta có: $f(4)=2a+1$

$\lim_{x\rightarrow 4} f(x)=4^{2}+4+1=21$

Để hàm số liên tục tại $x=4$ thì: $2a+1=21\Leftrightarrow a=10$.

Vậy $a=10$ thì hàm số liên tục tại $x=4$.

c) TXĐ: $\mathbb{R}$

Do $f(x)=x^{2}+x+1$ nếu $x\neq 4$ nên hàm số liên tục trên mỗi khoảng $(-\infty,4)$ và $(4,+\infty)$.

Nếu $a=10$ thì hàm số liên tại điểm $x=4$.

Do đó khi $a=10$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Bài 6 trang 77 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Hình 16 biểu thị độ cao $h$ (m) của một quả bóng được đá lên theo thời gian $t$ (s), trong đó $h(t)=-2t^{2}+8t$.

a) Chứng tỏ hàm số $h(t)$ liên tục trên tập xác định.

b) Dựa vào đồ thị hãy xác định $\lim_{t\rightarrow 2}(-2t^{2}+8t)$.

Bài giải:

a) Ta có: $h\geq 0,t\geq 0\Rightarrow -2t^{2}+8t\geq 0\Leftrightarrow 0\leq t\leq 4$

Suy ra tập xác định hàm số là: $\left [ 0,4 \right ]$.

Vì hàm số là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên đoạn $\left [ 0,4 \right ]$.

b) $\lim_{t\rightarrow 2} (-2t^{2}+8t)=8$