Toán 11 tập 1 trang 55 Bài 7: Cấp số nhân
Toán 11 tập 1 trang 55 Bài 7: Cấp số nhân
Giải toán 11 tập 1 trang 55 Bài 7 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Toán 11 tập 1 trang 52
HĐ 1 trang 52 toán 11 tập 1
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {3.2^n}$
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa ${u_n}$ và ${u_{n – 1}}$.
Hướng dẫn::
Thay n tương ứng vào công thức số hạng tổng quát ${u_n}$.
Xét tỷ số $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n – 1}}}}$ để tìm mối liên hệ giữa ${u_n}$ và ${u_{n – 1}}$.
Lời giải:
a) Ta có: ${u_1} = 6,\;\;\;\;{u_2} = 12,\;\;\;\;\;{u_3} = 24,\;\;\;\;\;{u_4} = 48,\;\;\;\;\;{u_5} = 96$.
b) Hệ thức truy hồi liên hệ giữa ${u_n}$ và ${u_{n – 1}}$ là: ${u_n} = 2{u_{n – 1}}$.
CH 1 trang 52 toán 11 tập 1
Dãy số không đổi a,a, a,… có phải là một cấp số nhân không?
Hướng dẫn::
Để chứng minh dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỷ số $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n – 1}}}}$ = q không đổi.
Lời giải:
Ta thấy tỉ số của các số hạng là $\frac{a}{a} = 1, \forall n \ge 2$.
Như vậy, dãy số không đổi a,a, a,… là một cấp số nhân.
Toán 11 tập 1 trang 53
LT 1 trang 53 toán 11 tập 1
Cho dãy số ${u_n}$với ${u_n} = {2.5^n}$. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.
Hướng dẫn::
Để chứng minh dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỷ số $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n – 1}}}}$ = q không đổi.
Lời giải:
Ta có: $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n – 1}}}} = \frac{{2 \times {5^n}}}{{2 \times {5^{n – 1}}}} = \frac{{2 \times {5^n}}}{{2 \times {5^{n}.5^{- 1}}}} = 5,\;\forall n \ge 2$.
Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với ${u_1} = 10$ và công bội $q = 5$.
HĐ 2 trang 53 toán 11 tập 1
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$
a) Tính các số hạng ${u_2},{u_3},{u_4},{u_5}$ theo ${u_1}$ và $q$.
b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo ${u_1}$ và $q$.
Hướng dẫn::
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội q thì số hạng tổng quát ${u_n}$ được xác định bởi công thức: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}},\;\forall n \ge 2$
Lời giải:
a) ${u_2} = {u_1}.q$
${u_3} = {u_2}.q = {u_1}.{q^2}$
${u_4} = {u_3}.q = {u_1}.{q^3}$
${u_5} = {u_4}.q = {u_1}.{q^4}$
b) Từ a suy ra: ${u_n} = {u_1} \times {q^{n – 1}}$.
Toán 11 tập 1 trang 54
LT 2 trang 54 toán 11 tập 1
Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?
Hướng dẫn::
Dựa vào đề bài xác định được ${u_1}$ và q, suy ra công thức số hạng tổng quát ${u_n}$.
Lời giải:
Số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ tạo thành cấp số nhân với ${u_1} = 5000,\;q = 1,08$.
Số vi khuẩn ban đầu là ${u_1} = 5000$.
Số vi khuẩn sau 1 giờ là ${u_2}$.
Số vi khuẩn sau 2 giờ là ${u_3}$.
…
Suy ra số vi khuẩn sau 5 giờ là ${u_6}$.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát: ${u_n} = 5000 \times \;1,{08^{n – 1}}$.
Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là: ${u_6} = 5000 \times 1,{08^{6 – 1}} = 7346,64$.
HĐ 3 trang 54 toán 11 tập 1
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = a$ và công bội $q \ne 1$
Để tính tổng của n số hạng đầu${S_n} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{n – 1}} + {u_n}$
Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo ${u_1}$ và q để được biểu thức tính tổng ${S_n}$ chỉ chứa ${u_1}$ và q.
b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích $q.{S_n}$ chỉ chứa ${u_1}$ và $q$.
c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở cả a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính $\left( {1 – q} \right){S_n}$ theo ${u_1}$và $q$. Từ đó suy ra công thức tính ${S_n}$.
Hướng dẫn::
Để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng ${S_n}$, ta dựa vào công thức tính số hạng tổng quát: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$.
Sau đó, ta cộng các số hạng trong dãy số ta được tổng các số hạng ${S_n}$.
Lời giải:
a) ${u_2} = {u_1}.q$
${u_3} = {u_1}.{q^2}$
…
${u_{n – 1}} = {u_1}.{q^{n – 2}}$
${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$
${S_n} = {u_1} + {u_1}q + \ldots + {u_1}{q^{n – 2}} + {u_1}{q^{n – 1}}$
b) $q{S_n} = q{u_1} + {u_1}{q^2} + \ldots + {u_1}{q^{n – 1}} + {u_1}{q^n}$
c) ${S_n} – q{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1}q + \ldots + {u_1}{q^{n – 2}} + {u_1}{q^{n – 1}}} \right) – (q{u_1} + {u_1}{q^2} + \ldots + {u_1}{q^{n – 1}} + {u_1}{q^n})$.
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 – q} \right){S_n} = {u_1} – {u_1}{q^n} = {u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}\end{array}$
CH 2 trang 54 toán 11 tập 1
Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu $S_n$ của nó bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn::
Để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng ${S_n}$, ta dựa vào công thức tính số hạng tổng quát: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$.
Sau đó, ta cộng các số hạng trong dãy số ta được tổng các số hạng ${S_n}$.
Lời giải:
Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì cấp số nhân là $u_1, u_1, …, u_1,…$ Khi đó
${S_n} = u_1 + u_1 + … + u_1 = n . u_1$ (tổng của n số hạng u_1).
Toán 11 tập 1 trang 55
VD trang 55 toán 11 tập 1
Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:
– Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.
– Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%.
Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?
Hướng dẫn::
Dựa vào đề bài xác định đâu là cấp số cộng, đâu là cấp số nhân.
Từ đó suy ra công thức tổng quát, thay giá trị n để tính được tổng lương và so sánh.
Lời giải:
Theo phương án 1, tiền lương mỗi quý tạo thành cấp số nhân với
${u_1} = 5 \times 3 = 15$, công sai $d = 0,5 \times 3 = 1,5$
Công thức tổng quát ${u_n} = 15 + 1,5\left( {n – 1} \right)$
Sau 3 năm làm việc $\left( {n = 12} \right)$, lương của người nông dân là:
$\frac{{12}}{2}\left[ {2 \times 15 + \left( {12 – 1} \right) \times 1,5} \right] = 279$ (triệu đồng)
Theo phương án 2, tiền lương mỗi quý sẽ tạo thành cấp số nhân với
${u_1} = 5 \times 3 = 15$, công bội $q = 1,05$
Công thức tổng quát ${u_n} = 15 \times 1,{05^{n – 1}}$
Sau 3 năm làm việc $\left( {n = 12} \right),$ lương của người nông dân là:
$\frac{{15\left( {1 – 1,{{05}^{12}}} \right)}}{{1 – 1,05}} = 238,757$ (triệu đồng)
Vậy thì theo phương án 1 thì tổng lương nhận được của người nông dân cao hơn.
Bài 2.15 trang 55 Toán 11 tập 1
Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:
a) 1, 4, 16, …;
b) $2, -\frac{1}{2},\frac{1}{8},..$
Lời giải
a) Ta có: 4 : 1 = 4, 16 : 4 = 4
Do đó công bội q = 4
Số hạng tổng quát: $u_{n}=4^{n-1}$
Số hạng thứ 5: $u_{5}=4^{5-1}=256$
Số hạng thứ 100: $u_{100}=4^{100-1}=4.017\times 10^{59}$
b) Ta có: $(-\frac{1}{2}):2=-\frac{1}{4};\frac{1}{8}:(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$
Do đó công bội $q = -\frac{1}{4}$
Số hạng tổng quát: $u_{n}=2\times (-\frac{1}{4})^{n-1}$
Số hạng thứ 5: $u_{5}=2\times (-\frac{1}{4})^{5-1}=\frac{1}{128}$
Số hạng thứ 100: $u_{100}=2\times (-\frac{1}{4})^{100-1}=-4.978\times 10^{-60}$
Bài 2.16 trang 55 Toán 11 tập 1
Viết năm số hạng đầu của dãy số (un) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số hân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng un= u1 × qn−1
a) un = 5n
b) un = 5n
c) u1 = 1; un = nun−1
d) u1= 1, un = 5un−1
Lời giải
a) Năm số hạng đầu của dãy: 5; 10; 15; 20; 25
Ta có: 10 : 5 = 2 $\neq$ 15 : 10 = $\frac{3}{2}$ suy ra $( u_{n} )$ không phải cấp số nhân
b) Năm số hạng đầu của dãy: 5; 25; 125; 625; 3125
Ta có $u_{n}=5^{n}$ nên $u_{n+1}=5^{n+1}\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{5^{n+1}}{5^{n}}=5(\forall n\geq 2)$
Do đó $( u_{n} )$ là cấp số nhân có công bội q = 5
Số hạng tổng quát: $u_{n}=5\times 5^{n-1}$
c) Năm số hạng đầu của dãy: 1; 2; 6; 24; 120
Ta có: 2 : 1 = 2 $\neq$ 6:2=3 nên $(u_{n})$ không phải là cấp số nhân
d) Năm số hạng đầu của dãy: 1; 5; 25; 125; 625
Ta có: $u_{n}=5u_{n-1}$ nên $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=5(\forall n\geq 2)$
Do đó $(u_{n})$ là cấp số nhân với cong sai q = 5
Số hnagj tổng quát: $u_{n}=5^{n-1}$
Bài 2.17 trang 55 Toán 11 tập 1
Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này
Lời giải
Gọi số hạng tổng quát của cấp số nhân là: $u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$
Ta có: $u_{6}=u_{1}\times q^{5}=96;u_{3}=u_{1}\times q^{2}=12$
Nên $\frac{u_{1}q^{5}}{u_{1}q^{2}}=\frac{96}{12}\Rightarrow q^{3}=8\Rightarrow q=2$
Do đó: $u_{1}=3$
Suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy là: $u_{n}=3\times 2^{n-1}$
Vậy $u_{50}=3\times 2^{50-1}=1.689\times 10^{15}$
Bài 2.18 trang 55 Toán 11 tập 1
Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5115?
Lời giải
Ta có số hạng tổng quát của dãy là $u_{n}=5\times 2^{n-1}$
Gọi n là số các số hạng cần lấy tổng:
$5115=S_{n}=\frac{5(1-2^{n})}{1-2}=-5+5\times 2^{n}\Rightarrow 2^{n}=1024\Rightarrow n=10$
Vậy số các số hạng cần lấy tổng là 10
Bài 2.19 trang 55 Toán 11 tập 1
Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng
Lời giải
Giá trị của chiếc máy ủi mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu bằng 3 và công bội q = 0.8.
Giá trị của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là: u5 = 3 × 0.85 − 1 = 0.1875 (tỷ đồng)
Bài 2.20 trang 55 Toán 11 tập 1
Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0.91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030
Lời giải
Dân số hằng năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 97 và công bội q = 1.0091
Dân số của quốc gia đó năm 2030 (tức n = 11) là u11 = 97 × 1.009111−1 = 106.197 (triệu người)
Bài 2.21 trang 55 Toán 11 tập 1
Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp
Lời giải
Lượng thuốc trong máu mỗi ngày cảu bệnh nhân lập thành cấp số nhân với số hạng đầu là 50 và công bội q = 0.5
Tổng lượng thuốc trong máu 10 ngày liên tiếp chính là tổng 10 số hạng đầu cảu cấp số nhân này và bằng: $S_{n}=\frac{50[1-(0.5)^{10}]}{1-0.5}=99.902$ (mg)