Toán 11 tập 1 trang 94 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Giải toán 11 tập 1 trang 94 Bài 1 sách Cánh diều có đáp án chi tiết cho từng Bài trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 85 toán 11 tập 1

Hoạt động 1 trang 85 toán 11 tập 1

Sân vận động Old Trafford (Hình 2) ở thành phố Manchester, có biệt danh là “Nhà hát của những giấc mơ”, với sức chứa 75 635 người, là sân vận động lớn thứ hai ở Vương quốc Anh.

Quan sát Hình 2 và cho biết, mặt sân vận động thường được làm phẳng hay cong.

Lời giải:

Mặt sân vận động cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng trong không gian. Mặt sân vận động thường được làm phẳng.

Trang 86 toán 11 tập 1

Luyện tập 1 trang 86 toán 11 tập 1

Nêu ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh của một phần mặt phẳng

Lời giải:

Trong thực tiễn có nhiều ví dụ minh họa cho mặt phẳng. Chẳng hạn: tấm gương phẳng, mặt bàn, mặt bảng… Cho ta hình ảnh một phần mặt phẳng trong không gian

Hoạt động 2 trang 86 toán 11 tập 1

Quan sát Hình 1, nếu coi mặt sân Napoleon là một phần của mặt phẳng (P) thì đỉnh của kim tự tháp có thuộc mặt phẳng (P) hay không?

Lời giải:

Điểm A không thuộc mặt phẳng (P) hay A nằm ngoài (P)

Trang 87 toán 11 tập 1

Luyện tập 2 trang 87 toán 11 tập 1

Vẽ hình biểu diễn của mặt phẳng (P) và đường thẳng a xuyên qua nó.

Lời giải:

Hoạt động 3 trang 87 toán 11 tập 1

Hình 9 là hình ảnh xà ngang trong môn Nhảy cao:

Quan sát Hình 9 và cho biết ta cần bao nhiêu điểm đỡ để giữ cố định được xà ngang đó

Lời giải:

Để giữ cố định được xà ngang, ta cần 4 điểm đỡ để tạo thành 1 mặt phẳng

Hoạt động 4 trang 87 toán 11 tập 1

Quan sát Hình 10. Đó là hình ảnh bếp củi với kiềng ba chân. “Kiềng ba chân” là vật dụng bằng sắt, có hình vòng cung được gắn ba chân, dùng để đặt nồi lên khi nấu bếp. Bếp củi và kiềng ba chân là hình ảnh hết sức quen thuộc với nhiều gia đình ở Việt Nam. Vì sao kiềng ba chân khi đặt trên mặt đất không bị cập kênh?

Lời giải:

Ba điểm của kiềng ba chân trên mặt đất tạo thành 1 mặt phẳng giúp giữ cho bếp không bị cập kênh

Trang 89 toán 11 tập 1

Hoạt động 5 trang 89 toán 11 tập 1

Hình 15 mô tả một phần của phòng học. Nếu coi bức tường chứa bảng và sàn nhà là hình ảnh của hai mặt phẳng thì giao của hai mặt phẳng đó là gì?

Lời giải:

Nếu coi bức tường chứa bảng và sàn nhà là hình ảnh hai mặt phẳng thì giao của hai mặt phẳng là đường chân tường.

Luyện tập 3 trang 89 toán 11 tập 1

Trong Ví dụ 4, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vì S và O cùng thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

Suy ra SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)

Trang 90 toán 11 tập 1

Hoạt động 6 trang 90 toán 11 tập 1

Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Lấy hai điểm phân biệt B và C thuộc đường thẳng d (Hình 18).

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có đi qua đường thẳng d hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm A và đường thẳng d?

Lời giải:

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C đi qua đường thẳng d

b) Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua điểm A và đường thẳng d

Hoạt động 7 trang 90 toán 11 tập 1

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Lấy điểm A trên đường thẳng a (A khác O), lấy điểm B trên đường thẳng b (B khác O) (Hình 19).

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, O có đi qua hai đường thẳng a và b hay không?

b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai đường thẳng a và b?

Lời giải:

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A. B, O đi qua hai đường thẳng a và b

b) Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng a và b

Luyện tập 4 trang 90 toán 11 tập 1

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC. Điểm D không thuộc mặt phẳng (P). Hỏi qua hai đường thẳng AD và BC có xác định được một mặt phẳng không?

Lời giải:

Tồn tại một và chỉ 1 mặt phẳng chứa hai đường thẳng AD và BD

Trang 91 toán 11 tập 1

Hoạt động 8 trang 91 toán 11 tập 1

Hình 22 là hình ảnh của một hộp quà lưu niệm có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Quan sát Hình 22 và trả lời các câu hỏi:

a) Đỉnh S có nằm trong mặt phẳng (ABCD) hay không?

b) Mỗi mặt của hộp quà lưu niệm có dạng hình gì?

Lời giải:

a) Đỉnh S không nằm trong mặt phẳng (ABCD).

b) Một mặt của hộp quà lưu niệm có dạng hình tam giác.

Trang 92 toán 11 tập 1

Luyện tập 5 trang 92 toán 11 tập 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và AD.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (CMN) với các đường thẳng AB, SB

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (CMN) với mỗi mặt phẳng (SAB) và (SBC)

Lời giải:

a) Gọi P là giao điểm của CN và AB

Ta có $P \in CN$suy ra $P \in (CMN)$

Suy ra P là giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng AB

Gọi E là giao điểm của MB và SB

Ta có $E \in MP$suy ra$E \in (CMN)$

Suy ra E là giao điểm của mặt phẳng (CMN) với đường thẳng SB

b) Vì M và E cùng thuộc (CMN) và (SAB) nên ME là giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (SAB)

Vì E và C cùng thuộc (CMN) và (SBC) nên EC là giao tuyến của hai mặt phẳng (CMN) và (SBC)

Hoạt động 9 trang 92 toán 11 tập 1

Hình 25 là hình nhr của khối rubik tam giác (Pyramix). Quan sát Hình 25 và trả lời các câu hỏi:

a) Khối rubik tam giác có bao nhiêu đỉnh? Các đỉnh có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

b) Khối rubik tam giác có bao nhiêu mặt? Mỗi mặt của khối rubik tam giác là những hình gì?

Lời giải:

a) Khối rubik tam giác có 4 đỉnh. Các đỉnh không cùng nằm trong một mặt phẳng

b) Khối rubik tam giác có 4 mặt. Mỗi mặt của khối rucik tam giác là những hình tam giác.

Trang 93 toán 11 tập 1

Luyện tập 6 trang 93 toán 11 tập 1

Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AD, BC sao cho:

$\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3},\frac{{AN}}{{AD}} = \frac{2}{3},\frac{{BP}}{{BC}} = \frac{3}{4}$

a) Xác định E. F lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AC, BD với mặt phẳng (MNP)

b) Chứng minh rằng các đường thẳng NE, PE và CD cùng đi qua một điểm

Lời giải:

a) Tam giác ABC có: MP cắt AC tại E

Mà MP thuộc (MNP)

Nên E là giao điểm của AC và (MNP)

Tam giác ABD có: MN cắt BD tại F

Mà MN thuộc (MNP)

Nên F là giao điểm của BD và (MNP)

b) Ta có: P thuộc BC

F thuộc BD

Suy ra PF thuộc (BCD)

Do đó PF và CD cùng thuộc (BCD)

Nên PF và CD cắt nhau tại một điểm (1)

Ta có: N thuộc AD

E thuộc AC

Suy ra NE thuộc (ACD)

Do đó NE và CD cắt nhau tại một điểm (2)

Từ (1) và (2) suy ra: NE, PE, CD cùng đi qua một điểm

Trang 94 toán 11 tập 1

Bài 1 trang 94 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Khi trát tường, dụng cụ không thể thiếu của người thợ là thước dẹt dài (Hình 28). Công dụng của thước dẹt này là gì? Giải thích.

Bài giải:

Thước dẹt làm cho mặt lớp vữa phẳng và dải mốc cùng nằm trên mặt phẳng.

Bài 2 trang 94 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Hình 29 là hình ảnh của chặn giấy bằng gỗ có bốn mặt phân biệt là các tam giác. Vẽ hình biểu diễn của chặn giấy bằng gỗ đó.

Bài giải:

Bài 3 trang 94 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng đồng quy.

Bài giải:

Giả sử: Đường thẳng a và b cắt nhau tại C.

Đường thẳng a và c cắt nhau tại B.

Đường thẳng b và c cắt nhau tại A.

trong đó, A, B, C không đồng quy (1)

Khi đó: B và C thuộc đường thẳng A

Mặt khác: B thuộc đường thẳng c, C thuộc đường thẳng b

Suy ra: BC thuộc mp chứa đường thẳng b và c.

Do đó: Đường thẳng a thuộc mp (b,c) nên ba đường thẳng này đồng quy (trái với (1)).

Kết luận: Ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm.

Bài 4 trang 94 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD tại O và AB cắt CD tại P. Điểm M thuộc cạnh SA (M khác S, M khác A). Gọi N là giao điểm của MP và SB, I là giao điểm của MC và DN. Chứng minh rằng S, O, I thẳng hàng.

Bài giải:

Ta có: DN thuộc (SBD) và MC thuộc (SAC)

Mà MC cắt DN tại I nên I là giao điểm của (SBD) và (SAC).

Ta có: S và O cùng thuộc hai mặt phẳng (SBD) và (SAC).

Theo tính chất 4: Các điểm S, O, I đều thuộc giao điểm của hai mặt phẳng (SBD) và (SAC).

Vậy ba điểm S, O, I thẳng hàng.

Bài 5 trang 94 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho hình chóp S.ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC sao cho MA= 2MS, NS = 2NC.

a) Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (ABC).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BMN) với mặt phẳng (ABC).

Bài giải:

a) △SAC có: MN cắt AC tại E mà AC thuộc (ABC)

Do đó: E là giao điểm của MN và (ABC).

b) Ta có: B thuộc hai mặt phẳng (BMN) và (ABC)

E thuộc hai mặt phẳng (BMN) và (ABC)

Suy ra: BE là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Bài 6 trang 94 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi M là trung điểm của SA.

a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng (SAB).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SBC).

Bài giải:

a) Gọi E là giao điểm của AB và CD

Vì AB thuộc mặt phẳng (SAB) nên E là giao điểm của CD và (SAB).

b) Ta có: S thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

E thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Suy ra: SE là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

c) Trong (SAB), gọi G là giao điểm của ME và SB.

Mà SB thuộc (SBC), ME thuộc (MCD).

Do đó, G thuộc hai mặt phẳng (MCD) và (SBC).

Ta có: C thuộc hai mặt phẳng (MCD) và (SBC).

Vậy CG là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Bài 7 trang 94 sgk Toán 11 tập 1 Cánh diều

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$.

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và $\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{1}{3}$.

Bài giải:

a) Ta có: M là trọng tâm của $\triangle$BCD, mà I là trung điểm của CD

Nên: M nằm trên trung tuyến BI (1)

Ta có: N là trọng tâm của $\triangle$ACD, mà I là trung điểm của CD

Nên: N nằm trên trung tuyến AI (2)

Từ (1)(2) suy ra: M và N thuộc (ABI).

b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG.

Ta có: HK // AB

Mà AB // MN

Suy ra: MN // HK.

Theo định lý Ta-lét, ta có: $\frac{GM}{GH}=\frac{GN}{GK}=\frac{MN}{HK}$ (1)

Ta có: $\frac{HK}{AB}=\frac{1}{2}$, $\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$

Do đó: $\frac{MN}{AB}:\frac{HK}{AB}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{MN}{HK}=\frac{2}{3}$ (2)

(1)(2) suy ra: $\frac{GM}{GH}=\frac{2}{3} GH=\frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{GM}{\frac{1}{2}GA}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{GM}{GA}=\frac{1}{3}$

Chứng minh tương tự ta được: $\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$.

c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD

$\triangle$AHD có: $\frac{HM}{HD}=\frac{HQ}{HA}=\frac{1}{3}$

Suy ra: QM // AD

Do đó: $\triangle$QGM đồng dạng với $\triangle$DGA

Nên D, G, Q thẳng hàng

Ta có: QM// AD nên $\frac{QM}{AD}=\frac{HM}{HD}=\frac{HQ}{HA}=\frac{1}{3}$

Mà $\frac{QM}{AD}=\frac{QG}{GD}$

Do đó: $\frac{QG}{GD}=\frac{1}{3}$

Chứng minh tương tự ta được: $\frac{GP}{GC}=\frac{1}{3}$

Suy ra điều cần chứng minh.