Toán 11 tập 1 trang 56 Bài tập cuối chương 2

Giải toán 11 tập 1 trang 56 Bài tập cuối chương 2 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 1 trang 56

Bài 2.22 trang 56 Toán 11 tập 1

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới

B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên

C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm

D. Một dãy số không đổi thì bị chặn

Lời giải

Đáp án: D

Bài 2.23 trang 56 Toán 11 tập 1

Cho dãy số $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},$… (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó)

Công thức tổng quát của dãy số đã cho là:

A. $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n}$

B. $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{n-1}}$

C. $u_{n}=\frac{1}{2n}$

D. $u_{n}=(\frac{1}{2})^{n-1}$

Lời giải

Đáp án: D

Bài 2.24 trang 56 Toán 11 tập 1

Cho dãy số (u_n) với u_n = 3n + 6. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số $u_{n}$ là cấp số cộng với công sai d = 3

B. Dãy số $u_{n}$ là cấp số cộng với công sai d = 6

C. Dãy số $u_{n}$ là cấp số nhân với công bội q = 3

D. Dãy số $u_{n}$ là cấp số nhân với công bội q = 6

Lời giải

Ta có: u_n − u_n−1 = (3n + 6) − [3 (n − 1) + 6] = 3

Suy ra dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 3

Đáp án: A

Bài 2.25 trang 56 Toán 11 tập 1

Trong dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. u₁ = −1, u_n+1 = $u_{n}^{2}$

B. u₁ = −1, u_n+1 = 2u_n

C. u₁ = −1, u_n+1 = u_n + 2

D. u₁ − 1, u_n+1 = u_n − 2

Lời giải

Đáp án: B

Bài 2.26 trang 56 Toán 11 tập 1

Tổng 100 số hạng đầu của dãy số (un) với u_n = 2n − 1 là

A. 199

B. 2¹⁰⁰ − 1

C. 10000

D. 9999

Lời giải

Ta có: u₁ = 2 × 1 − 1 = 1

u_n − u_n−1 = (2n − 1) − [2 (n − 1) − 1] = 2

Vậy (u_n) là cấp số công với u₁ = 1 và công sai d = 2

Suy ra S₁₀₀ = $\frac{100}{2}$ [2 × 1 + (100 − 1) 2] = 10000

Đáp án: C

Toán 11 tập 1 trang 57

Bài 2.27 trang 57 Toán 11 tập 1

Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?

Lời giải

Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.

Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông

……

Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông.

Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là:

1 + 2 + 3 + …. + 11 + 12

Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 1, công sai d = 1

Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là:

S₁₂ = $\frac{12 \times (1+12)}{2} = 78$

Bài 2.28 trang 57 Toán 11 tập 1

Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, tế bao ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Lời giải

Số tế bào phân chia sau mỗi 20 phút tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu là 2, công bội là 2

Sau 24 giờ (tức n = (24 x 60) : 20 = 72) tế bào ban đầu phân chia thành số tế bào là: u₇₂ = 2 × 2⁷¹ = 4.722 × 10²¹

Bài 2.29 trang 57 Toán 11 tập 1

Chứng minh rằng:

a) Trong một cấp số cộng $(u_{n})$ , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là số trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là $u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ với $k\geq 2$

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề nó, nghĩa là $u_{k}^{2}=u_{k-1}\times u_{k-1}$ với $k\geq 2$

Lời giải

a) Ta có: $u_{n-1}=u_{1}+(n-2)d$

$u_{n}=u_{1}+(n-1)d$

$u_{n+1}=u_{1}+nd$

Do đó: $u_{n-1}+u_{n+1}=u_{1}+(n-2)d+u_{1}+nd=2u_{1}+(2n-2)d=2[u_{1}+(n-1)d]=2u_{n}$

Suy ra $u_{n}=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$

b) Ta có: $u_{n-1}=u_{1}\times q^{n-2}$

$u_{n}=u_{1}\times q^{n-1}$

$u_{n+1}=u_{1}\times q^{n}$

Do đó $u_{n-1}\times u_{n+1}=(u_{1}\times q^{n-2})\times (u_{1}\times q^{n})=u_{1}^{2}q^{2n-2}=(u_{1}q^{n-1})^{2}=u_{1}^{2}$

Bài 2.30 trang 57 Toán 11 tập 1

Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Lời giải

Gọi ba số cần tìm lần lượt là x, y, z.

Theo tính chất của cấp số cộng ta có x + z = 2y

Kết hợp với giả thiết x + y + z = 21, ta suy ra 3y = 21 ⇔ y =

Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x = y – d = 7 – d và z = y + d = 7 + d

Sau khi thêm các số 2; 3; 9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x + 2, y + 3, z + 9 hay 9 – d, 10, 16 + d

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: (9 − d) (16 + d) = 10² ⇔ d² + 7d − 44 = 0

Giải phương trình ta được d = -11 hoặc d = 4

Suy ra ba số cần tìm là 18, 7, -4 hoặc 3, 7, 11

Bài 2.31 trang 57 Toán 11 tập 1

Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0.5 m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 25 bậc, mỗi bậc cao 16 cm.

a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc cầu thang thứ n so với mặt sân

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân

Lời giải

a. Mỗi bậc thang cao 16cm = 0,16m.

⇒ n bậc thang cao 0,16n (m)

Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5m nên công thức tính độ cao của bậc n so với mặt sân sẽ là:

h_n = (0, 5 + 0,16n) (m)

b. Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 25 là:

$h_{25}$ = 0,5 + 0,16 x 25 = 4,5 (m)

Bài 2.32 trang 57 Toán 11 tập 1

Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này tiếp tục lặp lại năm lần, thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh là bao nhiêu?

Lời giải

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ nhất là: $\frac{1}{9}$, số ô vuông màu xanh được tạo thêm là 8⁰

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ hai là: $\frac{1}{9^{2} }$, số ô vuông màu xanh được tạo thêm là 8¹

…

Diện tích ô vuông màu xanh sau lần phân chia thứ năm là: $\frac{1}{9^{5} }$, số ô vuông màu xanh được tạo thêm là 8⁴

Tổng diện tích các ô vuông màu xanh là : $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9^{2} }$ × 8¹ +…+ $\frac{1}{9^{5} }$ × 8⁴ = 0.445