Toán 11 tập 1 trang 30 Bài 3: Hàm số lượng giác

Giải toán 11 tập 1 trang 30 Bài 3 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 1 trang 22

Hoạt động 1 trang 22 toán 11 tập 1

Hoàn thành bảng sau:

Hướng dẫn::

Áp dụng giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.

Lời giải:

Toán 11 tập 1 trang 23

Luyện tập 1 trang 23 toán 11 tập 1

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{{\sin x}}$

Hướng dẫn::

Hàm số xác định khi $\sin x \ne 0$

Lời giải:

Biểu thức $\frac{1}{{\sin x}}$ có nghĩa khi $\sin x \ne 0$, tức là $x \ne k\pi \;\left( {k\; \in \;\mathbb{Z}} \right)$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $\mathbb{R}/{\rm{\{ }}k\pi {\rm{|}}\;k\; \in \;\mathbb{Z}\} \;$

Hoạt động 2 trang 23 toán 11 tập 1

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ và $g\left( x \right) = {x^3}$, với các đồ thị như hình dưới đây.

a) Tìm các tập xác định ${D_f},\;{D_g}$ của các hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$.

b) Chứng tỏ rằng $f\left( { – x} \right) = f\left( x \right),\;\forall x \in {D_f}$. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đối với hệ trục tọa độ Oxy?

c) Chứng tỏ rằng $g\left( { – x} \right) =  – g\left( x \right),\;\forall x \in {D_g}$. Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số $y = g\left( x \right)$ đối với hệ trục tọa độ Oxy?

Hướng dẫn::

Hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ luôn xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số đã cho là: ${D_f} = \mathbb{R};\;{D_g} = \mathbb{R}$

b) Ta có: $f\left( { – x} \right) = {\left( { – x} \right)^2} = {x^2} = f\left( x \right)$

Đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2}$ đối xứng qua trục tung

c) Ta có: $g\left( { – x} \right) = {\left( { – x} \right)^3} =  – {x^3} =  – g\left( x \right)$

Đồ thị của hàm số $y = g\left( x \right) = {x^3}$ đối xứng qua gốc tọa độ

Toán 11 tập 1 trang 24

Luyện tập 2 trang 24 toán 11 tập 1

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$.

Hướng dẫn::

Sử dụng định nghĩa về hàm số chẵn, lẻ

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\;\backslash \left\{ 0 \right\}$

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D

Ta có: $g\left( { – x} \right) = \frac{1}{{ – x}} =  – \frac{1}{x} =  – g\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D$.

Vậy $g\left( x \right) = \frac{1}{x}$ là hàm số lẻ

Hoạt động 3 trang 24 toán 11 tập 1

So sánh:

a) $\sin \left( {x + 2\pi } \right)$ và $\sin x$;

b) $\cos (x + 2\pi )$ và $\cos x$;

c) $\tan \left( {x + \pi } \right)$ và $\tan x$;

d) $\cot (x + \pi )$ và $\cot x$.

Lời giải:

Ta có:

a) $\sin \left( {x + 2\pi } \right) = \sin x$ với mọi $x\; \in \;\mathbb{R}$

b) $\cos \left( {x + 2\pi } \right) = \cos x$ với mọi $x\; \in \;\mathbb{R}$

c) $\tan \left( {x + \pi } \right) = \tan x$ với mọi $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;k\; \in \;\mathbb{Z}$

d) $\cot \left( {x + \pi } \right) = \cot x$ với mọi $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;k\; \in \;\mathbb{Z}$

Toán 11 tập 1 trang 25

Luyện tập 3 trang 25 toán 11 tập 1

Xét tính tuần hoàn của hàm số $y = \tan 2x$.

Hướng dẫn::

Hàm số $y = \tan \left( {ax + b} \right)$ tuần hoàn với chu kỳ $T = \frac{\pi }{{\left| a \right|}}$

Lời giải:

Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\;k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}$ và với mọi số thực x, ta có:

$\left( {x – \frac{\pi }{2}} \right) \in \;\mathbb{R},\;\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) \in \;\mathbb{R},$

$\tan 2\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = \tan \left( {2x + \pi } \right) = \tan 2x$

Vậy $y = \tan 2x\;$là hàm số tuần hoàn

Hoạt động 4 trang 25 toán 11 tập 1

Cho hàm số $y = \sin x$.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ bằng cách tính giá trị của $\sin x$ với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của $\sin x$ với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm $M\left( {x;\sin x} \right)$ với $x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$.

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ $T = 2\pi $, ta được đồ thị của hàm số $y = \sin x$ như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \sin x$

Hướng dẫn::

Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ

Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D

Ta có: $f\left( { – x} \right) = \sin \left( { – x} \right) =  – \sin x =  – f\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D$

Vậy $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

b)

c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số $y = \sin x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$, tập giá trị là [-1;1] và đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right),\;k\; \in \;\mathbb{Z}.$

Toán 11 tập 1 trang 26

Luyện tập 4 trang 26 toán 11 tập 1

Tìm tập giá trị của hàm số $y = 2\sin x$.

Hướng dẫn::

Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$

Vì

$ \Rightarrow $ Tập giá trị của hàm số $y = 2\sin x$ là $T = \left[ { – 2;2} \right]$.

Vận dụng trang 26 toán 11 tập 1

Xét tình huống mở đầu.

a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu

b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra khi v < 0. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? Người đó thở ra?

Hướng dẫn::

Áp dụng công thức tính chu kỳ

Lời giải:

a) Chu ký hô hấp: $T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{3}}} = 6\left( s \right)$

Số chu kỳ hô hấp trong 1 phút là $\frac{60}{6}=10$(chu kì).

b) Ta có: $v=0,85\sin \frac{\pi t}{3}$

+) v > 0 khi $0,85\sin \frac{\pi t}{3}>0\Leftrightarrow \sin \frac{\pi t}{3}>0$

Mà – 1 ≤ $\frac{\pi t}{3}$≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, $0<\sin \frac{\pi t}{3}\le 1$.

+) v < 0 khi $0,85\sin \frac{\pi t}{3}<0\Leftrightarrow \sin \frac{\pi t}{3}<0$.

Mà – 1 ≤ $\frac{\pi t}{3}$≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, −1 ≤ sin$\frac{\pi t}{3}$ < 0.

+) Với t ∈ (0; 3) ta có 0 < sin$\frac{\pi t}{3}$  ≤ 1.

+) Với t ∈ (3; 5] ta có −1 ≤  sin$\frac{\pi t}{3}$ < 0.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây đến trước 3 giây thì người đó hít vào và khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5 giây thì người đó thở ra.

HĐ 5 trang 26 toán 11 tập 1

Cho hàm số $y = \cos x$

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$ bằng cách tính giá trị của $\cos x$ với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của $\cos x$ với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm $M\left( {x;\sin x} \right)$ với $x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { – \pi ;\pi } \right]$.

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ $T = 2\pi $, ta được đồ thị của hàm số $y = \cos x$ như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cos x$

Hướng dẫn::

Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ

Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D

Ta có: $f\left( { – x} \right) = \cos \left( { – x} \right) = \cos x = f\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D$

Vậy $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

b)

c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số $y = \cos x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$, tập giá trị là [-1;1] và đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \pi  + k2\pi ;k2\pi } \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right),\;k\; \in \;\mathbb{Z}$

Toán 11 tập 1 trang 27

LT 5 trang 27 toán 11 tập 1

Tìm tập giá trị của hàm số $y =  – 3\cos x.$

Hướng dẫn::

Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định

Lời giải:

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$

Vì

$ \Rightarrow $ Tập giá trị của hàm số $y =  – 3\cos x$ là $T = \left[ { – 3;3} \right]$.

VD 2 trang 27 toán 11 tập 1

Trong vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức $x\left( t \right) = A\cos (\omega t + \varphi )$, trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), $\omega t + \varphi $ là pha dao động tại thời điểm t và $\varphi  \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]$ là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hòa này có chu kỳ $T = \frac{{2\pi }}{\omega }$ (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).

Giả sử một vật dao động điều hòa theo phương trình $x\left( t \right) =  – 5\cos 4\pi t$ (cm).

a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.

b) Tính pha của dao động tại thời điểm $t = 2$ (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

Hướng dẫn::

Dựa vào phương trình tổng quát để xác định: Biên độ dao động, Pha dao động tại thời điểm t, Pha ban đầu

Lời giải:

a) Ta có: – 5cos 4πt = 5cos(4πt + π).

Biên độ dao động $A =  5 > 0$; Pha ban đầu của dao động: $\varphi  = \pi$

b) Pha dao động tại thời điểm $t = 2$ là $\omega t + \varphi  = 4\pi .2 + \pi = 9\pi $

Chu kỳ $T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{4\pi }} = 0,5$

Trong khoảng thời gian 2 giây, số dao động toàn phần vật thực hiện được là: $\frac{2}{{0,5}} = 4$ (dao động)

Toán 11 tập 1 trang 28

Hoạt động 6 trang 28 toán 11 tập 1

Cho hàm số $y = \tan x$

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số $y = \tan x$ trên khoảng$\;\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

Bằng cách lấy nhiều điểm $M\left( {x;\tan x} \right)$ với $x \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \tan x$ trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ $T = \pi $, ta được đồ thị của hàm số $y = \tan x$ như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.16, hãy tìm tập giá trị và các khoảng đồng biến của hàm số $y = \tan x$.

Hướng dẫn::

Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ

Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\;\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{|}}\;k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}$

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D

Ta có: $f\left( { – x} \right) = \tan \left( { – x} \right) =  – \tan x =  – f\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D$

Vậy $y = \tan x$ là hàm số lẻ.

b)

c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số $y = \tan x$ có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{|}}\;k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}$, tập giá trị là $\mathbb{R}$ và đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)$.

Toán 11 tập 1 trang 29

Luyện tập 6 trang 29 toán 11 tập 1

Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.16, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn $\left[ { – \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ để hàm số $y = \tan x$ nhận giá trị âm.

Hướng dẫn::

Nhìn đồ thị để xác định vị trí của y và x

Lời giải:

Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn $\left[ { – \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$, thì $y < 0$ khi $x\; \in \left( { – \frac{\pi }{2};0} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2};\;\pi } \right)$

Toán 11 tập 1 trang 30

Bài 1.14 trang 30 Toán 11 tập 1

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1-cosx}{sinx}$

b) $y=\sqrt{\frac{1+cosx}{2-cosx}}$

Lời giải

a) Biểu thức $\frac{1-cosx}{sinx}$ có nghĩa khi sin x ≠ 0, tức là x ≠ kπ, k ∈ ℤ.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{1-cosx}{sinx}$ là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

b) Biểu thức $\sqrt{\frac{1+cosx}{2-cosx}}$ có nghĩa khi $\sqrt{\frac{1+cosx}{2-cosx}}≥ 0$ và $2-cosx\neq 0$

Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 nên 1 + cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ và 2 – cos x ≥ 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, 2 – cos x ≠ 0 với mọi x ∈ ℝ và $\sqrt{\frac{1+cosx}{2-cosx}}≥ 0$ với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\frac{1+cosx}{2-cosx}}$ là D = ℝ.

Bài 1.15 trang 30 Toán 11 tập 1

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = sin 2x + tan 2x;

b) y = cos x + sin²x;

c) y = sin x cos 2x;

d) y = sin x + cos x.

Lời giải

a) Biểu thức sin 2x + tan 2x có nghĩa khi cos 2x ≠ 0 (do $tan2x=\frac{sin2x}{cos2x}$), tức là $2x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in Z$

Suy ra tập xác định của hàm số y = f(x) = sin 2x + tan 2x là D = R \ {$\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}|k\in Z$}

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– 2x) + tan (– 2x) = – sin 2x – tan 2x = – (sin 2x + tan 2x) = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin 2x + tan 2x là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số y = f(x) = cos x + sin²x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: $f(– x) = cos (– x) + sin^{2} (– x) = cos x + (– sin x)^{2}$

$= cos x + sin^{2} x = f(x), ∀ x ∈ D$.

Vậy y = cos x + sin²x là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin x cos 2x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) cos (– 2x) = – sin x cos 2x = – f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = sin x cos 2x là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số y = f(x) = sin x + cos x là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = sin (– x) + cos (– x) = – sin x + cos x ≠ – f(x).

Vậy y = sin x + cos x là hàm số không chẵn, không lẻ.

Bài 1.16 trang 30 Toán 11 tập 1

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y=2sin(x-\frac{\pi }{4})-1$

b) $y=\sqrt{1+cosx}-2$

Lời giải

a) Ta có: $-1\leq sin(x-\frac{\pi }{4})\leq 1$ với mọi $x\in R$

$\Leftrightarrow -2\leq 2sin(x-\frac{\pi }{4})\leq 2$ với mọi $x\in R$

$\Leftrightarrow -2-1\leq 2sin(x-\frac{\pi }{4})-1\leq 2-1$ với mọi $x\in R$

$\Leftrightarrow -3\leq 2sin(x-\frac{\pi }{4})-1\leq 1$ với mọi $x\in R$

$\Leftrightarrow -3\leq y\leq 1$ với mọi $x\in R$

Vậy tập giá trị của hàm số $y=2sin(x-\frac{\pi }{4})-1$ là [– 3; 1].

b) Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ nên 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, $0\leq \sqrt{1+cosx}\leq \sqrt{2}$ với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra $-2\leq \sqrt{1+cosx}-2\leq \sqrt{2}-2$ với mọi x ∈ ℝ.

Hay $-2\leq y\leq \sqrt{2}-2$ với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số $y=\sqrt{1+cosx}-2$ là $[-2;\sqrt{2}-2]$

Bài 1.17 trang 30 Toán 11 tập 1

Từ đồ thị của hàm số y = tan x, hãy tìm các giá trị x sao cho tan x = 0.

Lời giải

Ta có đồ thị của hàm số y = tan x như hình vẽ dưới đây.

Ta có tan x = 0 khi hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 0 ứng với các điểm x mà đồ thị giao với trục hoành. Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra y = 0 hay tan x = 0 khi x = kπ, k ∈ ℤ.

Bài 1.18 trang 30 Toán 11 tập 1

Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hóa bởi hàm số h$(t) = 90cos(\frac{\pi }{10}t)$, trong đó h(t) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm t giây.

a) Tìm chu kì của sóng.

b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

Lời giải

a) Chu kì của sóng là $T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{10}}=20$ (giây).

b) Chiều cao của sóng tức là chiều cao của nước đạt được trong một chu kì dao động.

Ta có: $h(20)=90cos(\frac{\pi }{10}\times 20)=90$ (cm).

Vậy chiều cao của sóng là 90 cm.