Toán 11 tập 1 trang 39 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Giải toán 11 tập 1 trang 39 Bài 4 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 1 trang 31

HĐ 1 trang 31 toán 11 tập 1

Cho hai phương trình $2x – 4 = 0$ và $\left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0$.

Tìm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình trên

Hướng dẫn::

Giải phương trình và so sánh tập nghiệm của 2 phương trình

Lời giải:

Ta có:

Tập nghiệm của phương trình là ${S_1} = \left\{ 2 \right\}$

$\left( {x – 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\; \Leftrightarrow x – 2 = 0\; \Leftrightarrow x = 2$

Tập nghiệm của phương trình là ${S_2} = \left\{ 2 \right\}$

Vậy tập nghiệm của 2 phương trình là tương đương.

Toán 11 tập 1 trang 32

LT 1 trang 32 toán 11 tập 1

Xét sự tương đương của hai phương trình sau:

$\frac{{x – 1}}{{x + 1}} = 0$ và ${x^2} – 1 = 0$

Hướng dẫn::

Giải nghiệm của 2 phương trình và so sánh tập nghiệm.

Lưu ý điều kiện xác định của phương trình

Lời giải:

Ta có: $\frac{{x – 1}}{{x + 1}}\;$xác định khi $x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  – 1$

$\frac{{x – 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\;$

Tập nghiệm của phương trình là ${S_1} = \left\{ 1 \right\}$

${x^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x =  – 1}\end{array}} \right.\;$

Tập nghiệm của phương trình là ${S_2} = \left\{ {1; – 1} \right\}$

Vậy tập nghiệm của 2 phương trình là không tương đương nhau

HĐ 2 trang 32 toán 11 tập 1

a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng $\left[ {0;2\pi } \right)$

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn::

Nghiệm của phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ là hoành độ các giao điểm của đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ và đồ thị hàm số $y = \sin x$

Lời giải:

a) Từ Hình 1.19, ta thấy đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ cắt đường tròn tại 2 điểm M, M’. Ta có nghiệm của phương trình là: $\frac{\pi }{6}, – \frac{{5\pi }}{6}$

b) Vì hàm số $\sin x$ tuần hoàn với chu kỳ là $2\pi $, ta có công thức nghiệm của phương trình là: $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \pi  – \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Toán 11 tập 1 trang 34

LT 2 trang 34 toán 11 tập 1

Giải các phương trình sau: a) $\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$;        b) $\sin 3x =  – \sin 5x$

Hướng dẫn::

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:

$\sin x = m\; \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha  + k2\pi }\\{x = \pi  – \alpha  + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Áp dụng công thức cộng lượng giác

Lời giải:

a) $\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\; \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \pi  – \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\;$

b)

$\begin{array}{l}\sin 3x =  – \sin 5x\;\;\;\\\; \Leftrightarrow \,\,\,\sin 3x + \sin 5x = 0\;\;\;\;\;\;\\ \Leftrightarrow \,\,\,2\sin 4x\cos x = 0\;\end{array}$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 4x = 0}\\{\cos x = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 4x = \sin 0}\\{\cos x = \cos \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = k\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\frac{\pi }{4}}\\{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.$

HĐ 3 trang 34 toán 11 tập 1

a) Quan sát Hình 1.22a, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng $\left[ { – \pi ;\pi } \right)$.

b) Dựa vào tính tuần hoản của hàm số cosin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn::

Nghiệm của phương trình $\cos x =  – \frac{1}{2}$ là hoành độ các giao điểm của đường thẳng $y =  – \;\frac{1}{2}$ và đồ thị hàm số $y = \cos x$

Lời giải:

a) Từ Hình 1.20, ta thấy đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ cắt đường tròn tại 2 điểm M, M’. Ta có nghiệm của phương trình là: $\frac{\pi }{6}, – \frac{{5\pi }}{6}$

b) Vì hàm số $\cos x$ tuần hoàn với chu kỳ là $2\pi $, ta có công thức nghiệm của phương trình là: $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \pi  – \frac{\pi }{6} + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

Toán 11 tập 1 trang 35

LT 3 trang 35 toán 11 tập 1

Giải các phương trình sau:

a) $2\cos x =  – \sqrt 2 $;            b) $\cos 3x – \sin 5x = 0$

Hướng dẫn::

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát:

$\cos x = m\;\; \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \alpha  + k2\pi }\\{x =  – \alpha  + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\;$

Lời giải:

a) $2\cos x =  – \sqrt 2  \Leftrightarrow \cos x =  – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\; \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \pi  – \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

b) $\cos 3x – \sin 5x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \cos 3x = \sin 5x\;\;\;\; \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – 5x} \right)\;\;$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = \frac{\pi }{2} – 5x + k2\pi }\\{3x =  – \frac{\pi }{2} + 5x + k2\pi }\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{ – 2x =  – \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}}\\{x = \frac{\pi }{4} – k\pi }\end{array}} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

VD trang 35 toán 11 tập 1

Khi mặt trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời chiếu sáng một phần. Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phần bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là $\alpha \left( {{0^0} \le \;\alpha  \le {{360}^0}} \right)$thì tỉ lệ F của phần Mặt Trăng được chiếu sáng cho bới công thức:

$F = \frac{1}{2}\left( {1 – \cos \alpha } \right)$.

Xác định góc $\alpha $ tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng.

a) $F = 0$ (trăng mới)

b) $F = 0,25$ (trăng lưỡi liềm)

c) $F = 0,5$ (trăng bán nguyệt đầu tháng hoặc trăng bán nguyệt cuối tháng)

d) $F = 1$ (trăng tròn)

Hướng dẫn::

Thay giá trị F tương ứng rồi giải phương trình để tìm $\alpha $

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}F = 0\;\\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left( {1 – \cos \alpha } \right) = 0\;\; \Leftrightarrow 1 – \cos \alpha  = 0\;\; \Leftrightarrow \cos \alpha  = 1\; \Leftrightarrow \alpha  = k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

b) $F = 0,25\; \Rightarrow \frac{1}{2}\left( {1 – \cos \alpha } \right) = 0,25\; \Leftrightarrow 1 – \cos \alpha  = \frac{1}{2}\;\; \Leftrightarrow \cos \alpha  = \frac{1}{2}\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha  = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{\alpha  =  – \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$

c) $F = 0,5\;\; \Rightarrow \frac{1}{2}\left( {1 – \cos \alpha } \right) = 0,5\; \Leftrightarrow 1 – \cos \alpha  = 1\; \Leftrightarrow \cos \alpha  = 0\; \Leftrightarrow \alpha  = \frac{\pi }{2} + k\pi \;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

d) $F = 1\; \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {1 – \cos \alpha } \right) = 1\;\; \Leftrightarrow 1 – \cos \alpha  = 2\; \Leftrightarrow \cos \alpha  =  – 1\; \Leftrightarrow \alpha  = \pi  + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Toán 11 tập 1 trang 36

HĐ 4 trang 36 toán 11 tập 1

a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \tan x$ tại mấy điểm trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)?$

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho

Hướng dẫn::

Nghiệm của phương trình $\tan x = 1$ là hoành độ các giao điểm của đường thẳng $y = 1$ và đồ thị hàm số $y = \tan x$

Lời giải:

a) Từ Hình 1.24, ta thấy đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \tan x\;$tại 1 điểm $x = \frac{\pi }{4}$ trên khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$

b) Ta có công thức nghiệm của phương trình là: $x = \frac{\pi }{4} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

LT 4 trang 36 toán 11 tập 1

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt 3 \tan 2x =  – 1$;                              b) $\tan 3x + \tan 5x = 0$’

Hướng dẫn::

Dựa vào công thức nghiệm tổng quát: $\tan x = m\; \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Lời giải:

a) $\sqrt 3 \tan 2x =  – 1\;\; \Leftrightarrow \tan 2x =  – \frac{1}{{\sqrt 3 }}\;\;\; \Leftrightarrow \tan 2x = \tan  – \frac{\pi }{6}\; \Leftrightarrow 2x =  – \frac{\pi }{6} + k\pi $

$\;\; \Leftrightarrow x =  – \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) $\tan 3x + \tan 5x = 0\;\; \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \left( { – 5x} \right) \Leftrightarrow 3x =  – 5x + k\pi \;\; \Leftrightarrow 8x = k\pi \;\; \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{8}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Toán 11 tập 1 trang 37

HĐ 5 trang 37 toán 11 tập 1

a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng $y =  – 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \cot x$ tại mấy điểm trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)?$

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm cotang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.

Hướng dẫn::

Nghiệm của phương trình $\cot x =  – 1$ là hoành độ các giao điểm của đường thẳng $y =  – 1$ và đồ thị hàm số $y = \cot x$

Lời giải:

a) Từ Hình 1.25, ta thấy đường thẳng $y =  – 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \cot x\;$tại 1 điểm $x =  – \frac{\pi }{4} + \pi $ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$

b) Ta có công thức nghiệm của phương trình là: $x =  – \frac{\pi }{4} + \pi  + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

LT5 trang 37 toán 11 tập 1

Giải các phương trình sau:

a) $\cot x = 1;$                                                           b) $\sqrt 3 \cot x + 1 = 0$

Hướng dẫn::

Sử dụng công thức nghiệm  $\cot x = m\; \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Lời giải:

a) $\cot x = 1\; \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{4}\;\;\; \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) $\sqrt 3 \cot x + 1 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \sqrt 3 \cot x =  – 1\; \Leftrightarrow \cot x =  – \frac{{\sqrt 3 }}{3}\;\; \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)$

$ \Leftrightarrow x =  – \frac{\pi }{3} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Toán 11 tập 1 trang 38

Luyện tập 6 trang 38 toán 11 tập 1

Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và radian của góc $\alpha $, biết:

a) $\cos \alpha  =  – 0,75$

b) $\tan \alpha  = 2,46$

c) $\cot \alpha  =  – 6,18$

Lời giải

a) $\cos \alpha  =  – 0,75$

$ \Leftrightarrow \alpha  ={138^ \circ }35’36”$ hay $\alpha  =2,4188584$ rad

b) $\tan \alpha  =  2,46$

$ \Leftrightarrow \alpha  ={67^ \circ }52’01”$ hay $\alpha  =1,1846956$ rad

c) $\cot \alpha  =  -6,18$

$ \Leftrightarrow \alpha  ={ -9^ \circ }11’30”$ hay $\alpha  = -0,1604$ rad

Toán 11 tập 1 trang 39

Bài 1.19 trang 39 Toán 11 tập 1

Giải các phương trình sau:

a) $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $2cosx=-\sqrt{2}$

c) $\sqrt{3}tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=1$

d) $cot(2x-1)=cot\frac{\pi }{5}$

Lời giải

a) $sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow sinx=sin\frac{\pi }{3}$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi hoặc x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi hoặc x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$ và $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$

b) $2cosx=-\sqrt{2}\Leftrightarrow cosx=-\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow cosx=cos\frac{3\pi }{4}$

$\Leftrightarrow x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi hoặc x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$ và $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$

c) $\sqrt{3}tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=1$

$\Leftrightarrow tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow tan(\frac{x}{2}+15^{\circ})=tan30^{\circ}$

$\Leftrightarrow \frac{x}{2}+15^{\circ}=30^{\circ}+k180^{\circ},k\in Z$

$\Leftrightarrow x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in Z$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=30^{\circ}+k360^{\circ},k\in Z$

d) $cot(2x-1)=cot\frac{\pi }{5}$

$\Leftrightarrow 2x-1=\frac{\pi }{5}+k\pi ,k\in Z$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in Z$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{10}+\frac{1}{2}+k\frac{\pi }{2},k\in Z$

Bài 1.20 trang 39 Toán 11 tập 1

Giải các phương trình sau:

a) sin 2x + cos 4x = 0;

b) cos 3x = – cos 7x.

Lời giải

a) sin 2x + cos 4x = 0 ⇔ cos 4x = – sin 2x ⇔ cos 4x = sin(– 2x)

$\Leftrightarrow cos4x=cos(\frac{\pi }{2}-(-2x))$

$\Leftrightarrow cos4x=cos(\frac{\pi }{2}+2x)$

$\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi$

hoặc $4x=-(\frac{\pi }{2}+2x)+k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$ và $x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{3}(k\in Z)$

b) cos 3x = – cos 7x ⇔ cos 3x = cos(π + 7x)

$\Leftrightarrow 3x=\pi +7x+k2\pi$ hoặc $3x=-(\pi +7x)+k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$ hoặc $x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}(k\in Z)$

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là $x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}(k\in Z)$ và $x=-\frac{\pi }{10}+k\frac{\pi }{5}(k\in Z)$

Bài 1.21 trang 39 Toán 11 tập 1

Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu v0 = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y=\frac{-g}{2v_{0}^{2}cos^{2}\alpha }+xtan\alpha$, ở đó g = 9,8 m/s ² là gia tốc trọng trường.

a) Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất).

b) Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

c) Tìm góc bắn α để quả đạn đạt độ cao lớn nhất.

Lời giải

Vì v0 = 500 m/s, g = 9,8 m/s ^{2} nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là $y=\frac{-9.8}{2\times 500^{2}cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha$

hay $y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha$

a) Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó $y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha$

$\Leftrightarrow x(\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x+tan\alpha)=0$

$\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{2500000cos^{2}\alpha \times tan\alpha }{49}$

$\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{2500000cos\alpha sin\alpha }{49}$

$\Leftrightarrow x=0 hoặc x=\frac{1250000sin2\alpha }{49}$

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $x=\frac{1250000sin2\alpha }{49}$ (m).

b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m thì x = 22 000 m.

Khi đó $\frac{1250000sin2\alpha }{49}=22000\Leftrightarrow sin2\alpha =\frac{539}{625}$

Gọi $\beta \in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ là góc thỏa mãn $\beta =\frac{539}{625}$. Khi đó ta có: sin 2α = sin β

$\Leftrightarrow 2\alpha =\beta +k2\pi$ hoặc $2\alpha =\pi -\beta +k2\pi (k\in Z)$

$\Leftrightarrow \alpha =\frac{\beta }{2}+k\pi$ hoặc $\alpha =\frac{\pi }{2}-\frac{\beta }{2}+k\pi (k\in Z)$

c) Hàm số $y=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }x^{2}+xtan\alpha$ là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh I(xI; yI) là

$\left\{\begin{matrix} x_{I}=-\frac{b}{2a}=-\frac{tan\alpha }{2\times \frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }}=\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}\\ y_{I}=f(x_{I})=\frac{-49}{2500000cos^{2}\alpha }(\frac{1250000cossin\alpha }{49})^{2}+\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}tan\alpha \end{matrix}\right.$

Hay $\left\{\begin{matrix}x_{I}=\frac{1250000cos\alpha sin\alpha }{49}\\ y_{I}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\end{matrix}\right.$

Do đó, độ cao lớn nhất của quả đạn là $y_{max}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}$

Ta có $y_{max}=\frac{625000sin^{2}\alpha }{49}\leq \frac{625000}{49}$, dấu “=” xảy ra khi sin ²α = 1 hay α = 90°.

Như vậy góc bắn α = 90° thì quả đan đạt độ cao lớn nhất

Bài 1.22 trang 39 Toán 11 tập 1

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x=2cos(5t-\frac{\pi }{6})$

Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Lời giải

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó x = 0, ta có

$2cos(5t-\frac{\pi }{6})=0\Leftrightarrow cos(5t-\frac{\pi }{6})=0$

$\Leftrightarrow 5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k,k\in Z$

$\Leftrightarrow t=\frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5},k\in Z$

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là 0 ≤ t ≤ 6 hay

$0\leq \frac{2\pi }{15}+k\frac{\pi }{5}\leq 6\Leftrightarrow -\frac{2}{3}\leq k\leq \frac{90-2\pi }{3\pi }$

Vì k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.