Toán 11 tập 1 trang 124 Bài tập cuối chương 5
Bài tập cuối chương 5
Giải toán 11 tập 1 trang 124 Bài tập cuối chương 5 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Toán 11 tập 1 trang 123
Bài 5.18 trang 123 Toán 11 tập 1
Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n}$. Mệnh đề đúng là:
A. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=-\infty$
B. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=1$
C. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=+\infty$
D. $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}u_{n}=0$
Lời giải
Đáp án: C
Bài 5.19 trang 123 Toán 11 tập 1
Cho $u_{n}=\frac{2+2^{2}+…+2^{n}}{2^{n}}$. Giới hạn của dãy số $(u_{n})$ bằng
A. 1
B. 2
C. -1
D. 0
Lời giải
Đáp án: D
Bài 5.20 trang 123 Toán 11 tập 1
Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) với un = $\frac{2}{3^{n} }$ . Tổng của cấp số nhân này bằng
A. 3
B. 2
C. 1
D. 6
Lời giải
Đáp án: C
Bài 5.21 trang 123 Toán 11 tập 1
Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}$. Mệnh đề đúng là:
A. $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-\infty$
B. $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=0$
C. $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-1$
D. $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x)=-\frac{1}{2}$
Lời giải
Đáp án: B
Bài 5.22 trang 123 Toán 11 tập 1
Cho hàm số $f(x)=\frac{x-x^{2}}{|x|}$. Khi đó $\underset{x\rightarrow 0^{+} }{lim}f(x)$ bằng
A. 0
B. 1
C. $+\infty$
D. -1
Lời giải
Đáp án: B
Bài 5.23 trang 123 Toán 11 tập 1
Cho hàm số f(x) = $\frac{x+1}{|x+1|}$. Hàm số f(x) liên tục trên
A. (−∞; +∞)
B. (−∞; 1]
C. (−∞;−1) ∪ (−1;+∞)
D. [−1;+∞)
Lời giải
Đáp án: C
Bài 5.24 trang 123 Toán 11 tập 1
Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}+x-2}{x-1} nếu x\neq 1\\ a nếu x = 1 \end{matrix}\right.$. Hàm số f(x) liên tục tại x = 1 khi
A. a = 0
B. a = 3
C. a = -1
D. a = 1
Lời giải
$\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{2}+x-2}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}(x+2)=3$
Để f(x) liên tục tại x = 1 thì $\underset{x\rightarrow 1}{lim}=f(1)$ suy ra a = 3
Đáp án: B
Toán 11 tập 1 trang 124
Bài 5.25 trang 124 Toán 11 tập 1
Cho dãy số (un) có tính chất | un − 1 | < $\frac{2}{n}$ . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?
Lời giải
|un− 1 < $\frac{2}{n}$ ⇔ $\frac{-2}{n}$ < un − 1 < $\frac{2}{n}$ ⇔ $\frac{-2}{n}$ + 1 < un < $\frac{2}{n}$ + 1
lim($\frac{-2}{n}$ + 1) = 1; lim($\frac{2}{n}$ + 1) = 1
⇒ limun = 1
Bài 5.26 trang 124 Toán 11 tập 1
Tìm giới hạn của các dãy số sau:
a) $u_{n}=\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}$
b) $v_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}$
c) $w_{n}=\frac{sin n}{4n}$
Lời giải
a) $lim u_{n}=lim\frac{n^{2}}{3n^{2}+7n-2}=lim\frac{1}{3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^{2}}}=\frac{1}{3}$
b) $lim\sum_{k=0}^{n}\frac{3^{k}+5^{k}}{6^{k}}=lim\sum_{k=0}^{n}\frac{(\frac{1}{2})^{k}+(\frac{5}{6})^{k}}{1^{k}}=0$
c) $lim\frac{sinn}{4}=lim[(\frac{sinn}{n})\times \frac{1}{4}]=\frac{1}{4}$
Bài 5.27 trang 124 Toán 11 tập 1
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số
a) 1.(01)
b) 5.(132)
Lời giải
a) Ta có: 1.(01) = 1 + 0.01 + 0.0001 + 0.000001 +…
= 1 + 1 × 10−2 + 1 × 104 + 1 × 106 +…
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, q = 10−2 nên 1.(01) = $\frac{u_{1} }{1 – q}$ = $\frac{1}{1 – 10^{-2} }$ = $\frac{100}{99}$
b) Ta có: 5.(132) = 5 + 0.132 + 0.000132 + 0.000000132 +…
$=5+132\times 10^{-3}+132\times 10^{-6}+132\times 10^{-9}+…$
$132\times 10^{-3}+132\times 10^{-6}+132\times 10^{-9}+…$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=132\times 10^{-3}, q=10^{-3}$ nên $5.(132)=5+\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{132\times 10^{-3}}{1-10^{-3}}=\frac{1709}{333}$
Bài 5.28 trang 124 Toán 11 tập 1
Tính các giới hạn sau:
a) $\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}$
b) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}$
c) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2}}$
d) $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{4x^{2}+1}}$
Lời giải
a) $\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}=\underset{x\rightarrow 7}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+2}+3}=\frac{1}{6}$
b) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}=\frac{3}{2}$
c) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[(2-x)(\frac{1}{(1-x)^{2}})]$
$\underset{x\rightarrow 1}{lim}(2-x)=1$
$\underset{x\rightarrow 1}{lim}(\frac{1}{(1-x)^{2}})=+\infty$
$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-x}{(1-x)^{2})}=+\infty$
d) $\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{x+2}{\sqrt{4x^{2}+1}}=\underset{x\rightarrow -\infty }{lim}\frac{1+\frac{2}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}=-\frac{1}{2}$
Bài 5.29 trang 124 Toán 11 tập 1
Tính các giới hạn một bên
a) $\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{|x-3|}$
b) $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1-x}}$
Lời giải
a) $x\rightarrow 3^{+}\Rightarrow x-3>0$
$\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{|x-3|}=\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}\frac{x^{2}-9}{x-3}=\underset{x\rightarrow 3^{+}}{lim}(x+3)=6$
b) $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}x=1$
$\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{1}{\sqrt{1-x}}=+\infty$
$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1-x}}=+\infty$
Bài 5.30 trang 124 Toán 11 tập 1
Chứng minh rằng giới hạn $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$ không tồn tại
Lời giải
$f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$
Ta lấy hai dãy của biến hội tụ về 0 $x_{n}^{(1)}=\frac{1}{n};x_{n}^{(2)}=\frac{-1}{n}$
Khi đó: $limf(x_{n}^{(1)})=lim\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1$
$limf(x_{n}^{(2)})=lim\frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}}=-1$
$\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(x_{n}^{(1)})\neq \underset{x\rightarrow \infty }{lim}(x_{n}^{(2)})$
Vậy không tồn tại $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{|x|}{x}$
Bài 5.31 trang 124 Toán 11 tập 1
Giải thích tại sao các hàm số sau đây gián đoạn tại điểm đã cho
a) $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x} nếu x\neq 0\\ 1 nếu x =0\end{matrix}\right. tại điểm x = 0$
b) $g(x)=\left\{\begin{matrix}1+x nếu x <1\\ 2-x nếu x\geq 1\end{matrix}\right. tại điểm x = 1$
Lời giải
a) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{1}{x}=+\infty$
f(0) = 1
Vì $f(0)\neq \underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)$ suy ra hàm số gián đoạn tại x = 0
b) $\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}(1+x)=2$
$\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}(2-x)=1$
$\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}(gx)\neq \underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}$ do đó không tồn tại $\underset{x\rightarrow 1}{lim}(gx)$
Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1
Bài 5.32 trang 124 Toán 11 tập 1
Lực hấp dẫn tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất là $F(r) = \left\{\begin{matrix} \frac{GMr}{R^{3} } nếu r < R \\ \frac{GM}{r^{2} } nếu r \geq R\end{matrix}\right.$ , trong đó M và R là khối lượng và bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Xét tính liên tục của hàm số F(r)
Lời giải
F(r) liên tục trên khoảng $[0;+\infty )$
Bài 5.33 trang 124 Toán 11 tập 1
Tìm tập xác định của các hàm số sau và giải thích tại sao các hàm số này liên tục trên các khoảng xác định của chúng
a) $f(x)=\frac{cosx}{x^{2}+5x+6}$
b) $g(x)=\frac{x-2}{sinx}$
Lời giải
a) Tập xác định : D = R\{-2;-3}
b) Tập xác định: D = R\{k$\pi$ }