Bài tập cuối chương 1

Giải toán 11 tập 1 trang 42 Bài tập cuối chương 1 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Giải Toán 11 tập 1 trang 42

Giải bài 1 trang 42 Toán 11 CTST

Góc lượng giác nào tương ứng với chuyển động quay 3$\frac{1}{5}$ vòng ngược chiều kim đồng hồ?

A. $\frac{16\pi }{5}$

B. ($\frac{16}{5}$)^o

C. 1152^o

D. 1152π

Lời giải

Đáp án C

Giải bài 2 trang 42 Toán 11 tập 1

Trong trường hợp nào dưới đây cosα = cos$\beta$ và sinα = −sin$\beta$

A. $\beta$ = −α

B. $\beta$ = π − α

C. $\beta$ = π + α

D. $\beta$ = $\frac{\pi }{2}$ + α

Lời giải

Đáp án A

Giải bài 3 trang 42 Toán 11 CTST

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = sinx là hàm số chẵn.

B. Hàm số y = cosx là hàm số chẵn

C. Hàm số y = tanx là hàm số chẵn

D. Hàm số y = cotx là hàm số chẵn

Lời giải

Đáp án B

Giải bài 4 trang 42 Toán 11 tập 1

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác $cos2x = cos\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )$ là:

A. $-\frac{\pi }{9}$

B. $-\frac{5\pi }{3}$

C. $-\frac{7\pi }{9}$

D. $-\frac{13\pi }{9}$

Lời giải

$cos2x = cos\left ( x+\frac{\pi }{3} \right )$

$\Leftrightarrow 2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi , k\in \mathbb{Z} hoặc 2x = -x – \frac{\pi }{3} + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi , k\in \mathbb{Z} hoặc x =- \frac{\pi }{9} + k\frac{2\pi}{3} , k\in \mathbb{Z}$

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x =- \frac{\pi }{9}$

Đáp án: A

Giải bài 5 trang 42 Toán 11 CTST

Số nghiệm của phương trình tanx = 3 trong khoảng $\left ( -\frac{\pi }{2}; \frac{7\pi }{3} \right )$ là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

$tanx = 3\Leftrightarrow x = 1,25 + k\pi , k\in \mathbb{Z}$

Ta có: $-\frac{\pi}{2}< x<\frac{7\pi }{3}$. Suy ra: $-\frac{\pi}{2}<1,25 + k\pi<\frac{7\pi }{3}, k\in \mathbb{Z}$

Hay $-0,9 < k < 1,9, k\in \mathbb{Z}$

Có 2 số nguyên k thoả mãn. Vậy phương trình tanx = 3 có 2 nghiệm

Đáp án: B

Giải bài 6 trang 42 Toán 11 tập 1

Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức: h(t) = 29 + 3sin$\frac{\pi }{12}$(t − 9) với h tính bằng độ C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ C và vào lúc mấy giờ?

A. 32^oC, lúc 15 giờ

B. 29^oC, lúc 9 giờ

C. 26^oC, lúc 3 giờ

D. 26^oC, lúc 0 giờ

Lời giải

Đáp án C

Giải bài 7 trang 42 Toán 11 tập 1

Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?

Lời giải

Trong 3 giây, quạt quay được: 3.$\frac{45}{60}$ = $\frac{9}{4}$ (vòng)

Vậy quạt quay dược một góc: 2π . $\frac{9}{4}$ = $\frac{9\pi }{2}$ (rad)

Giải bài 8 trang 42 Toán 11 tập 1

Cho $cos\alpha = \frac{1}{3} và -\frac{\pi }{2}<\alpha <0$. Tính

a) $sin\alpha$

b) $sin2\alpha$

c) $cos\left ( \alpha +\frac{\pi }{3} \right )$

Lời giải

a) Do $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0 nên sin\alpha < 0$

$sin\alpha = -\sqrt{1-cos^{2}\alpha } = \frac{-2\sqrt{2}}{3}$

b) $sin2\alpha =2sin\alpha .cos=2\frac{-2\sqrt{2}}{3}.\frac{1}{3} = \frac{-4\sqrt{2}}{9}$

c) $cos\left ( \alpha +\frac{\pi }{3} \right ) = cos\alpha .cos\frac{\pi }{3}-sin\alpha .sin\frac{\pi }{3}$

$cos\left ( \alpha +\frac{\pi }{3} \right ) = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}-\frac{-2\sqrt{2}}{3} .\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+2\sqrt{6}}{6}$

Giải bài 9 trang 42 Toán 11 tập 1

Chứng minh đẳng thức lượng giác:

a) $sin(\alpha +\beta ).sin(\alpha -\beta ) = sin^{2}\alpha -sin^{2}\beta$

b) $cos^{4}\alpha -cos^{4}\left ( \alpha -\frac{\pi }{2} \right ) = cos2\alpha$

Lời giải

a) $sin(\alpha +\beta ).sin(\alpha -\beta )$

$= \frac{1}{2}.\left (cos2\beta -cos2\alpha \right )$

$= \frac{1}{2}.(1-2sin^{2}\beta -1+2sin^{2}\alpha )$

$= sin^{2}\alpha -sin^{2}\beta$

b) $cos^{4}\alpha -cos^{4}\left ( \alpha -\frac{\pi }{2} \right )$

$= cos^{4}\alpha -sin^{4}\alpha$

$= (cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha )(cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha )$

$= cos2\alpha$

Giải bài 10 trang 42 Toán 11 tập 1

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $sin\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )-sin2x = 0$ là bao nhiêu?

Lời giải

$sin\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )-sin2x = 0$

$\Leftrightarrow sin\left ( x+\frac{\pi }{6} \right )=sin2x$

$\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi, k\in \mathbb{Z} hoặc x+\frac{\pi }{6} = \pi -2x + k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = -\frac{\pi }{6} -k2\pi ,k\in \mathbb{Z} hoặc x =\frac{5\pi }{18} + k.\frac{2\pi }{3}, k\in \mathbb{Z}$

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: $\frac{5\pi }{18}$

Giải bài 11 trang 42 Toán 11 tập 1

Giải các phương trình sau:

a) sin2x + cos3x = 0

b) $sinxcosx = \frac{\sqrt{2}}{4}$

c) sinx + sin2x = 0

Lời giải

a) sin2x + cos3x = 0

$\Leftrightarrow cos\left ( 2x-\frac{\pi }{2} \right )+cos3x = 0$

$\Leftrightarrow 2.cos\left ( \frac{5}{2}x-\frac{\pi }{4} \right ).cos\left ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} \right )=0$

$\Leftrightarrow cos\left ( \frac{5}{2}x-\frac{\pi }{4} \right ) = 0 hoặc cos\left ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} \right ) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{5}{2}x-\frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2}+k\pi , k\in \mathbb{Z} hoặc \frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2}+k\pi$

$\Leftrightarrow x = \frac{3\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}, k\in \mathbb{Z} hoặc x = \frac{\pi }{2} +k2\pi,k\in \mathbb{Z}$

b) $\Leftrightarrow \frac{1}{2}cos2x = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow cos2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4}+k2\pi , k\in \mathbb{Z} hoặc 2x = -\frac{\pi }{4}+k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8}+k\pi , k\in \mathbb{Z} hoặc x = -\frac{\pi }{8}+k\pi , k\in \mathbb{Z}$

c) sinx + sin2x = 0

$\Leftrightarrow sinx = -sin2x$

$\Leftrightarrow sinx = sin(-2x)$

$\Leftrightarrow x = -2x + k2\pi ,k\in \mathbb{Z} hoặc x = \pi +2x + k2\pi , k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x = k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z} hoặc x = -\pi – k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

Giải bài 12 trang 42 Toán 11 tập 1

Độ sâu h (m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm t (giờ) sau khi thuỷ triểu lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức h(t) = 0,8cos0,5t + 4.

a) Độ sâu của nước vào thời điểm t = 2 là bao nhiêu mét?

b) Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu 3,6 m để có thể di chuyển ra vào cảng an toàn. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy cho biết trong vòng 12 tiếng đầu tiên sau khi thuỷ triểu lên lần đầu tiên, ở những thời điểm t nào tàu có thể hạ thuỷ. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải

a) Tại thời điểm t = 2. Ta có: h(t) = 0,8.cos(0,5.2) + 4 = 4,43 (m)

b)

Dựa vào đồ thị hàm số cos:

Những thời điểm tàu không thể hạ thuỷ là khi 0,8cos0,5t + 4 < 3,6 ⇔ cos0,5t < −0,5

⇔ 2π/3 < 0,5t < 4π/3

⇔ 4,19 < t <8,38

Vậy thời điểm tàu có thể hạ thuỷ là (0;4,19) ∪ (8,38;12)

Giải bài 13 trang 42 Toán 11 tập 1

Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức v = −3sin(1,5t + $\frac{\pi }{3}$).

Xác định các thời điểm t mà tại đó:

a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất

b) Vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s

Lời giải

a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất khi $sin\left ( 1,5t +\frac{\pi }{3} \right )=-1$

$\Leftrightarrow 1,5t +\frac{\pi }{3} = \frac{3\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow t = \frac{7\pi}{9}+ \frac{4\pi}{3}k,k\in \mathbb{Z}$

b) Khi v = 1,5 Ta có:

$sin\left ( 1,5t +\frac{\pi }{3} \right )= \frac{-1}{2}$

$\Leftrightarrow 1,5t +\frac{\pi }{3} = \frac{7\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z} hoặc 1,5t +\frac{\pi }{3} = \frac{-\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow t = \frac{5\pi}{9}+ \frac{4\pi}{3}k,k\in \mathbb{Z} hoặc t = \frac{-\pi}{3}+ \frac{4\pi}{3}k,k\in \mathbb{Z}$

Giải bài 14 trang 42 Toán 11 CTST

Trong Hình 1, cây xanh AB nằm trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều cao 5 m. Bóng của cây là BE. Vào ngày xuân phân và hạ phân, điểm E di chuyển trên đường thẳng Bx. Góc thiên đỉnh $\theta _{t} = (AB, AE)$ phụ thuộc vào vị trí của Mặt trời và thay đổi theo thời gian trong ngày theo công thức $\theta _{t} = (AB, AE) = \frac{\pi }{12}(t-12)$ rad với t là thời gian trong ngày (theo đơn vị giờ, 6 < t < 18)

a) Viết hàm số biểu diễn toạ độ của điểm E trên trục Bx theo t.

b) Dựa vào đồ thị hàm số tang, hãy xác định các thời điểm mà tại đó bóng cây phủ qua vị trí tường rào N biết N nằm trên trục Bx với toạ độ là $x_{N} = -4 (m)$. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười

Lời giải

a) $x_{E} = 5tan\frac{\pi }{12}(t-12)$

b) Do 6 < t < 18 nên $\frac{-\pi }{2}<\frac{\pi }{12}(t-12) < \frac{\pi }{2}$

Dựa vào đồ thị hàm tan:

Bóng cây phủ qua tường rào khi $x_{E} < -4 \Leftrightarrow tan\frac{\pi }{12}(t-12) < \frac{-4}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{\pi }{12}(t-12) < -0,67 \Leftrightarrow t < 9,4$

Vậy thời điểm bóng cây phủ qua hàng rào là 6 < t < 9,4