Toán 11 tập 1 trang 21 Bài 2: Công thức lượng giác
Toán 11 tập 1 trang 21 Bài 2: Công thức lượng giác
Giải toán 11 tập 1 trang 21 Bài 2 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Toán 11 tập 1 trang 17
HĐ 1 trang 17 toán 11 tập 1
a) Cho $a = \frac{\pi }{3}$ và $b = \frac{\pi }{6}$, hãy chứng tỏ $\cos \left( {a – b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.
b) Bằng cách viết $a + b = a – \left( { – b} \right)$ và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính $\cos \left( {a + b} \right).$
c) Bằng cách viết $\sin \left( {a – b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} – \left( {a – b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} – a} \right) + b} \right]\;$và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính $\sin \left( {a – b} \right)$.
Hướng dẫn::
Tính giá trị các góc lượng giác đặc biệt
Sử dụng công thức hai góc phụ nhau.
Lời giải:
a) Ta có: VT = $\cos \left( {\frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{{6}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
$VP = \cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{6} = \frac{{1 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = VT$
Vậy $\cos \left( {a – b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$
b) Ta có: $\cos \left( {a + b} \right) = \cos (a–b) = \cos a\cos \left( { – b} \right) + \sin a\sin \left( { – b} \right) = \cos a\cos b – \sin a\sin b$
c) Ta có: $\sin \left( {a – b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} – \left( {a – b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} – a} \right) + b} \right] = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right)\cos b + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right)\sin b$
$ = \left( {\cos \frac{\pi }{2}\cos a + \sin \frac{\pi }{2}\sin a} \right)\cos b + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right)\sin b = \sin a\cos b + \cos a\sin b$
Toán 11 tập 1 trang 18
LT 1 trang 18 toán 11 tập 1
Chứng minh rằng:
a) $\sin x – \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)$;
b) $\tan \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) = \frac{{1 – \tan x}}{{1 + \tan x}}\;\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}} \right)\;$.
Hướng dẫn::
Sử dụng công thức cộng lượng giác. Xác định giá trị lượng giác đặc biệt.
Lời giải:
a) Ta có:
$\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {\sin x.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \cos x.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sin x + \cos x$
b) Ta có:
$\tan \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} – \tan x}}{{1 + \tan \frac{\pi }{4}\tan x}} = \frac{{1 – \tan x}}{{1 + \tan x}}\;$
VD trang 18 toán 11 tập 1
Giải bài toán trong tình huống mở đầu
Hướng dẫn::
Áp dụng công thức $\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$
Lời giải:
Ta có: $f\left( t \right) = {f_1}\left( t \right) + {f_2}\left( t \right) = 5\sin t + 5\cos t = 5\left( {\sin t + \cos t} \right) = 5\sqrt 2 \sin \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)$
Suy ra: $k = 5\sqrt 2 ,\;\varphi = \frac{\pi }{4}$.
Hoạt động 2 trang 18 toán 11 tập 1
Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: $\sin 2a;\cos 2a;\tan 2a$.
Hướng dẫn::
Sử dụng công thức cộng lượng giác
Lời giải:
$\sin 2a = \sin \left( {a + a} \right) = \sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a = 2\sin a\cos a$
$\cos 2a = \cos \left( {a + a} \right) = \cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b – \sin a\sin b = {\cos ^2}a – {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a – 1$
$ = 1 – 2{\sin ^2}a$
$\tan 2a = \tan \left( {a + a} \right) = \tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 – \tan a\tan b}} = \frac{{2\tan a}}{{1 – {{\tan }^2}a}}$
Toán 11 tập 1 trang 19
Luyện tập 2 trang 19 toán 11 tập 1
Không dùng máy tính, tính $\cos \frac{\pi }{8}$
Hướng dẫn::
Sử dụng công thức hạ bậc ${\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}$
Lời giải:
Ta có: ${\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}$
Suy ra: $\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } $
HĐ 3 trang 19 toán 11 tập 1
a) Từ các công thức cộng $\cos \left( {a + b} \right)$ và $\cos \left( {a – b} \right)$, hãy tìm: $\cos a\cos b;\sin a\sin b$.
b) Từ các công thức cộng $\sin \left( {a + b} \right)$ và $\sin \left( {a – b} \right)$, hãy tìm: $\sin a\cos b$.
Lời giải:
a) Ta có: $\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b + \cos a\cos b – \sin a\sin b = 2\cos a\cos b$
Suy ra: $\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a – b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\;$
b) Ta có: $\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a – b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b + \sin a\cos b – \cos a\sin b = 2\sin a\cos b$
Suy ra: $\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a – b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]$
LT 3 trang 19 toán 11 tập 1
Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:
$A = \cos {75^0}\cos {15^0}$;
$B = \sin \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}}$.
Hướng dẫn::
Áp dụng công thức:
$\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a – b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]$
$\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a – b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]$
Lời giải:
$A = \cos {75^0}\cos {15^0} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} – {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right] \\= \frac{1}{2}.\cos {60^0}.\cos {90^0} = 0$
$B = \sin \frac{{5\pi }}{{12}}\cos \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} – \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right] \\= \frac{1}{2}\sin \left( { – \frac{{2\pi }}{{12}}} \right).\sin \left( {\frac{{12\pi }}{{12}}} \right) = – \frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{6}\sin \pi = 0$
Hoạt động 4 trang 19 toán 11 tập 1
Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt $u = a – b,\;v = a + b$ và viết các công thức nhận được
Lời giải:
Ta có: $u = a – b;v = a + b$.
Suy ra $u + v = 2a \to a = \frac{{u + v}}{2}$
$u – v = 2b \to b = \frac{{u – v}}{2}$
Ta có: $\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}$
$\cos u – \cos v = – 2\sin \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u – v}}{2}$
$\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}$
$\sin u – \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u – v}}{2}$
Toán 11 tập 1 trang 20
Luyện tập 4 trang 20 toán 11 tập 1
Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức
$B = \cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9}$.
Hướng dẫn::
Sử dụng công thức: $\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u – v}}{2}$
Lời giải:
$B = \left( {\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}} \right) + \cos \frac{{11\pi }}{9} = \left( {2\cos \frac{{\frac{\pi }{9} + \frac{{5\pi }}{9}}}{2}\cos \frac{{\frac{\pi }{9} – \frac{{5\pi }}{9}}}{2}} \right) + \cos \frac{{11\pi }}{9} = 2\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{{2\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9}$
$ = \cos \frac{{2\pi }}{9} + \cos \frac{{11\pi }}{9} = 2\cos \frac{{\frac{{2\pi }}{9} + \frac{{11\pi }}{9}}}{2}\cos \frac{{\frac{{2\pi }}{9} – \frac{{11\pi }}{9}}}{2} = 2\cos \frac{{13\pi }}{{18}}\cos \frac{\pi }{2} = 0$
Vận dụng 2 trang 20 toán 11 tập 1
Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp ${f_1}$ và tần số cao ${f_2}$ liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm $y = \sin \left( {2\pi {f_1}t} \right) + \sin \left( {2\pi {f_2}t} \right)$, ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.
Hướng dẫn::
Sử dụng công thức: $\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a – b}}{2}$
Lời giải:
a) Khi nhấn phím 4, ta có sóng âm $y = \sin \left( {2\pi .770t} \right) + \sin \left( {2\pi .1209t} \right)$
b) Ta có: $\sin \left( {2\pi .770t} \right) + \sin \left( {2\pi .1209t} \right) = 2\sin \frac{{2\pi .770t + 2\pi .1209t}}{2}\cos \frac{{2\pi .770t – 2\pi .1209t}}{2}$
$ = – 2.\sin 1979\pi t.\sin 439\pi t$
Toán 11 tập 1 trang 21
Bài 1.7 trang 21 Toán 11 tập 1
Sử dụng $15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}$, hãy tính các giá trị lượng giác của góc $15^{\circ}$
Lời giải
$cos15^{\circ}=cos(45^{\circ}-30^{\circ})$
$=cos45^{\circ}cos30^{\circ}+sin45^{\circ}sin30^{\circ}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$sin15^{\circ}=sin(45^{\circ}-30^{\circ})$
$=sin45^{\circ}cos30^{\circ}-cos45^{\circ}sin30^{\circ}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$tan15^{\circ}=tan(45^{\circ}-30^{\circ})$
$=\frac{tan45^{\circ}-tan30^{\circ}}{1+tan45^{\circ}tan30^{\circ}}$
$=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$
$cot15^{\circ}=\frac{1}{tan15^{\circ}}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$
Bài 1.8 trang 21 Toán 11 tập 1
Tính:
a) $cos(a+\frac{\pi }{6})$, biết $sina=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha <\pi$
b) $tan(a-\frac{\pi }{4})$, biết $cosa=-\frac{1}{3}$ và $\pi < a<\frac{3\pi }{2}$
Lời giải
a) Vì $\frac{\pi }{2}< a<\pi$ suy ra cos a < 0
Ta có: $sin^{2}a+cos^{2}a=1$
$\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$
$cos(a+\frac{\pi }{6})=cosacos\frac{\pi }{6}-sinasin\frac{\pi }{6}$
$=-\frac{\sqrt{6}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{6}$
b) Vì $\pi < a<\frac{3\pi }{2}$ suy ra sina < 0
Ta có: $sin^{2}a+cos^{2}a=1$
$\Rightarrow sina=-\sqrt{1-cos^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\Rightarrow tana=\frac{sina}{cosa}=2\sqrt{2}$
$tan(a-\frac{\pi }{4})=\frac{tana-tan\frac{\pi }{4}}{1+tanatan\frac{\pi }{4}}$
$=\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}-1}{1+(-\frac{2\sqrt{2}}{3})}=-17+12\sqrt{2}$
Bài 1.9 trang 21 Toán 11 tập 1
Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết:
a) $sina=\frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2}< a<\pi$
b) $sina+cosa=\frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2}< a<\frac{3\pi }{4}$
Lời giải
a) Vì $\frac{\pi }{2}< a<\pi$ suy ra cosa < 0
Ta có: $sin^{2}a+cos^{2}a=1$
$\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^{2}a}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\Rightarrow tana=\frac{sina}{cosa}=2\sqrt{2}$
$sin2a=2sinacosa$
$=2\times \frac{1}{3}\times (-\frac{2\sqrt{2}}{3})=\frac{-4\sqrt{2}}{9}$
$cos2a=cos^{2}a-sin^{2}a$
$=\frac{8}{9}-\frac{1}{9}=\frac{7}{9}$
$tan2a=\frac{2tana}{1-tan{2}a}$
$=\frac{2\times 2\sqrt{2}}{1-(2\sqrt{2})^{2}}=\frac{-4\sqrt{2}}{7}$
b) $sina+cosa=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow (sina+cosa)^{2}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow sin^{2}a+cos^{2}a+2sinacosa=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow sin2a=\frac{1}{4}-1=\frac{-3}{4}$
Vì $\frac{\pi }{2}< a<\frac{3\pi }{4}$
$\Rightarrow \pi <2a<\frac{3\pi }{2}$
$\Rightarrow cos2a<0$
$cos2a=-\sqrt{1-sin^{2}2a}$
$=-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$
$tan2a=\frac{sin2a}{cos2a}=\frac{\frac{-3}{4}}{\frac{-\sqrt{7}}{4}}=\frac{3}{\sqrt{7}}$
Bài 1.10 trang 21 Toán 11 tập 1
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $A=\frac{sin\frac{\pi }{15}cos\frac{\pi }{10}+sin\frac{\pi }{10}cos\frac{\pi }{15}}{cos\frac{2\pi }{15}cos\frac{\pi }{5}-sin\frac{2\pi }{15}sin\frac{\pi }{5}}$
b) $B=sin\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$
Lời giải
a) $A=\frac{sin\frac{\pi }{15}cos\frac{\pi }{10}+sin\frac{\pi }{10}cos\frac{\pi }{15}}{cos\frac{2\pi }{15}cos\frac{\pi }{5}-sin\frac{2\pi }{15}sin\frac{\pi }{5}}$
$=\frac{\frac{1}{2}(sin\frac{-\pi }{30}+sin\frac{\pi }{6})+\frac{1}{2}(sin\frac{\pi }{30}+sin\frac{\pi }{6})}{\frac{1}{2}(cos\frac{-\pi }{15}+cos\frac{\pi }{3})-\frac{1}{2}(cos\frac{-\pi }{15}-cos\frac{\pi }{3})}$
$=\frac{-sin\frac{\pi }{30}+sin\frac{\pi }{30}+2sin\frac{\pi }{6}}{2cos\frac{\pi }{3}}$
$=\frac{sin\frac{\pi }{6}}{cos\frac{\pi }{3}}=1$
b) $B=sin\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{32}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$
$=\frac{1}{2}sin\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{16}cos\frac{\pi }{8}$
$=\frac{1}{4}sin\frac{\pi }{8}cos\frac{\pi }{8}=\frac{1}{8}sin\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{8}$
Bài 1.11 trang 21 Toán 11 tập 1
Chứng ming đẳng thức sau: sin(a + b)sin(a – b) = sin2a – sin2b = cos2b – cos2a
Lời giải
$sin(a+b)sin(a-b)$
= (sinacosb + cosasinb) (sinacosb – cosasina)
= (sinacosb)2 – (cosasinb)2
= sin2a(1 – sin2b) – (1 – sin2a)sin2b
$=sin^{2}a-sin^{2}b$
$=cos^{2}b(1-cos^{2}a)-cos^{2}a(1-cos^{2}b)$
$=cos^{2}b-cos^{2}a$
Bài 1.12 trang 21 Toán 11 tập 1
Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=75^{\circ};\widehat{C}=45^{\circ}$ và a = BC = 12cm
a) Sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}absinC$ và định lí sin, hãy chứng minh diện tích tam giác ABC cho bởi công thức $S=\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}$
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC
Lời giải
a) Định lí sin: $sin\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$
suy ra $sinA = \frac{asinB}{b}$
$\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}=\frac{a^{2}sinBsinC}{2\frac{asinB}{b}}$
$=\frac{1}{2}\frac{a^{2}bsinBsinC}{asinB}=\frac{1}{2}absinC=S$
b) $S=\frac{a^{2}sinBsinC}{2sinA}$
$=\frac{12^{2}\times \frac{1}{2}(cos30^{\circ}-cos120^{\circ})}{2sin(180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ})}$
$=36+12\sqrt{3} (cm^{2})$
Bài 1.13 trang 21 Toán 11 tập 1
Trong vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức $x(t)=Acos(\omega t+\varphi )$, trog đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và $\varphi \in [-\pi ;\pi ]$ là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hòa có phương trình:
$x1(t)=2cos(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6})$ (cm)
$x2(t)=2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3})$ (cm)
Tìm dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.
Lời giải
$x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$
$=2coss(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6})+2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3})$
$=2[2cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12})cos\frac{\pi }{4}]$
$=2\sqrt{2}cos(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{12})$
Biên độ là $A=2\sqrt{2}$, pha ban đầu là $\varphi =-\frac{\pi }{12}$