Giải Toán 11 tập 1 trang 141 Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Giải toán 11 tập 1 trang 141 Bài 2 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải Toán 11 tập 1 trang 136

Hoạt động 1 trang 136 Toán 11 tập 1

a) Sử dụng biểu đồ ở Hoạt động mở đầu, hoàn thiện bảng thống kê sau:

b) Tìm các nhóm chứa giá trị trung vị chiều cao thành viên mỗi đội.

Lời giải:

a)

b) Nhóm chứa giá trị trung vị chiều cao thành viên đội Sao La là $\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {180;185} \right)}\end{array}$.

Nhóm chứa giá trị trung vị chiều cao thành viên đội Kim Ngưu là $\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {185;190} \right)}\end{array}$.

Giải Toán 11 tập 1 trang 137

Thực hành 1 trang 137 Toán 11 tập 1

Hãy trả lời câu hỏi ở Hoạt động mở đầu.

Lời giải:

Ta có số liệu thống kê chiều cao thành viên của hai đội như sau:

• Chiều cao trung bình của thành viên đội Sao La là:

$\bar x = \frac{{2.172,5 + 4.177,5 + 5.182,5 + 5.187,5 + 4.192,5}}{{20}} = 183,75\left( {cm} \right)$

Nhóm chứa số trung vị của đội Sao La là: $\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {180;185} \right)}\end{array}$

Ta có: $n = 20;{n_m} = 5;C = 2 + 4 = 6;{u_m} = 180;{u_{m + 1}} = 185$

Trung vị của chiều cao của thành viên đội Sao La là:

${M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} – C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right) = 180 + \frac{{\frac{{20}}{2} – 6}}{5}.\left( {185 – 180} \right) = 184\left( m \right)$

• Chiều cao trung bình của thành viên đội Kim Ngưu là:

$\bar x = \frac{{2.172,5 + 3.177,5 + 4.182,5 + 10.187,5 + 1.192,5}}{{20}} = 183,75\left( {cm} \right)$

Nhóm chứa số trung vị của đội Kim Ngưu là: $\begin{array}{*{20}{l}}{\;\left[ {185;190} \right)}\end{array}$

Ta có: $n = 20;{n_m} = 10;C = 2 + 3 + 4 = 9;{u_m} = 185;{u_{m + 1}} = 190$

Trung vị của chiều cao của thành viên đội Kim Ngưu là:

${M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} – C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right) = 185 + \frac{{\frac{{20}}{2} – 9}}{{10}}.\left( {190 – 185} \right) = 185,5\left( m \right)$

Vậy chiều cao trung bình của hai đội bằng nhau, số trung vị của đội Sao La nhỏ hơn số trung vị của đội Kim Ngưu.

Vận dụng 1 trang 137 Toán 11 tập 1

Trong một hội thao, thời gian chạy 200 m của một nhóm các vận động viên được ghi lại ở bảng sau:

Dựa vào bảng số liệu trên, ban tổ chức muốn chọn ra khoảng 50% số vận động viên chạy nhanh nhất để tiếp tục thi vòng 2. Ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá bao nhiêu giây?

Lời giải:

Số vận động viên tham gia là: $n = 5 + 12 + 32 + 45 + 30 = 124$.

Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_{124}}$ lần lượt là thời gian chạy của 124 vận động viên được xếp theo thứ tự không giảm.

Do ${x_1};…;{x_5} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {21;21,5} \right)}\end{array};{x_6};…;{x_{17}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {21,5;22} \right)}\end{array};{x_{18}};…;{x_{49}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {22;22,5} \right)}\end{array}}\end{array};$${x_{50}};…;{x_{94}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {22,5;23} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array}$ nên trung vị của mẫu số liệu là: $\frac{1}{2}\left( {{x_{62}} + {x_{63}}} \right) \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {22,5;23} \right)}\end{array}$

Ta có: $n = 124;{n_m} = 45;C = 5 + 12 + 32 = 49;{u_m} = 22,5;{u_{m + 1}} = 23$

Trung vị của thời gian chạy của các vận động viên là:

${M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} – C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right) = 22,5 + \frac{{\frac{{124}}{2} – 49}}{{45}}.\left( {23 – 22,5} \right) \approx 22,64$

Vậy ban tổ chức nên chọn các vận động viên có thời gian chạy không quá 22,64 giây

Giải Toán 11 tập 1 trang 138

Hoạt động 2 trang 138 Toán 11 tập 1

Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:

Huấn luyện viên muốn xác định nhóm gồm 25% các vận động viên có số giờ luyện tập cao nhất. Hỏi huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ bao nhiêu giờ trở lên vào nhóm này?

Lời giải:

Số vận động viên được khảo sát là $n = 3 + 8 + 12 + 12 + 4 = 39$.

Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_{39}}$ là thời gian luyện tập của 39 vận động viên được xếp theo thứ tự không giảm. Ta phải chọn các vận động viên có thời gian luyện tập tương ứng là ${x_{30}};{x_{31}};…;{x_{39}}$

Ta có:

${x_1},{x_2},{x_3} \in \left[ {0;2} \right);{x_4},…,{x_{11}} \in \left[ {2;4} \right);{x_{12}},…,{x_{23}} \in \left[ {4;6} \right);{x_{24}},…,{x_{35}} \in \left[ {6;8} \right);{x_{36}},…,{x_{39}} \in \left[ {8;10} \right)$. Vậy ${x_{30}}$ thuộc nhóm $\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {6;8} \right)}\end{array}$.

Ta có: $n = 29;{n_j} = 12;C = 3 + 8 + 12 = 23;{u_j} = 6;{u_{j + 1}} = 8$

${x_{30}} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} – C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} – {u_j}} \right) = 6 + \frac{{\frac{{3.39}}{4} – 23}}{{12}}.\left( {8 – 6} \right) \approx 7,04$

Vậy huấn luyện viên nên chọn các vận động viên có thời gian luyện tập từ 7,04 giờ trở lên.

Giải Toán 11 tập 1 trang 140

Thực hành 2 trang 140 Toán 11 tập 1

Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong 2 một tuần ở bảng sau:

Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải:

Số cuộc gọi của người đó trong một tuần là $n = 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33$.

Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_{33}}$ là thời gian thực hiện cuộc gọi của người đó trong một tuần được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

${x_1},…,{x_8} \in \left[ {0;60} \right);{x_9},…,{x_{18}} \in \left[ {60;120} \right);{x_{19}},…,{x_{25}} \in \left[ {120;180} \right);{x_{26}},…,{x_{30}} \in \left[ {180;240} \right);$ ${x_{31}},{x_{32}} \in \left[ {240;300} \right);{x_{33}} \in \left[ {300;360} \right)$.

• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: ${x_{17}}$ thuộc nhóm $\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {60;120} \right)}\end{array}$

Ta có: $n = 33;{n_m} = 10;C = 8;{u_m} = 60;{u_{m + 1}} = 120$

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:

${Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} – C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right) = 60 + \frac{{\frac{{33}}{2} – 8}}{{10}}.\left( {120 – 60} \right) = 111$

• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: $\frac{1}{2}\left( {{x_8} + {x_9}} \right)$.

Do ${x_8} \in \left[ {0;60} \right),{x_9} \in \left[ {60;120} \right)$ nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: ${Q_1} = 60$.

• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: $\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right)$.

Do ${x_{25}} \in \left[ {120;180} \right),{x_{26}} \in \left[ {180;240} \right)$ nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: ${Q_3} = 180$.

Vận dụng 2 trang 140 Toán 11 tập 1

Một phòng khám thống kê số bệnh nhân đến khám bệnh mỗi ngày trong tháng 4 năm 2022 ở bảng sau:

a) Hãy ước lượng các tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Quản lí phòng khám cho rằng có khoảng 25% số ngày khám có nhiều hơn 35 bệnh nhân đến khám. Nhận định trên có hợp lí không?

Lời giải:

a) Do số bệnh nhân là số nguyên nên ta hiệu chỉnh như sau:

Số bệnh nhân đến khám bệnh mỗi ngày trong tháng 4 năm 2022 là:

$n = 7 + 8 + 7 + 6 + 2 = 30$.

Gọi ${x_1};{x_2};…;{x_{30}}$ là số bệnh nhân đến khám bệnh mỗi ngày được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

$\begin{array}{l}{x_1},…,{x_7} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {0,5;10,5} \right)}\end{array};{x_8},…,{x_{15}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {10,5;20,5} \right)}\end{array};{x_{16}},…,{x_{22}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {20,5;30,5} \right)}\end{array};\\{x_{23}},…,{x_{28}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {30,5;40,5} \right)}\end{array};{x_{29}},{x_{30}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {40,5;50,5} \right)}\end{array}\end{array}$

• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: $\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right)$

Do ${x_{15}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {10,5;20,5} \right)}\end{array},{x_{16}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {20,5;30,5} \right)}\end{array}$ nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: ${Q_2} = 20,5$.

• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: ${x_8}$.

Ta có: $n = 30;{n_m} = 8;C = 7;{u_m} = 10,5;{u_{m + 1}} = 20,5$

Do ${x_8} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {10,5;20,5} \right)}\end{array}$ nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

${Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} – C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right) = 10,5 + \frac{{\frac{{30}}{4} – 7}}{8}.\left( {20,5 – 10,5} \right) = 11,125$

• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: ${x_{23}}$.

Ta có: $n = 30;{n_j} = 6;C = 7 + 8 + 7 = 22;{u_j} = 30,5;{u_{j + 1}} = 40,5$

Do ${x_{23}} \in \begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {30,5;40,5} \right)}\end{array}$ nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

${Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} – C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} – {u_j}} \right) = 30,5 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} – 22}}{6}.\left( {40,5 – 30,5} \right) \approx 31,3$

b) Do ${Q_3} \approx 31,3$ nên nhận định trên hợp lí.

Giải bài 1 trang 140 Toán 11 tập 1

Lương tháng của một số nhân viên văn phòng được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng)

a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên

b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng tứ phân vị của số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên

Bài làm

a) Tứ phân vị thứ nhất là: 9,01

Tứ phân vị thứ hai là: 10,8

Tứ phân vị thứ ba là: 12,35

b)

c) Gọi $x_{1};x_{2};x_{3};…;x_{24}$ lần lượt là số nhân viên theo thứ tự không gian

Do $x_{1},…,x_{3} \in [6;8); x_{4},…,x_{9} \in [8;10);x_{10},…,x_{17} \in [10;12) ; x_{18},…,x_{24} \in [12;14)$

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là $\frac{1}{2}(x_{12}+x_{13})$ thuộc nhóm [10;12) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là $Q_{2} = 10 + \frac{\frac{24}{2}-9}{8}(12-10) = 10,75$

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}(x_{6}+x_{7})$ thuộc nhóm [8;10) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $Q_{1} = 8 + \frac{\frac{24}{4}-3}{6}(10-8) = 9$

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}(x_{18}+x_{19})$ thuộc nhóm [12;14) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_{3} = 12 + \frac{\frac{3.24}{4}-17}{7}(14-12) = 12,3$

Giải Toán 11 tập 1 trang 141

Giải bài 2 trang 141 Toán 11 tập 1

Số điểm một cầu thủ bóng rổ ghi được trong 20 trận đấu được cho ở bảng sau:

a) Tìm tứ phân vị của dãy số liệu trên

b) Tổng hợp lại dãy số liệu vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng phân vị của số liệu từ bảng tần số ghép nhóm trên

Bài làm

a) Tứ phân vị thứ nhất là: 11

Tứ phân vị thứ hai là: 14

Tứ phân vị thứ ba là: 21,5

b)

c) Vì số trận là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:

Gọi $x_{1};x_{2};x_{3};…;x_{20}$ lần lượt là số trận theo thứ tự không gian

Do $x_{1},…,x_{3} \in [5,5;10,5); x_{4},…,x_{12} \in [10,5;15,5);x_{13},x_{14} \in [15,5;20,5) ; x_{15},…,x_{20} \in [20,5;25,5)$

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là $\frac{1}{2}(x_{10}+x_{11})$ thuộc nhóm [10,5;15,5) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là $Q_{2} = 10,5 + \frac{\frac{20}{2}-3}{9}(15,5-10,5) = 14,4$

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}(x_{5}+x_{6})$ thuộc nhóm [10,5;15,5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $Q_{1} = 10,5 + \frac{\frac{20}{4}-3}{9}(15,5-10,5) = 11,6$

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}(x_{15}+x_{16})$ thuộc nhóm [20,5;25,5) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_{3} = 20,5 + \frac{\frac{3.20}{4}-14}{6}(25,5-20,5) = 21,3$

Giải bài 3 trang 141 Toán 11 tập 1

Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả sau:

Hãy ước lượng số trung bình, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên

Bài làm

Số trung bình của dãy số liệu xấp xỉ bằng:

(0,925.10 + 0,975.20 + 1,025.35 + 1,075.15 + 1,125.5) : 85 = 1,016

Nhóm chứa mốt của dãy số liệu là: [1,0;1,05)

$M_{0} = 1,0 + \frac{35-20}{(35-20)+(35-15)}.(1,05-1,0) = 1,02$

Gọi $x_{1};x_{2};x_{3};…;x_{85}$ lần lượt là số viên pin theo thứ tự không gian

Do $x_{1},…,x_{10} \in [0,9;0,95); x_{11},…,x_{30} \in [0,95;1,0);x_{31},…,x_{65} \in [1,0;1,05) ; x_{66},…,x_{80} \in [1,05;1,1); x_{81},…,x_{85} \in [1,1;1,15)$

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là $\frac{1}{2}(x_{42}+x_{43})$ thuộc nhóm [1,0;1,05) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là $Q_{2} = 1,0 + \frac{\frac{85}{2}-30}{35}(1,05-1,0) = 1,02$

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}(x_{21}+x_{22})$ thuộc nhóm [0,95;1,0) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $Q_{1} = 0,95 + \frac{\frac{85}{4}-10}{20}(1,0-0,95) = 0,98$

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}(x_{63}+x_{64})$ thuộc nhóm [1,0;1,05) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_{3} = 1,0 + \frac{\frac{3.85}{4}-30}{35}(1,05-1,0) = 1,048$

Giải bài 4 trang 141 Toán 11 tập 1

Cân nặng của một con lợn con mới sinh thuộc hai giống A và B được cho ở biểu đồ dưới đây (đơn vị: kg)

a) Hãy so sánh cân nặng của lớn con mới sinh giống A và giống B theo số trung bình và trung vị

b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của cân nặng lợn con mới sinh giống A và của cân nặng lợn con mới sinh giống B