Toán 11 tập 1 trang 16 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Giải toán 11 tập 1 trang 16 Bài 1 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 1 trang 5

HĐ 1 trang 5 toán 11 tập 1

Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.

a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?

c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?

Hướng dẫn::

Đồng hồ được chia thành từng phần theo các số, kim phút đi qua bao nhiêu số thì quay bấy nhiêu phần của vòng tròn.

Lời giải:

a) Khi kim phút quay theo ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12, kim phút quay:

$\frac{2}{{12}} = \frac{1}{6}$ phần của vòng tròn

b) Khi kim phút quay theo đúng chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12, kim phút quay:

$\frac{{10}}{{12}} = \frac{5}{6}$ phần của vòng tròn

c) Có 2 cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12, đó là: ngược chiều kim đồng hồ và cùng chiều kim đồng hồ

Toán 11 tập 1 trang 7

LT 1 trang 7 toán 11 tập 1

Cho góc hình học  $\widehat {uOv} = {45^0}$. Xác định số đo của góc lượng giác $(Ou,Ov)$ trong mỗi trường hợp sau:

Hướng dẫn::

Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của nó.

Lời giải:

a) Ta có:

– Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov có số đo là $(Ou,Ov) = {45^ \circ } + k{.360^ \circ }$

b) Ta có:

– Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov có số đo là $(Ou,Ov) =  – {315^ \circ } + k{.360^ \circ }$

HĐ 2 trang 7 toán 11 tập 1

Cho ba tia Ou, Ov, Owvới số đo của các góc hình học uOv và vOw lần lượt là ${30^ \circ }$ và ${45^ \circ }$

a) Xác định số đo của ba góc lượng giác $(Ou,Ov)$ ,$(Ov,Ow$ và $(Ou,Ow)$  được chỉ ra ở Hình 1.5.

b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên k để

sđ$(Ou,Ov)$ + sđ$(Ov,Ow$ = sđ $(Ou,Ow)$ + k${.360^ \circ }$

Hướng dẫn::

Xác định các tia đầu, tia cuối và chiều quay để tìm được số đo của các góc lượng giác.

Lời giải:

a) Ta có:

– Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov có số đo là

sđ$(Ou,Ov) =  {30^ \circ } + n{.360^ \circ }$

– Các góc lượng giác tia đầu Ov, tia cuối Ow có số đo là

sđ $(Ov,Ow) =  {45^ \circ } + m{.360^ \circ }$

– Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ow có số đo là

sđ $(Ou,Ow) =  {75^ \circ } + k{.360^ \circ }$

b) Với các góc lượng giác ở câu a, ta có:

$sđ(Ou,Ov) +sđ (Ov,Ow)$

$  =  {30^ \circ } + n{.360^ \circ } + {45^ \circ } + m{.360^ \circ } $

$= {75^ \circ } + (n+m){.360^ \circ } $

$= {75^ \circ } + k{.360^ \circ = sđ (Ou,Ow)} $

với  k = n + m

Toán 11 tập 1 trang 8

LT 2 trang 8 toán 11 tập 1

Cho một góc lượng giác $(O x, O u)$ có số đo $240^{\circ}$ và một góc lượng giác $(O x, O v)$ có số đo $-270^{\circ}$. Tính số đo của các góc lượng giác $(O u, O v)$.

Hướng dẫn::

Áp dụng hệ thức Charles: Với ba tia tùy ý $O x, O u, O v $, ta có:

sđ$(Ou,Ov)$ = sđ$(Ox,Ov)$ – sđ $(Ox,Ou)$ + k${.360^ \circ }$

Lời giải:

Số đo của các góc lượng giác tia đầu $O u$, tia cuối $O v$ là

$sđ(O u, O v) = sđ(O x, O v)  –  sđ(O x, O u)+ k{360}^{\circ}(k \in \mathbb{Z}) $

$=-270^{\circ}-240^{\circ}+k 360^{\circ}=-510^{\circ}+k 360^{\circ} $
$ =-150^{\circ}+(k-1) 360^{\circ}=-150^{\circ}+n 360^{\circ} \quad(n=k-1, n \in \mathbb{Z})
$
Vậy các góc lượng giác $(O u, O v)$ có số đo là $-150^{\circ}+n 360^{\circ} \quad(n \in \mathbb{Z})$.

Toán 11 tập 1 trang 9

LT 3 trang 9 toán 11 tập 1

a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: ${360^ \circ }, – {450^ \circ }$

b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: $3\pi , – \frac{{11\pi }}{5}$

Hướng dẫn::

Áp dụng công thức:

${\alpha ^ \circ } = \alpha .\frac{\pi }{{180}}rad$ ; $\alpha \,rad = \alpha .{\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^ \circ }$

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}{360^ \circ } = 360.\frac{\pi }{{180}} = 2\pi \\ – {450^ \circ } = -450.\frac{\pi }{{180}} = -\frac{5}{2}\pi \end{array}$

b)$3\pi  = 3\pi .{\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^ \circ } = {540^ \circ }$

$ – \frac{{11\pi }}{5} = \left( { – \frac{{11\pi }}{5}} \right).{\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^ \circ } =  – {396^ \circ }$

HĐ 3 trang 9 toán 11 tập 1

Cho đường tròn bán kính R.

a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là bao nhiêu

b) Tính độ dài l của cung tròn có số đo $\alpha $rad.

Hướng dẫn::

Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn.

Lời giải:

a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là bằng bán kính R.

b) Độ dài l của cung tròn có số đo $\alpha $ rad: $l = R\alpha $.

VD 1 trang 10 toán 11 tập 1

Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km (H.1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45° ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6 400 km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Hướng dẫn::

Một cung của đường tròn bán kính R và số đo $\alpha $ rad thì có độ dài $l = R\alpha $.

Lời giải:

Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là R = 6 400 + 400 = 6 800 (km).

Đổi $45{}^\circ =45\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{4}$.

Vậy trong khi được trạm mặt đất theo dõi, trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là $l = R\alpha \text{ = }6\,800\cdot \frac{\pi }{4}\approx 5\,340,708\approx 5\,341\,(km)$.

Toán 11 tập 1 trang 10

HĐ 4 trang 10 toán 11 tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ  vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm  của đường tròn với trục . Ta quy ước chiều dương của đường tròn là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.

a) Xác định điểm  trên đường tròn sao cho sđ$(OA,OM) = \frac{{5\pi }}{4}$

b) Xác định điểm  trên đường tròn sao cho sđ$(OA,ON) =  – \frac{{7\pi }}{4}$

Hướng dẫn::

Đường tròn lượng giác có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, lấy điểm A(1;0) là gốc của đường tròn.

Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo  là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ$(OA,OM) = \alpha $

Lời giải:

a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{{5\pi }}{4}$ được xác định trong hình.

b) Điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng$ – \frac{{7\pi }}{4}$được xác định là điểm chính giữa cung BA.

Toán 11 tập 1 trang 11

LT 4 trang 11 toán 11 tập 1

Xác định điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng $ – \frac{{15\pi }}{4}$và ${420^ \circ }$

Hướng dẫn::

Đường tròn lượng giác có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, lấy điểm A(1;0) là gốc của đường tròn.

Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo  là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ$(OA,OM) = \alpha $

Lời giải:

Điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $ – \frac{{15\pi }}{4} =  – \frac{{7\pi }}{4} + ( – 1).2\pi $ được xác định là điểm M.

Ta có $\frac{{420}}{{360}} = 1+ \frac{1}{6}$ Ta chia đường tròn thành 6 phần bằng nhau. Khi đó điểm N là điểm biểu diễn bởi góc có số đo ${420^ \circ }$

HĐ 5 trang 11 toán 11 tập 1

Nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác $\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha ,\cot \alpha $ của góc $\alpha $$({0^ \circ } \le \alpha  \le {180^ \circ })$ đã học ở lớp 10

Hướng dẫn::

Dựa vào kiến thức đã học để nhắc lại.

Lời giải:

+) Nửa đường tròn đơn vị: nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành (H.3.2).

+) Với mỗi góc $\alpha ({0^o} \le \alpha  \le {180^o})$có duy nhất điểm $M({x_0};{y_0})$ trên nửa đường tròn đơn vị nói trên để $\widehat {xOM} = \alpha .$ Khi đó:

$\sin \alpha  = {y_0}$ là tung độ của M

$\cos \alpha  = {x_0}$ là hoành độ của M

$\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha  \ne {90^o})$

$\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha  \ne {0^o},\alpha  \ne {180^o})$

Toán 11 tập 1 trang 12

LT 5 trang 12 toán 11 tập 1

Cho góc lượng giác có số đo bằng $\frac{{5\pi }}{6}$

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.

Hướng dẫn::

Áp dụng $\sin \alpha  = y$ ; $\cos \alpha  = x$ ; $\tan \alpha  =\frac{y}{x}$ ; $\cot \alpha  =\frac{x}{y}$

Lời giải:

a) Ta chia nửa đường tròn thành 6 phần bằng nhau. Khi đó điểm M là điểm biểu diễn bởi góc có số đo $\frac{{5\pi }}{6}$

b) Ta có:

$\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{1}{2};\cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{ – \sqrt 3 }}{2};\tan \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{ – \sqrt 3 }}{3};\cot \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{ – 3}}{{\sqrt 3 }}$

Toán 11 tập 1 trang 13

LT 6 trang 13 toán 11 tập 1

Sử dụng máy tính cầm tay để:

a) Tính: $\cos \frac{{3\pi }}{7};\tan ( – {37^ \circ }25′)$

b) Đổi ${179^ \circ }23’30”$ sang rađian;

c) Đổi $\frac{{7\pi }}{9}$(rad) sang độ.

Hướng dẫn::

Sử dụng máy tính cầm tay

Lời giải:

a) $\cos \frac{{3\pi }}{7} = 0,22252$;

$\tan ( – {37^ \circ }25′) = -0,765018$

b) Đổi 179°23’30” sang rađian ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 3,130975234

Vậy 179°23’30” ≈ 3,130975234 (rad).

c) $\frac{{7\pi }}{9}$ (rad) = $140^ \circ $”.

HĐ 6 trang 13 toán 11 tập 1

a) Dựa vào định nghĩa của $\sin \alpha $và $\cos \alpha $ hãy tính ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha $

b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của $\tan \alpha $, hãy tính $1 + {\tan ^2}\alpha $

Hướng dẫn::

Vẽ hình. Xác định các điểm $\sin \alpha $ và $\cos \alpha $ trên hình.

Sử dụng định lý Pytago để tính

Lời giải:

a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác $\alpha $ trên đường tròn lượng giác. Ta có:

OK = MH = $\sin \alpha $

OH = KM = $\cos \alpha $

$\begin{array}{l}O{M^2} = O{H^2} + M{H^2}\\ \Rightarrow 1 = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha \end{array}$

b) $1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$

Toán 11 tập 1 trang 14

LT 7 trang 14 toán 11 tập 1

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha $, biết $\cos \alpha  =  – \frac{2}{3}$ và $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$

Hướng dẫn::

Sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản để tính giá trị lượng giác góc $\alpha $. Chú ý dấu của giá trị lượng giác.

Lời giải:

Vì $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$nên $\sin \alpha  < 0$. Mặc khác, từ  ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$ suy ra

$\sin \alpha  = -\sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha }  = -\sqrt {1 – \frac{4}{9}}  = -\frac{{\sqrt 5 }}{3}$

Do đó    $\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{-\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{ – \frac{2}{3}}} =  \frac{{\sqrt 5 }}{2};\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{ 2}}{{\sqrt 5 }}$

HĐ 7 trang 14 toán 11 tập 1

Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đổi với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa $\cos ( – \alpha )$ và $\cos \alpha $; $\sin ( – \alpha )$và $\sin \alpha $

b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa: $\tan ( – \alpha )$ và $\tan \alpha $; $\cot ( – \alpha )$ và $\cot \alpha $

Hướng dẫn::

Dựa vào hình vẽ để nhận xét

Lời giải:

a) Hai điểm M và N đối xứng nhau qua hệ trục Oxy.

Suy ra

$\cos ( – \alpha )$=$\cos \alpha $; $\sin ( – \alpha )$= $ – \sin \alpha $

b) Ta có:

$\tan ( – \alpha )$ =$ – \tan \alpha $; $\cot ( – \alpha )$$ – \cot \alpha $

Toán 11 tập 1 trang 15

LT 8 trang 15 toán 11 tập 1

Tính:   a) $\sin ( – {675^ \circ })$     b) $\tan \frac{{15\pi }}{4}$

Hướng dẫn::

Áp dụng liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.

Lời giải:

Ta có: $\sin ( – {675^ \circ }) = \sin ({45^ \circ } – {2.360^ \circ }) = \sin {45^ \circ } = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\tan \frac{{15\pi }}{4} = \tan \left( {3\pi  + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \tan \left( {\pi  + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \tan \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) = \tan \left( {\pi  – \frac{\pi }{4}} \right) =  – \tan \left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  – 1$

Toán 11 tập 1 trang 16

VD 2 trang 16 toán 11 tập 1

Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

$B(t) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi t}}{{12}}$

Trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào cá thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng               b) 10 giờ 30 phút sáng;          c) 12 giờ trưa              d) 8 giờ tối

Hướng dẫn::

Tính thời gian t

Áp dụng liên hệ giữa các giá trị lượng giác giữa các góc có liên quan đặc biệt.

Lời giải:

a) t = 6

$ \Rightarrow B(6) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 6}}{{12}} = 80 + 7.\sin \frac{\pi }{2} = 87$

b) t=10,5

$ \Rightarrow B(10,5) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 10,5}}{{12}} = 80 + 7.\sin \frac{{7\pi }}{8} = 82,67878$

c) t=12

$ \Rightarrow B(12) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 12}}{{12}} = 80 + 7.\sin \pi  = 80$

d) t = 20

$\begin{array}{l} \Rightarrow B(20) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi 20}}{{12}} = 80 + 7.\sin \frac{{5\pi }}{3} = 80 + 7.\sin \left( {\pi  + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 80 – 7.\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 80 – 7.\sin \left( {\pi  – \frac{\pi }{3}} \right)\\ = 80 – 7.\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{160 – 7\sqrt 3 }}{2}\end{array}$

Bài 1.1 trang 16 Toán 11 tập 1

Hoàn thành bảng sau

Lời giải:

Bài 1.2 trang 16 Toán 11 tập 1

Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) $\frac{\pi }{12}$

b) 1.5

c) $35^{\circ}$

d) $315^{\circ}$

Lời giải:

a) Độ dài cung đường tròn: $l=20\times \frac{\pi }{12}=5.236$ (cm)

b) Độ dài cung đường tròn: $l=20\times 1.5=30$ (cm)

c) Đổi $35^{\circ}=\frac{7\pi }{36}$

Độ dài cung đường tròn: $l=20\times \frac{7\pi }{36}=12.2173$ (cm)

d) Đổi $315^{\circ}=\frac{7\pi }{4}$

Độ dài cung đường tròn: $l=20\times \frac{7\pi }{4}=109.9557$ (cm)

Bài 1.3 trang 16 Toán 11 tập 1

Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) $\frac{2\pi }{3}$

b) $-\frac{11\pi }{4}$

c) $150^{\circ}$

d) $315^{\circ}$

Lời giải

a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{2\pi }{3}$ được xác định trong hình sau:

b) Ta có: $-\frac{11\pi }{4}=-(\frac{3\pi }{4}+2\pi )$

Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $-\frac{11\pi }{4}$ được xác định trong hình sau:

c) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 150° được xác định trong hình sau:

d) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng – 225° được xác định trong hình sau:

Bài 1.4 trang 16 Toán 11 tập 1

Tính các giá trị lượng giác góc $\alpha$, biết

a) $cos\alpha =\frac{1}{5} và 0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

b) $sin\alpha =\frac{2}{3} và \frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$

c) $tan\alpha =\sqrt{5} và \pi < \alpha <\frac{3\pi }{2}$

d) $cot\alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}} và \frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$

Lời giải

a) Vì $0 < \alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $sin \alpha > 0$

Mặt khác, từ $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$

suy ra $sin\alpha =\sqrt{1-cos^{2}\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Do đó, $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=2\sqrt{6}$ và $cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{1}{2\sqrt{6}}$

b) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$  nên $cos\alpha<0$

Mặt khác, từ $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$

Suy ra $cos\alpha =-\sqrt{1-sin^{2}\alpha }=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

Do đó, $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5} và cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{-\sqrt{5}}{2}$

c) $cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{1}{2-\sqrt{5}}$

Vì $\pi < \alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $cos\alpha <0,sin\alpha <0$

Mặt khác, từ $1+tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha }$

suy ra $cos\alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+5}}=-\frac{1}{\sqrt{6}}$

Từ $1+cot^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha }$

suy ra $sin\alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{5}}}=-\frac{\sqrt{30}}{6}$

d) $tan\alpha =\frac{1}{cot\alpha }=-\sqrt{2}$

Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $cos\alpha >0,sin\alpha <0$

Mặt khác, từ $1+tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha }$

suy ra $cos\alpha =\sqrt{\frac{1}{1+tan^{2}\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Từ $1+cot^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha }$

suy ra $sin\alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+cot^{2}\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$

Bài 1.5 trang 16 Toán 11 tập 1

Chứng minh các đẳng thức:

a) $cos^{4}\alpha -sin^{4}\alpha =2cos^{2}\alpha -1$

b) $\frac{cos^{2}\alpha +tan^{2}\alpha -1}{sin^{2}\alpha }=tan^{2}\alpha$

Lời giải

a) $cos^{4}\alpha -sin^{4}\alpha =(cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha )(cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha )$

$=1\times (cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha )=cos^{2}\alpha -(1-sin^{2}\alpha )=2cos^{2}\alpha -1$

b) $\frac{cos^{2}\alpha +tan^{2}\alpha -1}{sin^{2}\alpha }=\frac{cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }+\frac{tan^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }-\frac{1}{sin^{2}\alpha }$

$=cot^{2}\alpha +\frac{\frac{sin^{2}\alpha }{cos^{2}\alpha }}{sin^{2}\alpha }-(1+cot^{2}\alpha )=\frac{1}{cos^{2}}-1=tan^{2}\alpha$

Bài 1.6 trang 16 Toán 11 tập 1

Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây

a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680mm

Lời giải

a) 1 giây bánh xe quay được số vòng là: $11:5=\frac{11}{5}$ (vòng)

Góc mà bánh xe quay được trong 1 giây: $\frac{11}{5}\times 360^{\circ}=792^{\circ}=4.4\pi$ (rad)

b) Ta có: 1 phút = 60 giây.

Trong 1 phút bánh xe quay được $60\times \frac{11}{5}=132$ vòng.

Chu vi của bánh xe đạp là: C = 680π (mm).

Quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong một phút là

680π$\times$ 132 = 89 760π (mm) = 89,76π (m).