Toán 11 tập 1 trang 100 Bài 14: Phép chiếu song song

Giải toán 11 tập 1 trang 100 Bài 14 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 1 trang 95

HĐ 1 trang 95 toán 11 tập 1

Một khung cửa sổ có dạng hình tròn với các chấn song tạo thành hình vuông ABCD, hai đường chéo của hình vuông cắt nhau tại O. Dưới ánh mặt trời, khung cửa và các chắn song đổ bóng lên sàn nhà (H.4.56a). Quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi sau:

a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A’, B’, C’ có đôi một song song hay không?

b) Làm thế nào để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ?

Hướng dẫn::

Cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ và đường thẳng  cắt $\left( \alpha  \right)$. Với mỗi điểm M trong không gian ta xác định điểm M’ như sau:

Nếu M thuộc d thì M’ là giao điểm của $\left( \alpha  \right)$ và d.

Nếu M không thuộc d thì M’ là giao điểm của $\left( \alpha  \right)$ và đường thẳng qua M song song với d.

Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ theo phương d.

Lời giải:

a) Các đường thẳng nối mỗi điểm A, B, C với bóng A’, B’, C’ có đôi một song song.

b) Để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ ta lấy một đường thẳng a cố định song song với ánh mặt trời.

Điểm O’ là giao điểm của sàn nhà và đường thẳng đi qua O song song với a.

Tương tự, ta xác định được các điểm A’, B’, C’, D’.

Toán 11 tập 1 trang 96

CH trang 96 toán 11 tập 1

Trong HĐ1, làm thế nào để xác định được bóng của toàn bộ song cửa CD trên sàn nhà?

Hướng dẫn::

Cho hình ℜ”>R, tập hợp các hình chiếu ℜ′”>R′ của các điểm M thuộc ℜ”>R qua phép chiếu song song được gọi là hình chiếu của R qua phép chiếu song song đó.

Lời giải:

Để xác định được bóng của toàn bộ song cửa CD, ta xác định bóng của từng điểm C và D trên sàn nhà là C’ và D’. Khi đó C’D’ chính là bóng của song cửa CD.

LT 1 trang 97 toán 11 tập 1

Cho hình hộp ABCD.EFGH (H.4.58). Xác định hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (CDHG) theo phương BC và theo phương BG.

Hướng dẫn::

Cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ và đường thẳng  cắt $\left( \alpha  \right)$. Với mỗi điểm M trong không gian ta xác định điểm M’ như sau:

Nếu M thuộc d thì M’ là giao điểm của $\left( \alpha  \right)$ và d.

Nếu M không thuộc d thì M’ là giao điểm của $\left( \alpha  \right)$ và đường thẳng qua M song song với d.

Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ theo phương d.

Lời giải:

Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên BG //AH.

Vì A thuộc mặt phẳng (ABFE) nên H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (CDHG) theo phương BG.

Toán 11 tập 1 trang 97

VD 1 trang 97 toán 11 tập 1

Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng có vị trí như thế nào với vạch vôi?

Hướng dẫn::

Dựa vào phương pháp tìm hình chiếu của 1 điểm theo phương song song.

Lời giải:

Khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng nằm phía trong vạch vôi cùng bờ với khung thành.

HĐ 2 trang 97 toán 11 tập 1

Quan sát Hình 4.56a và trả lời các câu hỏi sau:

a) Hình chiếu O’ của điểm O có nằm trên đoạn A’C’ hay không?

b) Hình chiếu của hai song cửa AB và CD như thế nào với nhau?

c) Hình chiếu O’ của điểm O có phải là trung điểm của đoạn A’C’ hay không?

Hướng dẫn::

Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Lời giải:

a) Hình chiếu O’ của điểm O nằm trên đoạn A’C’.

b) Hình chiếu song song của AB và CD song song với AB và CD.

c) Hình chiếu O’ của điểm O là trung điểm của đoạn A’C’.

Toán 11 tập 1 trang 98

LT 2 trang 98 toán 11 tập 1

Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang (H.4.61).

Hướng dẫn::

Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Lời giải:

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD, do đó hình chiếu của AB là A’B’ song song với hình chiếu của CD là C’D’.

Tứ giác A’B’C’D’ có A’B’ // C’D’ nên nó là hình thang.

LT 3 trang 98 toán 11 tập 1

Một phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’, biến M thành M’. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến đường trung bình của tam giác ABC thành đường trung bình của tam giác A’B’C’.

Hướng dẫn::

Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Lời giải:

Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Vì M là trung điểm của BC nên B, M, C thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{{BM}}{{MC}} = 1$.

Do vậy, B’, M’, C’ thẳng hàng theo thứ tự đó và $\frac{{B’M’}}{{M’C’}} = 1$.

Tức M’ là trung điểm của B’C’.

Tương tự, N’ là trung điểm của A’C’.

Vậy M’N’ là đường trung bình của tam giác A’B’C’.

HĐ 3 trang 98 toán 11 tập 1

Trong ba hình dưới đây, hình nào thể hiên hình lập phương chính xác hơn?

Hướng dẫn::

Hình lập phương là hình khối có chiều dài, chiều rộng và chiều cao đều bằng nhau. Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông bằng nhau.

Lời giải:

Hình a thể hiện hình lập phương chính xác hơn.

Toán 11 tập 1 trang 99

LT 4 trang 99 toán 11 tập 1

Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn::

Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

Lời giải:

Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là hình tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng có các mặt bên là hình tam giác.

ABCD là hình bình hành nên hình biểu diễn của nó cũng là hình bình hành

Từ đó, ta vẽ được hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD

VD 2 trang 99 toán 11 tập 1

Phép chiếu song song có thể được sử dụng để vẽ dạng nổi (hay dạng 3D) của chữ cái như trong hình dưới đây. Theo phương pháp đó hãy vẽ dạng nổi của một số chữ cái quen thuộc như L, N, T,…

Lời giải:

Toán 11 tập 1 trang 100

Bài 4.29 trang 100 Toán 11 tập 1

Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?

a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.

c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.

d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.

Lời giải

a) Đúng

b) Sai. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trung nhau

c) Sai. Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác.

d) Đúng

Bài 4.30 trang 100 Toán 11 tập 1

Nếu tam giác A′B′C′ là hình chiếu của tam giác ABC qua một phép chiếu song song thì tam giác ABC có phải là hình chiếu của tam giác A′B′C′qua một phép chiếu song song hay không? Giải thích vì sao.

Lời giải

Nếu tam giác A′B′C′ là hình chiếu của tam giác ABC theo phương d thì tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A′B′C′ vì tam giác ABC là tập hợp tất cả các hình chiếu của các điểm thuộc A’B’C’ qua phép chiếu song song theo phương d

Bài 4.31 trang 100 Toán 11 tập 1

Phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A′B′C′. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác ABC thành trọng tâm của tam giác A′B′C

Lời giải

Vì K là trung điểm BC nên B, K, C thẳng hàng theo thứ tự đó và BK = KC. Do vậy B’, K’, C’ thẳng hàng theo thứ tự đó và B’K’ = K’C’, tức K’ là trung điểm B’C’.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên A, G, K thẳng hàng theo thứ tự đó và AG = 2GK. Do vậy A, G’, K’ thẳng hàng theo thứ tự đó và A’G’ = 2G’K’, tức G là trọng tâm tam giác A’B’C’

Bài 4.32 trang 100 Toán 11 tập 1

Hình 4.65 có thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều hay không? Vì sao?

Lời giải

Hình 4.65 có thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều. Vì nó có 6 cạnh và các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Bài 4.33 trang 100 Toán 11 tập 1

Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB song song với CD và AB = 2cm, CD = 6cm

Lời giải

Hình chóp S.ABCD có các mặt bên là hình tam giác nên hình biểu diễn của nó cũng các mặt bên là hình tam giác

Hình thang ABCD có AB//CD và AB=2cm, CD=6cm nên hình biểu diễn của ABCD là một hình thang có đáy CD gấp ba đáy BC

Từ đó, ta vẽ được hình biểu diễn của S.ABCD

Bài 4.34 trang 100 Toán 11 tập 1

Trong hình bên, AB và CD là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời. Hãy giải thích tại sao AB song song với CD

Lời giải

Vì các thanh chắn của chiếc thang song song với với nhau nên hình chiếu của chúng cũng song song với nhau