Toán 11 tập 1 trang 51 Bài 6: Cấp số cộng
Toán 11 tập 1 trang 51 Bài 6: Cấp số cộng
Giải toán 11 tập 1 trang 51 Bài 6 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Toán 11 tập 1 trang 48
HĐ 1 trang 48 toán 11 tập 1
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ gồm tất cả các số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng ${u_n}$ theo số hạng ${u_{n – 1}}$.
Hướng dẫn::
Số tự nhiên lẻ liên tiếp cách nhau 2 đơn vị.
Lời giải:
a) Năm số hạng đầu của dãy số: 1; 3; 5; 7; 9.
b) Công thức biểu diễn số hạng ${u_n}$ theo số hạng ${u_{n – 1}}$ là: ${u_n} = {u_{n – 1}} + 2\;\left( {n \ge 2} \right)$.
CH trang 48 toán 11 tập 1
Dãy số không đổi a, a, a, … có phải là một cấp số cộng không?
Hướng dẫn::
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Để chứng minh $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp ${u_n} – {u_{n – 1}}$ không đổi.
Lời giải:
Gọi dãy a, a, a, … là $\left( {{u_n}} \right)$.
Ta có: ${u_n} – {u_{n – 1}} = a – a = 0,\;\forall n \ge 2$.
Công thức biểu diễn số hạng ${u_n}$ theo số hạng ${u_{n – 1}}$ là: ${u_n} = {u_{n – 1}} + 0\;\left( {n \ge 2} \right)$.
Như vậy, dãy số không đổi a, a, a, … là một cấp số cộng với công sai d = 0.
Toán 11 tập 1 trang 49
LT 1 trang 49 toán 11 tập 1
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = – 2n + 3$. Chứng minh rằng $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.
Hướng dẫn::
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Để chứng minh $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp ${u_n} – {u_{n – 1}}$ không đổi.
Lời giải:
Ta có: ${u_n} – {u_{n – 1}} = \left( { – 2n + 3} \right) – \left[ { – 2\left( {n – 1} \right) + 3} \right] = – 2,\;\forall n \ge 2$.
Vậy ${u_n} = – 2n + 3$ là một cấp số cộng với ${u_1} = 1$ và công sai $d = – 2$.
HĐ 2 trang 49 toán 11 tập 1
Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1}$ và công sai d
a) Tính các số hạng ${u_2},{u_3},{u_4},{u_5}$ theo ${u_1}$ và d.
b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát ${u_n}$ theo ${u_1}$ và d.
Hướng dẫn::
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Lời giải:
a) Ta có: ${u_2} = {u_1} + d$
${u_3} = {u_2} + d = {u_1} + 2d$
${u_4} = {u_3} + d = {u_1} + 3d$
${u_5} = {u_4} + d = {u_1} + 4d$
b) Công thức tính số hạng tổng quát ${u_n}$:
${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$.
LT 2 trang 49 toán 11 tập 1
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 4n – 3$. Chứng minh rằng $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu ${u_1}$ và công sai d của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát ${u_n}$ dưới dạng ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$
Hướng dẫn::
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Để chứng minh $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiếp ${u_n} – {u_{n – 1}}$ không đổi.
Lời giải:
Ta có: ${u_n} – {u_{n – 1}} = \left( {4n – 3} \right) – \left[ {4\left( {n – 1} \right) – 3} \right] = 4,\;\forall n \ge 2$.
Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công sai $d = 4$
Số hạng tổng quát ${u_n} = 1 + 4\left( {n – 1} \right)$.
Toán 11 tập 1 trang 50
HĐ 3 trang 50 toán 11 tập 1
Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1}$ và công sai d
Để tính tổng của n số hạng đầu
${S_n} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{n – 1}} + {u_n}$
Hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng ${S_n}$ theo số hạng đầu ${u_n}$ và công sai d
b) Viết ${S_n}$ theo thứ tự ngược lại: ${S_n} = {u_n} + {u_{n – 1}} + \ldots + {u_2} + {u_1}$ và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo ${u_1}$ và d
c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b) để tính ${S_n}$theo ${u_1}$ và d
Hướng dẫn::
Để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng ${S_n}$, ta dựa vào công thức tính số hạng tổng quát: ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$
Sau đó, ta cộng các số hạng trong dãy số ta được tổng các số hạng ${S_n}$
Lời giải:
a) ${u_2} = {u_1} + d$
${u_3} = {u_1} + 2d$
…
${u_{n – 1}} = {u_1} + \left( {n – 2} \right)d$
${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$
${S_n} = {u_1} + {u_1} + 2d + \ldots + {u_1} + \left( {n – 2} \right)d + {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$
b) ${S_n} = {u_n} + {u_{n – 1}} + \ldots + {u_2} + {u_1} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d + {u_1} + \left( {n – 2} \right)d + \ldots + {u_1} + d + {u_1}$
c) $2{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1} + d + \ldots + {u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right) + \left( {{u_1} + \left( {n – 1} \right)d + {u_1} + \left( {n – 2} \right)d + \ldots + {u_1}} \right)$.
$ \Rightarrow 2{S_n} = n.\left( {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right)$
$ \Rightarrow {S_n} = \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right)$
VD trang 50 toán 11 tập 1
Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là 100 triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh Nam mỗi năm là 20 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó.
Hướng dẫn::
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Dựa vào định nghĩa cấp số cộng, ta áp dụng công thức tổng cấp số cộng: ${S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]$
Lời giải:
Số tiền lương anh Nam nhận được sau 10 lập thành cấp số cộng với:
Số hạng đầu ${u_1} = 100$ và công sai $d = 20$
Tổng lương anh Nam nhận được sau 10 năm là:
${S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right] = \frac{{10}}{2}\left[ {2.100 + \left( {10 – 1} \right).20} \right] = 1900$ (triệu đồng)
Toán 11 tập 1 trang 51
Bài 2.8 trang 51 Toán 11 tập 1
Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:
a) 4, 9, 14, 19, …;
b) 1, -1, -3, -5, …
Lời giải
a) 9 – 4 = 5; 14 – 9 = 5
Suy ra cấp số cộng có u1 = 4, công sai d = 5
Số hạng tổng quát của dãy số là: un = 4 + 5(n − 1)
Số hạng thứ 5: u5 = 4 + 5(5 − 1) = 24
Số hạng thứ 100: u100 = 4 + 5(100 − 1) = 499
b) -1 – 1 = -2; -3 – (-1) = -2
Suy ra cấp số cộng có u1 = 1, công sai d = -2
Số hạng tổng quát của dãy số là: un = 1 + (−2) (n−1)
Số hạng thứ 5: u5 = 1 + (−2) (5−1) = −7
Số hạng thứ 100: u100= 1 + (−2) (100−1) = −197
Bài 2.9 trang 51 Toán 11 tập 1
Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (un) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng un = u1 + (n − 1)d
a) un = 3 + 5n
b) un = 6n − 4
c) u1 = 2, un = un − 1 + n
d) u1 = 2, un = un − 1 + 3
Lời giải
a) u1 = 8; u2 = 13; u3 = 18; u4 = 23; u5 = 28
Ta có: un − un −1 = 3 + 5n − [3 + 5 (n − 1)] = 5 ∀ x ≥ 2
Suy ra dãy số là cấp số cộng có u1 = 8 và công sai d = 5
Số hạng tổng quát: un = 8 + 5 (n − 1)
b) u1 = 2; u2 = 8; u3 = 14; u4 = 20; u5 = 26
Ta có: un − un−1 = 6n − 4 − [ 6 (n − 1) − 4] = 6 ∀ x ≥ 2
Suy ra dãy số là cấp số cộng có u1 = 2 công sai d = 6
Số hạng tổng quát: un = 2 + 6 (n − 1)
c) u1 = 2; u2 = 4; u3 = 7; u4 = 11; u5 = 16
Ta có: u2 − u1 = 2 ≠ u3 − u2 = 3
Suy ra đây không phải cấp số cộng
d) u1 = 2; u2 = 5; u3 = 8; u4 = 11; u5 = 14
Ta có: un − un−1 =3
Suy ra đây là dãy cấp số công có u1 = 2 và công sai d = 3
Số hạng tổng quát: un = 2 + 3 (n − 1)
Bài 2.10 trang 51 Toán 11 tập 1
Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này
Lời giải
Gọi số hạng tổng quát của dãy là: un = u1 + (n − 1)d
Ta có: u5 = u1 + 4d = 18; u12 = u1 + 11d = 32
Suy ra u1 = 10, d = 2
Số hạng tổng quát: un = 10 +2 (n − 1)
Số hạng thứ 50 là: u50 = 108
Bài 2.11 trang 51 Toán 11 tập 1
Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2700?
Lời giải
Gọi n là số các số hạng đầu cần lấy tổng, ta có:
$2700=S_{n}=\frac{n}{2}[2\times 5+(n-1)\times 2]=\frac{n}{2}(8+2n)$
Do đó $4n+n^{2}-2700=0$. Giải phương trình bậc hai này ta được n = -54 (loại) hoặc n = 50
Vậy phải lấy 50 số hạng đầu.
Bài 2.12 trang 51 Toán 11 tập 1
Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.
Lời giải
Giá của chiếc xe sau n năm là: un = 680 − 55 (n − 1)
Vậy sau 5 năm sử dụng giá của chiếc xe là: u5 = 680 − 55 (5 − 1) = 460 (triệu đồng)
Bài 2.13 trang 51 Toán 11 tập 1
Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở đằng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiếu bao nhiêu hàng ghế?
Lời giải
Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}=15$ và công sai d = 3. Gọi n là số các số hạng đầu cua cấp số cộng cần lấy tổng, ta có:
$870=S_{n}=\frac{n}{2}[2\times 15+(n-1)\times 3]=\frac{n}{2}(27+3n)$
Do đó $27n+3n^{2}-1740=0$ , suy ra n = 20, n = -29 (loại)
Vậy cần phải thiết kế 20 hàng ghế
Bài 2.14 trang 51 Toán 11 tập 1
Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1.2 triệu người. Giả sử mõi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố vào năm 2030
Lời giải
Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có u1 = 1200, công sai d = 30
Dân số mỗi năm có dạng tổng quát là: un = 1200 + 30 (n − 1)
Dân số của năm 2030 tức n = 11 u11 = 1200 + 30 (11 − 1) = 1500 (nghìn người)