Giải Toán 11 tập 1 trang 24 Bài 3: Các công thức lượng giác
Giải Toán 11 tập 1 trang 24 Bài 3: Các công thức lượng giác
Giải toán 11 tập 1 trang 24 Bài 3 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Giải Toán 11 tập 1 trang 21
Hoạt động 1 trang 21 Toán 11 tập 1
Quan sát Hình 1. Từ hai cách tính tích vô hướng của vectơ $\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} $ sau đây:
$\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\left| {\overrightarrow {ON} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right)$$ = cos\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right) = cos\left( {\alpha – \beta } \right)$
$\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = {x_M}.{x_N} + {y_M}.{y_N}$
Hãy suy ra công thức tính cos(α – β) theo các giá trị lượng giác của α và β. Từ đó, hãy suy ra công thức cos(α + β) bằng cách thay β bằng – β.
Lời giải:
Ta có:
$cos\left( {\alpha – \beta } \right) = {x_M}.{x_N} + {y_M}.{y_N} = cos\alpha .cos\beta + \sin \alpha .\sin \beta $
$cos\left( {\alpha + \beta } \right) = cos\left( {\alpha – \left( { – \beta } \right)} \right) = cos\alpha .cos\left( { – \beta } \right) + \sin \alpha .\sin \left( { – \beta } \right) = cos\alpha .cos\beta – \sin \alpha .\sin \beta $
Thực hành 1 trang 21 Toán 11 tập 1
Tính $\sin \frac{\pi }{{12}}$ và $\tan \frac{\pi }{{12}}$
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}cos\frac{\pi }{4} – cos\frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}\\ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{4}\\{\rm{cos}}\frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\\\tan \frac{\pi }{{12}} = \frac{{\sin \frac{\pi }{{12}}}}{{{\rm{cos}}\frac{\pi }{{12}}}} = \frac{{\frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}}} = 2 – \sqrt 3 \end{array}$
Hoạt động 2 trang 21 Toán 11 tập 1
Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp β = α và tính các giá trị lượng giác của góc 2α.
Lời giải:
$\begin{array}{l}\cos \left( {\alpha + \alpha } \right) = \cos 2\alpha = \cos \alpha \cos \alpha – \sin \alpha sin\alpha = {\cos ^2}\alpha – {\sin ^2}\alpha \\ = {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha – 2{\sin ^2}\alpha = 1 – 2{\sin ^2}\alpha = 2{\cos ^2}a – 1\end{array}$
$\tan 2\alpha = \tan \left( {\alpha + \alpha } \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \alpha }}{{1 – \tan \alpha .\tan \alpha }} = \frac{{2\tan a}}{{1 – {{\tan }^2}a}}$
Giải Toán 11 tập 1 trang 22
Thực hành 2 trang 22 Toán 11 tập 1
Tính $\cos \frac{\pi }{8}$ và $\tan \frac{\pi }{8}$
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}cos\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = cos\left( {2.\frac{\pi }{8}} \right) = 2co{s^2}\frac{\pi }{8} – 1 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow co{s^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt 2 + 2}}{4}\end{array}$
$ \Rightarrow cos\frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{\sqrt 2 + 2}}{4}} = \frac{{\sqrt {\sqrt 2 + 2} }}{2}$ (vì $0 < \frac{\pi }{8} < \frac{\pi }{2}$)
Ta có:
$\tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \tan \left( {2.\frac{\pi }{8}} \right) = \frac{{2\tan \frac{\pi }{8}}}{{1 – {{\tan }^2}\frac{\pi }{8}}} = 1$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 – {\tan ^2}\frac{\pi }{8} = 2\tan \frac{\pi }{8}\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}\frac{\pi }{8} + 2\tan \frac{\pi }{8} – 1 = 0\end{array}$
$ \Leftrightarrow \tan \frac{\pi }{8} = – 1 + \sqrt 2 $(vì $0 < \frac{\pi }{8} < \frac{\pi }{2}$)
Hoạt động 3 trang 22 Toán 11 tập 1
Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:
a) $\cos \left( {\alpha – b} \right)$ và $\cos \left( {\alpha + \beta } \right)$;
b) $\sin \left( {\alpha – \beta } \right)$và $\sin \left( {\alpha + \beta } \right)$.
Lời giải:
a,
$\begin{array}{l}\cos \left( {\alpha – b} \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)\\ = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha sin\beta + \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha sin\beta \\ = 2\cos \alpha \cos \beta \end{array}$
$\begin{array}{l}\cos \left( {\alpha – b} \right) – \cos \left( {\alpha + \beta } \right)\\ = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha sin\beta – \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha sin\beta \\ = 2\sin \alpha sin\beta \end{array}$
b,
$\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha – \beta } \right) – \sin \left( {\alpha + \beta } \right)\\ = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha sin\beta – \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha sin\beta \\ = – 2\cos \alpha sin\beta \end{array}$
$\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha – \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)\\ = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha sin\beta + \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha sin\beta \\ = 2\sin \alpha \cos \beta \end{array}$
Thực hành 3 trang 22 Toán 11 tập 1
Tính giá trị của các biểu thức$\sin \frac{\pi }{{24}}\cos \frac{{5\pi }}{{24}}$ và $\sin \frac{{7\pi }}{8}\sin \frac{{5\pi }}{8}$
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{24}}\cos \frac{{5\pi }}{{24}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{{24}} + \frac{{5\pi }}{{24}}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{{24}} – \frac{{5\pi }}{{24}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( { – \frac{\pi }{6}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{1}{2}} \right] = \frac{{\sqrt 2 – 1}}{4}\end{array}$
Ta có:
$\begin{array}{l}\sin \frac{{7\pi }}{8}\sin \frac{{5\pi }}{8} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{7\pi }}{8} – \frac{{5\pi }}{8}} \right) – \cos \left( {\frac{{7\pi }}{8} + \frac{{5\pi }}{8}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) – \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 0} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array}$
Hoạt động 4 trang 22 Toán 11 tập 1
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác $\alpha = \frac{{\alpha + \beta }}{2},\beta = \frac{{\alpha – \beta }}{2}$ ta được đẳng thức nào?
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}\cos \alpha \cos \beta = \cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha – \beta }}{2}\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} + \frac{{\alpha – \beta }}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \frac{{\alpha – \beta }}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\cos \alpha + \cos \beta } \right)\end{array}$
$\begin{array}{l}\sin \alpha \sin \beta = \sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha – \beta }}{2}\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \frac{{\alpha – \beta }}{2}} \right) – \cos \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} + \frac{{\alpha – \beta }}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\cos \beta – \cos \alpha } \right)\end{array}$
$\begin{array}{l}\sin \alpha \cos \beta = \sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha – \beta }}{2}\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} + \frac{{\alpha – \beta }}{2}} \right) + \sin \left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \frac{{\alpha – \beta }}{2}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\sin \alpha + \sin \beta } \right)\end{array}$
Giải Toán 11 tập 1 trang 23
Thực hành 4 trang 23 Toán 11 tập 1
Tính $\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \frac{\pi }{{12}}$.
Lời giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \frac{\pi }{{12}} = 2\cos \frac{{\frac{{7\pi }}{{12}} + \frac{\pi }{{12}}}}{2}\cos \frac{{\frac{{7\pi }}{{12}} – \frac{\pi }{{12}}}}{2}\\ = 2.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}$.
Vận dụng trang 23 Toán 11 tập 1
Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120 cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27 cm. Tính $\sin \alpha $ và $\cos \alpha $, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Lời giải:
Ta có: $OA = OB = 120:2 = 60$.
Xét tam giác OBB’ có:
$\sin \widehat {BOB’} = \frac{{BB’}}{{OB}} = \frac{{27}}{{60}} = \frac{9}{{20}}$.
Ta có: $\widehat {AOC} = 2\widehat {BOB’}$.
Xét tam giác OCC’ vuông tại C’ có:
$\begin{array}{l}\sin \widehat {COC’} = \frac{{CC’}}{{OC}}\\ \Leftrightarrow CC’ = OC.\sin \widehat {COC’} = OC.\sin \left( {2\widehat {BOB’}} \right)\end{array}$.
Mà $\sin \left( {2\widehat {BOB’}} \right) = 2.\sin \widehat {BOB’}.cos\widehat {BOB’}$.
$ = 2.\frac{9}{{20}}.\frac{{\sqrt {319} }}{{20}} = \frac{{9\sqrt {319} }}{{400}}$.
Vậy khoảng cách từ C đến AH là $60.\frac{{9\sqrt {319} }}{{200}} \approx 48,2cm$.
Giải bài 1 trang 23 Toán 11 tập 1
Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:
a) $\frac{{5\pi }}{{12}}$.
b) $-{\rm{ }}{555^0}$.
Lời giải
a, Ta có:
$\begin{array}{l}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6} – \sin \frac{\pi }{4}sin\frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{4}\end{array}$
$\begin{array}{l}\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6} + \cos \frac{\pi }{4}sin\frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\end{array}$
$\tan \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{{sin\frac{{5\pi }}{{12}}}}{{cos\frac{{5\pi }}{{12}}}} = 2 + \sqrt 3 $
$\cot \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{{\tan \frac{{5\pi }}{{12}}}} = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}$
b, Ta có:
$\cos ( – {555^o}) = \cos {555^o} = \cos \left( {3\pi + \frac{\pi }{{12}}} \right) = \cos \left( {\pi + \frac{\pi }{{12}}} \right)$
$\begin{array}{l} = – \cos \frac{\pi }{{12}} = – \cos \left( {\frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right)\\ = – \left( {\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{3}sin\frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\end{array}$
Ta có:
$\sin ( – {555^o}) = \sin \left( { – 3\pi – \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { – \pi – \frac{\pi }{{12}}} \right)$
$\begin{array}{l}= sin\frac{\pi }{{12}} = sin\left( {\frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right)\\ = \sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} – \cos \frac{\pi }{3}sin\frac{\pi }{4}\\ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{4}\end{array}$
$\tan \left( { – {{555}^0}} \right) = \frac{{\sin \left( { – {{555}^0}} \right)}}{{\cos \left( { – {{555}^0}} \right)}} = – 2 + \sqrt 3 $
$\cot \left( { – {{555}^0}} \right) = \frac{1}{{ – 2 + \sqrt 3 }} = – 2 – \sqrt 3 $
Giải bài 2 trang 23 Toán 11 tập 1
Tính $\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right),\cos \left( {\frac{\pi }{4} – \alpha } \right)$ biết $\sin \alpha = – \frac{5}{{13}},\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$
Lời giải
$\cos \alpha = – \sqrt {1 – {{\left( { – \frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = – \frac{{12}}{{13}}$ (vì $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$)
$\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha sin\frac{\pi }{6} = \frac{{ – 12 + 5\sqrt 3 }}{{26}}$
$\cos \left( {\frac{\pi }{4} – \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{4}\cos \alpha + \sin \frac{\pi }{4}sin\alpha = \frac{{ – 17\sqrt 2 }}{{26}}$
Giải Toán 11 tập 1 trang 24
Giải bài 3 trang 24 Toán 11 tập 1
Tính các giá trị lượng giác của góc 2$\alpha $, biết:
a, $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3},0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$
b, $\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{3}{4},\pi < \alpha < 2\pi $
Lời giải
a, Ta có:
$\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\ \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 – {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{3}\end{array}$
Vì $0 < \alpha < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .cos\alpha = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{3} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\cos2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha – 1 = 2.{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} – 1 = \frac{1}{3}\\\tan 2\alpha = \frac{{\sin 2\alpha }}{{cos2\alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = 2\sqrt 2 \\\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\end{array}$
b,
Ta có:
$\begin{array}{l}{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\\ \Rightarrow \cos \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {1 – {{\sin }^2}\frac{\alpha }{2}} = \pm \sqrt {1 – {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}\end{array}$
Vì $\pi < \alpha < 2\pi \Rightarrow \frac{\pi }{2} < \frac{\alpha }{2} < \pi \Rightarrow cos\alpha = – \frac{{\sqrt 7 }}{4}$
Khi đó
$\begin{array}{l}\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha }{2}.cos\frac{\alpha }{2} = 2.\frac{3}{4}.\left( { – \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right) = – \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\\cos\alpha = 2{\cos ^2}\frac{\alpha }{2} – 1 = 2.{\left( { – \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right)^2} – 1 = – \frac{1}{8}\\\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .cos\alpha = 2.\left( { – \frac{{3\sqrt 7 }}{8}} \right).\left( { – \frac{1}{8}} \right) = \frac{{3\sqrt 7 }}{{32}}\\cos2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha – 1 = 2.{\left( { – \frac{1}{8}} \right)^2} – 1 = – \frac{{31}}{{32}}\\\tan 2\alpha = \frac{{\sin 2\alpha }}{{cos2\alpha }} = \frac{{\frac{{3\sqrt 7 }}{{32}}}}{{ – \frac{{31}}{{32}}}} = – \frac{{3\sqrt 7 }}{{31}}\\\cot 2\alpha = \frac{1}{{\tan 2\alpha }} = \frac{1}{{ – \frac{{3\sqrt 7 }}{{31}}}} = – \frac{{31\sqrt 7 }}{{21}}\end{array}$
Giải bài 4 trang 24 Toán 11 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau:
a, $\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) – cos\alpha $,
b, ${\left( {cos\alpha + \sin \alpha } \right)^2} – \sin 2\alpha $
Lời giải
a, Ta có:
$\begin{array}{l}\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) – cos\alpha = \sqrt 2 .\left( {\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right) – cos\alpha \\ = \sqrt 2 .\left( {\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) – cos\alpha \\ = \sqrt 2 .{\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 2 .\cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} – cos\alpha \\ =\sin \alpha + \cos \alpha – cos\alpha \\ = \sin \alpha \end{array}$
b, Ta có:
$\begin{array}{l}{\left( {cos\alpha + \sin \alpha } \right)^2} – \sin 2\alpha \\ = co{s^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha + 2cos\alpha \sin \alpha – 2\sin \alpha cos\alpha \\ = {\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\end{array}$
Giải bài 5 trang 24 Toán 11 tập 1
Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha $, biết:
a, $cos2\alpha = \frac{2}{5}, – \frac{\pi }{2} < \alpha < 0$
b, $\sin 2\alpha = – \frac{4}{9},\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{4}$
Lời giải
a, Ta có:
$\begin{array}{l}cos2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha – 1 = \frac{2}{5}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{7}{{10}} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt {70} }}{{10}}\end{array}$
Vì $ – \frac{\pi }{2} < \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {70} }}{{10}}$
Lại có:
$\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 – \frac{7}{{10}} = \frac{3}{{10}}\\ \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}\end{array}$
$ – \frac{\pi }{2} < \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = – \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}$
$\begin{array}{l}\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{ – \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}}}{{\frac{{\sqrt {70} }}{{10}}}} = – \frac{{\sqrt {21} }}{7}\\\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ – \frac{{\sqrt {21} }}{3}}} = – \frac{{\sqrt {21} }}{{3 }}\end{array}$
b, Ta có:
$\begin{array}{l}{\sin ^2}2\alpha + {\cos ^2}2\alpha = 1\\ \Rightarrow \cos 2\alpha = \sqrt {1 – {{\left( { – \frac{4}{9}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt {65} }}{9}\end{array}$
Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \pi < 2\alpha < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow cos2\alpha = – \frac{{\sqrt {65} }}{9}$
$\begin{array}{l}cos2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha – 1 = – \frac{{\sqrt {65} }}{9}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{9 – \sqrt {65} }}{{18}} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {\frac{{9 – \sqrt {65} }}{{18}}} \end{array}$
Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \cos \alpha = – \sqrt {\frac{{9 – \sqrt {65} }}{{18}}} $
Lại có:
$\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 – \frac{{9 – \sqrt {65} }}{{18}} = \frac{{9 + \sqrt {65} }}{{18}}\\ \Rightarrow \sin \alpha = \pm \sqrt {\frac{{9 + \sqrt {65} }}{{18}}} \end{array}$
Vì Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{4} \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {\frac{{9 + \sqrt {65} }}{{18}}} $
$\begin{array}{l}\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\sqrt {\frac{{9 + \sqrt {65} }}{{18}}} }}{{ – \sqrt {\frac{{9 – \sqrt {65} }}{{18}}} }} \approx – 4,266\\\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} \approx – 0,234\end{array}$
Giải bài 6 trang 24 Toán 11 tập 1
Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có $\sin A = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B$
Lời giải
Ta có: $A + B + C = {180^0}$ (tổng 3 góc trong một tam giác)
$\begin{array}{l} \Rightarrow A = {180^0} – \left( {B + C} \right)\\ \Leftrightarrow \sin A = \sin \left( {{{180}^0} – \left( {B + C} \right)} \right)\\ \Leftrightarrow \sin A = \sin \left( {B + C} \right) = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B\end{array}$
Giải bài 7 trang 24 Toán 11 tập 1
Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa mãn $\widehat {CAD} = {30^0}$. Tính $\tan \widehat {BAD}$, từ đó tính độ dài cạnh CD.
Lời giải
Xét tam giác ABC vuông tại B có:
$\tan \widehat {BAC} = \frac{3}{4}$
Suy ra, $\tan \widehat {BAD} = \tan \left( {\widehat {BAC} + \widehat {CAD}} \right) = \tan \left( {\widehat {BAC} + {{30}^0}} \right)$
$ = \frac{{\tan \widehat {BAC} + \tan {{30}^0}}}{{1 – \tan \widehat {BAC}.\tan {{30}^0}}} = \frac{{\frac{3}{4} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{1 – \frac{3}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} \approx 2,34$
Xét tam giác vuông ABD vuông tại B có:
$\begin{array}{l}BD = AB.\tan \widehat {BAD} = 4.2,34 \approx 9,36\\ \Rightarrow CD = BD – BC \approx 9,36 – 3 \approx 6,36\end{array}$
Giải bài 8 trang 24 Toán 11 tập 1
Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I, A, M thẳng hàng. Cho $\alpha $ là góc quay của trục khuỷu, O là vị trí của pít – tông khi $\alpha = \frac{\pi }{2}$ và H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài MH không đổi và gần bằng MA.
a) Biết IA = 8cm, viết công thức tính tọa độ ${x_M}$ của điểm M trên trục Ox theo $\alpha $.
b) Ban đầu $\alpha = 0$. Sau 1 phút chuyển động, ${x_M}$= – 3cm. Xác định ${x_M}$ sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Lời giải
a) Tại $\alpha = \frac{\pi }{2}$ thì H trùng I, M trùng O nên MH = OI do đó OM = IH.
Xét tam giác AHI vuông tại H có: $IH = cos\alpha .IA = 8cos\alpha .$
$ \Rightarrow {x_M} = OM = IH = 8cos\alpha $.
b) Giả sử sau khi chuyển động được 1 phút, trục khuỷu quay được một góc là $\alpha $.
Khi đó ${x_M} = – 3cm \Rightarrow cos\alpha = – \frac{3}{8}$.
Sau khi chuyển động 2 phút, trục khuỷu quay được một góc $2\alpha $, nên:
${x_M} = 8cos2\alpha = 8\left( {2{{\cos }^2}\alpha – 1} \right)$$ = 8\left( {2{{\left( { – \frac{3}{8}} \right)}^2} – 1} \right) \approx – 5,8 cm$.
Giải bài 9 trang 24 Toán 11 tập 1
Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là $\frac{{2\pi }}{3}$ và số đo góc (OA, OM) là $\alpha $.
a) Tính sin$\alpha $ và cos $\alpha $.
b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP) từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Lời giải
a, Từ điểm M kẻ MH vuông góc với Ox, MK vuông góc với Oy.
Ta có: MH = 60 – 30 = 30 m.
Khi đó hoành độ điểm M là 30.
⇒ $\;\sin \alpha {\rm{ }} = \;\frac{{MH}}{{OM}} = \;\frac{{30}}{{31}}$
$ \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 – {{\left( {\frac{{30}}{{31}}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {61} }}{{31}}$
b, Vì các cánh quạt tạo thành 3 góc bằng nhau nên $\widehat {MOP} = \widehat {NOP} = \widehat {MON} = {120^0}$
$ \Rightarrow \widehat {AOP} = \widehat {MOP} – \widehat {MOA}$
$ \Leftrightarrow \sin \widehat {AOP} = \sin \left( {\widehat {MOP} – \widehat {MOA}} \right) = \sin \widehat {MOP}.\cos \widehat {MOA} – \cos \widehat {MOP}.\sin \widehat {MOA}$
$ = \sin \frac{{2\pi }}{3}.\cos \alpha – \cos \frac{{2\pi }}{3}.\sin \alpha \approx 0,7$
Vì vậy chiều cao của điểm P so với mặt đất là:
31. $\sin \widehat {AOP}$ + 60 = 31.0,7+ 60 $ \approx $ 81,76 m.
Ta có:
$\cos \widehat {AOP} \approx \sqrt {1 – 0,{7^2}} = 0,71$
$\widehat {AON} = \widehat {AOP} + \widehat {PON}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \widehat {AON} = \sin \left( {\widehat {AOP} + \widehat {PON}} \right)\\ \Leftrightarrow \sin \widehat {AON} = \sin \widehat {AOP}.\cos \widehat {PON} + \cos \widehat {AOP}.\sin \widehat {PON}\\ \Leftrightarrow \sin \widehat {AON} = 0,7.\cos \frac{{2\pi }}{3} + 0,71.\sin \frac{{2\pi }}{3} \approx 0,26\end{array}$
$ \Rightarrow \sin \left( {OA,ON} \right) = \sin \widehat {AON} \approx 0,26$
Vì vậy chiều cao của điểm N so với mặt đất là:
31. $\sin \widehat {AON}$ + 60 = 31.0,26+ 60$ \approx $ 68,2 m.