Toán 11 tập 1 trang 67 Bài 9: Các số đặc trưng đo các xu thế trung tâm

Giải toán 11 tập 1 trang 67 Bài 9 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 1 trang 62

HĐ1 trang 62 toán 11 tập 1

Khảo sát thời gian tự học của các học sinh trong lớp theo mẫu bên.

a) Hãy lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm thu được

b) Có thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp không?

c) Có cách nào tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này không?

Hướng dẫn::

Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm sang mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1: Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước.

Bước 2: Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép.

Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm, có thể ước lượng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu gốc.

Lời giải:

a)

a) Giả sử lớp 11A có 30 học sinh và sau khi khảo sát, ta có được bảng thống kê như sau:

b) Không thể tính chính xác, chúng ta chỉ có thể tinh số gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp

c) Giá trị đại diện của nhóm bằng trung bình giá trị đầu mút phải và trái của nhóm đó

Nhóm $ \ge 4.5$ là nhóm mở nên ta dựa theo nhóm gần đó nhất là nhóm [3;4.5) để lấy giá trị đại diện

Số trung binh của mẫu số liệu: : $\bar x = \frac{{0.75 \times 8 + 2.25 \times 23 + 2.75 \times 6 + 5.25 \times 3}}{{40}} = 2.25$.

Toán 11 tập 1 trang 63

LT1 trang 63 toán 11 tập 1

Tìm hiểu thời gian xem ti vi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả sau:

Tính thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh này.

Lời giải:

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh này là:${\rm{\;}}\bar x = \frac{{8 \times 2.5 + 16 \times 7.5 + 4 \times 12.5 + 2 \times 17.5 + 2 \times 22.5}}{{8 + 16 + 4 + 2 + 2}} = 8.4375$ (giờ).

HĐ2 trang 63 toán 11 tập 1

Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 21 cây na giống

Gọi ${X_1},\;{X_2},\; \ldots ,\;{X_{21}}$ là chiều cao của các cây giống, đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, ${X_1},\;\;…,{X_3}$ thuộc $\left[ {0;5} \right),\;{X_4},\; \ldots ,{X_{11}}$ thuộc $\left[ {5;10} \right), \ldots $ Hỏi trung vị thuộc nhóm nào?

Lời giải:

Cỡ mẫu $n = 3 + 8 + 7 + 3 = 21$.

Suy ra trung vị là ${x_{11}}$ thuộc nhóm [5; 10).

Toán 11 tập 1 trang 64

LT2 trang 64 toán 11 tập 1

Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng bên.

Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Hướng dẫn::

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1: Xác định nhóm chưa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ $p:\left[ {{a_p};\;{a_{p + 1}}} \right)$.

Bước 2: Trung vị là ${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} – \left( {{m_1} +  \ldots  + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\;\left( {{a_{p – 1}} – {a_p}} \right),$.

Trong đó n là cỡ mẫu, ${m_p}$là tần số nhóm p. Với $p = 1$, ta quy ước ${m_1} +  \ldots  + {m_{p – 1}} = 0$.

Lời giải:

Cỡ mẫu là $n = 18 + 28 + 35 + 43 + 43 + 41 + 35 = 200$.

Gọi ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{200}}$ là tốc độ giao bóng của 200 lần và giả sử dãy này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị là $\frac{{{x_{100}} + {x_{101}}}}{2}$.

Do hai giá trị ${x_{100}},\;{x_{101}}$thuộc nhóm [165;170) nên nhóm này chứa trung vị.

Suy ra , $p = 4;{a_4} = 165;{m_4} = 43;\;{m_1} + {m_2} + {m_3} = 18 + 28 + 35 = 81;{a_5} – {a_4} = 5$.

Ta có: ${M_e} = 165 + \frac{{\frac{{200}}{2} – 81}}{{43}}.5 = 167.21$.

HĐ3 trang 64 toán 11 tập 1

Với mẫu số liệu ghép nhóm cho trong HĐ2, hãy cho biết tứ phân vị nhất ${Q_1}$ và tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ thuộc nhóm nào.

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như Bảng 3.2

Hướng dẫn::

Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

Lời giải:

Cỡ mẫu là: $n = 21$.

Suy ra tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$là $\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}$. Do ${x_5};{x_6}$ đều thuộc nhóm [5;10) nên từ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [5;10).

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là $\frac{{{x_{16}} + {x_{17}}}}{2}$ . Do ${x_{16}};\;{x_{17}}$đều thuộc nhóm [10; 15) nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [10; 15).

Toán 11 tập 1 trang 65

LT3 trang 65 toán 11 tập 1

Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba cho mẫu số liệu ghép nhóm ở Luyện tập 2.

Hướng dẫn::

Để tính tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa ${Q_1}$, giả sử đó là nhóm thứ $p:\left[ {{a_p};\;{a_{p + 1}}} \right).\;$Khi đó,

${Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} – \left( {{m_1} +  \ldots  + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$,

Trong đó, n là cỡ mẫu, ${m_p}$ là tần số nhóm p, với $p = 1$ ta quy ước ${m_1} +  \ldots  + {m_{p – 1}} = 0$.

Để tính tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa ${Q_3}$. Giả sử đó là nhóm thứ $p:\left[ {{a_p};\;{a_{p + 1}}} \right)$. Khi đó,

${Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} – \left( {{m_1} +  \ldots  + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} – {a_p}} \right)$,

Trong đó, n là cỡ mẫu, ${m_p}$ là tần số nhóm p, với $p = 1$ ta quy ước ${m_1} +  \ldots  + {m_{p – 1}} = 0$.

Lời giải:

Cỡ mẫu: $n = 200$

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là $\frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}$. Do ${x_{50}},\;{x_{51}}$ đều thuộc nhóm [160; 165) nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [160; 165).

Do đó, $p = 3,\;{a_3} = 160,\;{m_3} = 35;\;\;{m_1} + {m_2} = 18 + 28 = 46;\;\;{a_4} – {a_3} = 5$

Ta có: ${Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{200}}{4} – 46}}{{35}} \times 5 = 160.57$

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là $\frac{{{x_{150}} + {x_{151}}}}{2}$. Do ${x_{150}},\;{x_{151}}$ đều thuộc nhóm [170; 175) nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [170; 175).

Do đó, $p = 5,\;{a_5} = 170,\;{m_5} = 41;\;\;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} = 18 + 28 + 35 + 43 = 124;\;\;{a_6} – {a_5} = 5$.

Ta có: ${Q_3} = 170 + \frac{{\frac{{600}}{4} – 124}}{{41}} \times 5 = 173.17$.

Toán 11 tập 1 trang 66

HĐ4 trang 66 toán 11 tập 1

Với số liệu cho trong Luyện tập 1:

a) Có thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh không?

b) Mốt thuộc nhóm nào là hợp lí nhất? Nên lấy số nào trong nhóm để ước lượng cho mốt? Cho mẫu số liệu ghép nhóm như trong Bảng 3.2.

Hướng dẫn::

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thể trung tâm của mẫu số liệu.

Lời giải:

a) Không thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh

b) Tần số lớn nhất là 16 nên nhóm chứa mốt là [5;10)

Ta có $j = 2,\;{a_2} = 5,\;{m_2} = 16,\;{m_1} = 8;\;{m_3} = 4,\;h = 5.$ Do đó,

${M_0} = 5 + \frac{{16 – 8}}{{\left( {16 – 8} \right) + \left( {16 – 4} \right)}} \times 5 = 7$.

LT4 trang 66 toán 11 tập 1

Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau:

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Hướng dẫn::

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm $j:\left[ {{a_j};\;{a_{j + 1}}} \right)$

Bước 2: Mốt được xác định là: ${M_0} = {a_j} + \frac{{{m_j} – {m_{j – 1}}}}{{\left( {{m_j} – {m_{j – 1}}} \right) + \left( {{m_j} – {m_{j + 1}}} \right)}}.h$

Trong đó ${m_j}$ là tần số của nhóm j (quy ước ${m_0} = {m_{k + 1}} = 0)$ và h là độ dài của nhóm.

Lời giải:

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa mốt là [10.5;20.5]

Ta có $j = 2,\;{a_2} = 10.5,\;{m_2} = 10,\;{m_1} = 2;\;{m_3} = 6,\;h = 10.$ Do đó,

${M_0} = 10.5 + \frac{{10 – 2}}{{\left( {10 – 2} \right) + \left( {10 – 6} \right)}} \times 10 = 17.16$.

VD trang 66 toán 11 tập 1

Hãy tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu trong Bảng 3.1 và giải thích ý nghĩa của các giá trị thu được.

Hướng dẫn::

Sử dụng công thức số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là $\bar x$

$\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} +  \ldots  + {m_k}{x_k}}}{n}$

Trong đó $n = {m_1} +  \ldots  + {m_k}$ là cỡ mẫu và  là giá trị đại diện của nhóm $\left[ {{a_i},{a_{i + 1}}} \right)$

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1: Xác định nhóm chưa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ $p:\left[ {{a_p};\;{a_{p + 1}}} \right)$.

Bước 2: Trung vị là ${M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} – \left( {{m_1} +  \ldots  + {m_{p – 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\;\left( {{a_{p – 1}} – {a_p}} \right),$

Trong đó n là cỡ mẫu, ${m_p}$là tần số nhóm p. Với $p = 1$, ta quy ước ${m_1} +  \ldots  + {m_{p – 1}} = 0$

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định nhóm có tần sốớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm $j:\left[ {{a_j};\;{a_{j + 1}}} \right)$.

Bước 2: Mốt được xác định là: ${M_0} = {a_j} + \frac{{{m_j} – {m_{j – 1}}}}{{\left( {{m_j} – {m_{j – 1}}} \right) + \left( {{m_j} – {m_{j + 1}}} \right)}}.h$.

Trong đó ${m_j}$ là tần số của nhóm j (quy ước ${m_0} = {m_{k + 1}} = 0)$ và h là độ dài của nhóm.

Lời giải:

Ta có:

Số trung bình là $\bar x = \frac{{3 \times 15 + 15 \times 45 + 10 \times 75 + 7 \times 105}}{{3 + 15 + 10 + 7}} = 63$

Cỡ mẫu là: $n = \;3\; + \;15\; + \;10\; + \;7\; = 35$

Ý nghĩa: Xấp xỉ bằng số trung bình của mẫu số liệu gốc, cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và đại diện cho mẫu số liệu

Trung vị là ${x_{18}}$ thuộc nhóm $\left[ {30;60} \right)$, do đó

$p = 2,\;{a_2} = 30;\;{m_2} = 15;\;\;{m_1} = 3;\;\;{a_3} – {a_2} = 30$ và ta có:

${M_e} = 30 + \frac{{\frac{{35}}{2} – 3}}{{15}} \times 30 = 59$.

Toán 11 tập 1 trang 67

Bài 3.4 trang 67 Toán 11 tập 1

Quãng đường (km) từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân một nhà máy được ghi lại như sau:

5; 3; 10; 20; 25; 11; 13; 7; 12; 31; 19; 10; 12; 17; 18; 11; 32; 17; 16; 2; 7; 9; 7; 8; 3; 5; 12; 15; 18; 3; 12; 14; 2; 9; 6; 15; 15; 7; 6; 12.

a) Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là [0;5). Tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm

b) Tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào chính xác hơn?

c) Xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thu được

Lời giải

a)

b) Với mẫu số liệu không ghép nhóm:

$\bar{x}$ = (5 + 3 + 10 + 20 + 25 + 11 + 13 + 7 + 12 + 31 + 19 + 10 + 12 + 17 + 18 + 11 + 32 + 17 + 16 + 2 + 7 + 9 + 7 + 8 + 3 + 5 + 12 + 15 + 18 + 3 + 12 + 14 + 2 + 9 + 6 + 15 + 15 + 7 + 6 + 12) : 40 = 11.9

Với mẫu số liệu ghép nhóm:

$\bar{x}=\frac{2.5\times 6+7.5\times 10+12.5\times 11+17.5\times 9+22.5+27.5+32.5\times 2}{40}=12.5$

Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm chính xác hơn

c) 11 là tần số lớn nhất nên nhóm chưa mốt là [10;15)

Bài 3.5 trang 67 Toán 11 tập 1

Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau:

a) Xác định mốt và giải thích ý nghĩa

b) Tính tuổi thọ trung bình của 50 bình ắc quy ô tô này

Lời giải

a) 14 là tần số lớn nhất nên mốt thuộc nhóm [3; 3.5), ta có $j = 3, a_{3}=3,m_{3}=14,m_{2}=9,m_{4}=11,h =0.5$

Do đó: $M_{o}=3+\frac{14-9}{(14-9)+(14-11)}\times 0.5=3.31$

b)

Tuổi thọ trung bình:

$\bar{x}=\frac{4\times 2.25+9\times 2.75+14\times 3.25+11\times 3.75+7\times 4.25+5\times 4.75}{50}=3.48$

Bài 3.6 trang 67 Toán 11 tập 1

Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau:

a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2

b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng

Lời giải

a)

b) Cỡ mẫu n = 60

Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ là $\frac{x_{15}+x_{16}}{2}$ . Do $x_{15},x_{16}$ đều thuộc nhóm [40;50) nên nhóm này chứa $Q_{1}$ . Do đó, $p=5;a_{5}=40,m_{5}=15,m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}=1+2+4+6=13,4$

$4a_{6}-a_{5}=10$ và ta có:

$Q_{1}=40+\frac{\frac{60}{4}-13}{15}\times 10=41.33$

Ý nghĩa: Có 25% số giá trị nhỏ hơn 41.3

Tứ phân vị thứ hai tức $M_{e} là \frac{x_{30}+x_{31}}{2}$ . Do $x_{30},x_{31}$ đều thuộc nhóm [50;60) nên nhóm này chứa $M_{e}$ . Do đó, $p=6;a_{6}=50,m_{6}=12$,

$m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+m_{5}=1+2+4+6+15=28$,

$a_{7}-a_{6}=10$ và ta có:

$M_{e}=50+\frac{\frac{60}{2}-28}{12}\times 10=51.67$

Ý nghĩa: Có 50% số giá trị nhỏ hơn 51.67

Tứ phân vị thứ ba $Q_{3} là \frac{x_{45}+x_{46}}{2}$. Do $x_{45},x_{46}$ đều thuộc nhóm [60;70) nên nhóm này chứa $Q_{3}$. Do đó, $p=7;a_{7}=60,m_{7}=10$,

$m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4}+m_{5}+m_{6}=1+2+4+6+15+12=40$

$a_{8}-a_{7}=10$ và ta có:

$Q_{3}=60+\frac{\frac{60\times 3}{4}-40}{10}\times 10=65$

Ý nghĩa: Có 75% số giá trị nhỏ hơn 65

Bài 3.7 trang 67 Toán 11 tập 1

Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được kết quả số liệu ở bên

a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ

b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?

Lời giải

a)

Thời gian ngủ trung bình của các bạn nam $\bar{x}_{nam}=\frac{4.5\times 6+5.5\times 10+6.5\times 13+7.5\times 9+8.5\times 7}{6+10+13+9+7}=6.52$

Thời gian ngủ trung bình của các bạn nữ $\bar{x}_{nữ}=\frac{4.5\times 4+5.5\times 8+6.5\times 10+7.5\times 11+8.5\times 8}{4+8+10+11+8}=6.77$

6.77 > 6.52. Như vậy thời gian ngủ trung bình của các bạn nữ nhiều hơn các bạn nam

b) Cỡ mẫu n = 86

Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ là $\frac{x_{21}+x_{22}}{2}$ . Do $x_{21},x_{22}$ đều thuộc nhóm [5;6) nên nhóm này chứa $Q_{1}$ . Do đó, $p=2,a_{2}=5,m_{2}=18;m_{1}=10,a_{3}-a_{2}=1$ và ta có:

$Q_{1}=5+\frac{\frac{86}{4}-10}{18}\times 1=5.64$

Vậy 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất 5.64 giờ