Toán 11 tập 1 trang 46 bài 5:Dãy số

Giải toán 11 tập 1 trang 46 Bài 5 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 1 trang 42

HĐ 1 trang 42 toán 11 tập 1

Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.

Hướng dẫn::

Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.

Lời giải:

Ta có: 1, 4, 9, 16, 25.

Công thức tính số chính phương là ${n^2},\;\left( {n\; \in {N^*}} \right)$.

Toán 11 tập 1 trang 43

HĐ 2 trang 43 toán 11 tập 1

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

b) Viết công thức số hạng ${u_n}$ của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.

Hướng dẫn::

Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.

Công thức số hạng ${u_n}$ dựa theo điều kiện số chính phương.

Lời giải:

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50: $1;4;9;16;25;36;49$.

b) Công thức số hạng tổng quát ${u_n} = {n^2},\;\left( {n\; \in {N^*}} \right)$.

LT 1 trang 43 toán 11 tập 1

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Hướng dẫn::

Dựa vào tính chất chia 5 dư 1 xác định số hạng tổng quát.

Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là ${u_1},\;{u_2}\;, \ldots ,{u_m}$.

Số ${u_1}$ là số hạng đầu, ${u_m}$ là số hạng cuối.

Lời giải:

a) Ta có số hạng tổng quát của dãy số ${u_n} = 5n + 1\;\left( {n\; \in {N^*}} \right)$.

b) Các số hạng của dãy số là: 6; 11; 16; 21; 26.

Số hạng đầu của dãy số là: 6 và số hạng cuối của dãy số là 26.

HĐ 3 trang 43 toán 11 tập 1

Xét dãy số $({u_n})$ gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5:

$5;10;15;20;25;30; \ldots $

a) Viết công thức số hạng tổng quát ${u_n}$ của dãy số.

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.

Hướng dẫn::

Dựa vào định nghĩa dãy số, xác định được số hạng đầu và số hạng tổng quát.

Lời giải:

a) Công thức số hạng tổng quát ${u_n} = 5n,\;n \in {N^*}$.

b)

Số hạng đầu ${u_1} = 5$, ${u_n} = {u_{n – 1}} + 5$

Suy ra hệ thức truy hồi: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1}\; = 5\\{u_n} = {u_{n – 1}} + 5\end{array} \right.$

Toán 11 tập 1 trang 44

LT 2 trang 44 toán 11 tập 1

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng tổng quát ${u_n} = n!.$.

b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci $\left( {{F_n}} \right)$ cho bởi hệ thức truy hồi

$\{ {F_1} = 1,\;{F_2} = 1\;{F_n} = {F_{n – 1}} + {F_{n – 2}}\;\left( {n \ge 3} \right)\;$.

Hướng dẫn::

Áp dụng công thức giai thừa bằng tích các số liên tiếp.

Công thức Fibonacci đã cho.

Lời giải:

a) 5 số hạng đầu của dãy số là: 1; 2; 6; 24; 120.

b) ${F_1} = 1,\;{F_2} = 1,\;{F_3} = 2,\;{F_4} = 3,\;{F_5} = 5\;$.

HĐ 4 trang 45 toán 11 tập 1

a) Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 3n – 1$. Tính ${u_{n + 1}}$ và so sánh với ${u_n}$.

b) Xét dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = \frac{1}{{{n^2}}}$. Tính ${v_{n + 1}}$ và so sánh với ${v_n}$.

Hướng dẫn::

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có ${u_{n + 1}} > {u_n},\;$với mọi $n \in {N^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có ${u_{n + 1}} < {u_n},\;$với mọi $n \in {N^*}$.

Lời giải:

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) – 1 = 3n + 2$.

Suy ra ${u_{n + 1}} > {u_n}$.

b) Ta có: ${v_{n + 1}} = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}$.

Suy ra: ${u_{n + 1}} < {u_n}$.

Toán 11 tập 1 trang 45

LT 3 trang 45 toán 11 tập 1

Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{1}{{n + 1}}$.

Hướng dẫn::

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có ${u_{n + 1}} > {u_n},\;$với mọi $n \in {N^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có ${u_{n + 1}} < {u_n},\;$với mọi $n \in {N^*}$.

Lời giải:

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1 + 1}} = \frac{1}{{n + 2}}$.

Mà $\left( {n + 2} \right) > \left( {n + 1} \right)$ suy ra $\frac{1}{{n + 2}} < \frac{1}{{n + 1}}$.

Tức là ${u_{n + 1}} < {u_n},\;\forall n \in {N^*}$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

HĐ 5 trang 45 toán 11 tập 1

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{n + 1}}{n},\;\forall \;n\; \in {N^*}$

a) So sánh ${u_n}$ và 1.

b) So sánh ${u_n}$ và 2.

Hướng dẫn::

– Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho ${u_n} \le M,\;n \in {N^*}$.

– Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho ${u_n} \ge m,\;n \in {N^*}$.

– Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m \le {u_n} \le M,\;n \in {N^*}$.

Lời giải:

a) ${u_n} = \frac{{n + 1}}{n}= 1+ \frac{{1}}{n} > 1$.

b) ${u_n} = \frac{{n + 1}}{n}= 1+ \frac{{1}}{n} < 2$.

Toán 11 tập 1 trang 46

LT 4 trang 46 toán 11 tập 1

Xét tính bị chặn của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, với ${u_n} = 2n – 1$.

Hướng dẫn::

– Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho ${u_n} \le M,\;n \in {N^*}$.

– Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho ${u_n} \ge m,\;n \in {N^*}$.

– Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m \le {u_n} \le M,\;n \in {N^*}$.

Lời giải:

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để $2n – 1 < M,\;\forall n \in {N^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới, vì $\left( {{u_n}} \right) = 2n – 1 \ge 1,n \in {N^*}\;$.

VD trang 46 toán 11 tập 1

Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi ${s_n}$ (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

$ s_1 = 200, s_n = s_{n-1} +25$ với $n \ge 2$

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh $\left( {{s_n}} \right)$ là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Hướng dẫn::

a) Tìm số hạng tổng quát.

b, Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có ${u_{n + 1}} > {u_n},\;$với mọi $n \in {N^*}$.

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát: ${s_n} = 200 + 25(n – 1)$.

Lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là :

${s_5} = 200 + 25(5 – 1) = 300$ (triệu đồng)

b) Ta có:

$\begin{array}{l}{s_{n + 1}} = 200 + 25(n + 1 – 1) = 200 + 25n\\{s_{n + 1}} – {s_n} = 200 + 25n – \left[ {200 + 25(n – 1)} \right] = 25 > 0\\ \Rightarrow {s_{n + 1}} > {s_n}\end{array}$

$ \Rightarrow $ $\left( {{s_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Vậy $\left( {{s_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Bài 2.1 trang 46 Toán 11 tập 1

Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (u_{n}) có sooa hnagj tổng quát cho bởi

a) $u_{n}=3n-2$

b) $u_{n}=3 x 2^{n}$

c) $u_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}$

Lời giải

a) $u_{1}=1,u_{2}=4,u_{3}=7,u_{4}=10,u_{5}=13,u_{100}=298$

b) $u_{1}=6,u_{2}=12,u_{3}=24,u_{4}=48,u_{5}=96,u_{100}=3.803\times 10^{30}$

c) $u_{1}=2,u_{2}=\frac{9}{4},u_{3}=\frac{64}{27},u_{4}=\frac{625}{256},u_{5}=2.48832,u_{100}=2.7148$

Bài 2.2 trang 46 Toán 11 tập 1

Dãy số $(u_{n})$ cho bởi hệ thức truy hồi $u_{1}=1,u_{n}=nu_{n-1}$ với $n\geq 2$

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n}$

Lời giải

a) $u_{1}=1,u_{2}=2,u_{3}=6,u_{4}=24,u_{5}=120$

b) Ta có: u₁ = 1 = 1, u₂ = 2 = 2, u₃ = 6 = 3, u₄ = 24 = 4, u₅ = 120 = 5

Vậy công thức số hạng tổng quát là: $u_{n}=n$

Bài 2.3 trang 46 Toán 11 tập 1

Xét tính tăng, giảm của dãy số $( u_{n} )$, biết:

a) $u_{n}=2n-1$

b) $u_{n}=-3n+2$

c) $u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}$

Lời giải

a) Ta có: $u_{2}=3 > u_{1}=1$ suy ra đây là dãy số tăng

b) $u_{2}=4 < u_{1}= -1$suy ra đây là dãy số giảm

c) $u_{2} = \frac{-1}{4} < u_{1}= \frac{1}{2}$ suy ra đây là dãy số giảm

Bài 2.4 trang 46 Toán 11 tập 1

Trong các dãy số $( u_{n} )$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) $u_{n}=n-1$

b) $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}$

c) $u_{n}=sinn$

d) $u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}$

Lời giải

a) Ta có $u_{n}=n-1\geq 0 (\forall n\in N *)$ suy ra $u_{n}$ bị chặn dưới

b) Ta có: $u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}<1;$

$u_{n}=\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}\geq 0(\forall n\in N *)$

Suy ra $u_{n}$ bị chặn

c) $u_{n}=sinn$ do đó $-1\leq u_{n} \leq1(\forall n\in N *)$

Suuy ra $u_{n}$ bị chặn

d) Ta có: $u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}>0$ nếu n là số tự nhiên lẻ

$u_{n}=(-1)^{n-1}n^{2}< 0$ nếu n là số tự nhiên chẵn

Bài 2.5 trang 46 Toán 11 tập 1

Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 3

b) Khi chia cho 4 dư 1

Lời giải

a) $u_{n}=3n(\forall n\in N *)$

b) $u_{n}=4n+1(\forall n\in N *)$

Bài 2.6 trang 46 Toán 11 tập 1

Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức.

$A_{n}=100(1+\frac{0.06}{12})^{n}$

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm

Lời giải

a) Số tiền ông An nhận được sau 1 tháng: $A_{1}=100(1+\frac{0.06}{12})^{1}=100.5$ (triệu đồng)

Số tiền ông An nhận được sau 2 tháng: $A_{2}=100(1+\frac{0.06}{12})^{2}=101.0025$ (triệu đồng)

b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm: $A_{12}=100(1+\frac{0.06}{12})^{12}=106.1678$ (triệu đồng)

Toán 11 tập 1 trang 47

Bài 2.7 trang 47 Toán 11 tập 1

Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0.8% số tiền còn lại của mỗi tháng.

Gọi $A_{n}(n\in N)$ là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng

a) Tìm lần lượt $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}, A_{5},A_{6}$ để tính ra số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số $(A_{n})$

Lời giải

a) Ta có: $A_{0}=100$

$A_{1}=100+100\times 0.008-2=98.8$

$A_{2}=98.8+98.8\times 0.008-2=97.59$

$A_{3}=97.59+97.59\times 0.008-2=96.37$

$A_{4}=96.37+96.37\times 0.008-2=95.14$

$A_{5}=95.14+95.14\times 0.008-2=93.90$

$A_{6}=93.90+93.90\times 0.008-2=92.65$

Vậy sau 6 tháng số tiền chị Hương còn nợ là 92.65 triệu đồng

b) Hệ thức truy hồi: $A_{n}=A_{n-1}+A_{n-1}\times 0.008-2=1.008A_{n-1}-2$ (triệu đồng)