Toán 11 tập 1 trang 77 Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Giải toán 11 tập 1 trang 77 Bài 10 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 1 trang 71

HĐ 1 trang 71 toán 11 tập 1

Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc một mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình ảnh đó.

Lời giải

Cái nắm cửa tủ cho ta hình ảnh về một điểm thuộc một mặt phẳng.

Toán 11 tập 1 trang 72

HĐ 2 trang 72 toán 11 tập 1

– Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai điểm A, B của trụ nhảy thể hiện hình ảnh của một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng đi qua hai điểm A,B hay không?

– Câu hỏi: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong số ba điểm không thẳng hàng?

Hướng dẫn::

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Lời giải:

– Không thể tìm được đường thẳng khác đi qua hai điểm A,B.

– Trả lời câu hỏi: Với mỗi 2 điểm phân biệt sẽ có duy nhất một đường thẳng đi qua. Như vậy, với 3 điểm không thẳng hàng sẽ tạo thành 3 cặp điểm phân biệt nên sẽ có 3 đường thẳng đi qua 2 trong số 3 điểm đó

HĐ 3 trang 72 toán 11 tập 1

– Trong Hình 4.4 là một khối rubik có bốn đỉnh và bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác.

a) Đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn. Khi đó, mặt màu đỏ của khối rubik có nằm trên mặt bàn hay không?

b) Có thể đặt khối rubik sao cho bốn đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn hay không?

– Câu hỏi: Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng?

Hướng dẫn::

– Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

– Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Lời giải:

a) Vì 3 đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn nên mặt màu đỏ cũng nằm trên mặt bàn.

b) Không thể đặt khối rubik sao cho bốn đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn vì bốn đỉnh của rubik không cùng thuộc một mặt phẳng.

Trả lời câu hỏi: Có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng

LT 1 trang 72 toán 11 tập 1

Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn đỉnh của tứ giác đó?

Hướng dẫn::

Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó.

Lời giải:

Có 4 mặt phẳng đi qua ba trong số bốn đỉnh của tứ giác đó là: (DAB), (DAC), (DBC), (ABC).

VD 1 trang 72 toán 11 tập 1

Hãy giải thích tại sao trong thực tiễn có nhiều đồ vật được thiết kế gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nồi,…

Hướng dẫn::

Dựa vào các tính chất thừa nhận của mặt phẳng.

Lời giải:

Với thiết kế 3 chân, tạo thành mặt phẳng cố định giúp giá đỡ được chắc chắn hơn.

Toán 11 tập 1 trang 73

HĐ 4 trang 73 toán 11 tập 1

Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây nằm trên mặt bàn hay không?

Hướng dẫn::

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Lời giải:

Vì hai đầu của sợi dây là hai điểm thuộc sợi dây đó nằm trên mặt bàn nên sợi dây đó cũng nằm trên mặt bàn.

LT 2 trang 73 toán 11 tập 1

Trong Ví dụ 2, lấy điểm N thuộc đường thẳng AB sao cho N khác M. Đường thẳng MN có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không?

Hướng dẫn::

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Lời giải:

Đưởng thẳng MN có hai điểm phân biệt M, N thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (ABC).

HĐ 5 trang 73 toán 11 tập 1

Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể có giao nhau theo đường thẳng hay không?

Hướng dẫn::

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.

Lời giải:

Mặt nước và thành bể có giao nhau theo đường thẳng đi qua các điểm chung.

Toán 11 tập 1 trang 74

LT 3 trang 74 toán 11 tập 1

Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).

Hướng dẫn::

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng đó.

Lời giải:

Vì A là giao điểm của BM và CN nên A nằm trên cả hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).

Ta có: S, A là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường SA.

HĐ 6 trang 74 toán 11 tập 1

Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trên đường thẳng d lấy hai điểm phân biệt B, C (H.4.9). Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay không? Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?

Hướng dẫn::

– Một mặt phẳng hoàn toàn xác định khi nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

– Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Lời giải:

Mặt phẳng (ABC) chứa điểm A và đường thẳng d.

Do đó mp(ABC) cũng chứa hai đường thẳng AB và BC.

Toán 11 tập 1 trang 75

LT 4 trang 75 toán 11 tập 1

Trong Ví dụ 4, vẽ một đường thẳng c cắt cả hai đường thẳng a và b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: mp (S, a) và mp (S, c); mp (S, b) và mp (S, c).

Hướng dẫn::

Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng đó.

Lời giải:

Đường thẳng c cắt a, b lần lượng tại A và B.

Giao tuyến của mp(S,a) và mp(S,c) là SA.

Giao tuyến của mp(S,b) và mp(S,c) là SB.

VD 2 trang 75 toán 11 tập 1

Để tránh cho cửa ra vào không bị va đập vào các đồ dùng xung quanh (do mở cửa quá mạnh hoặc do gió to đập cửa), người ta thường sử dụng một phụ kiện là hít cửa nam châm. Hãy giải thích tại sao khi cửa được hút tới vị trí của nam châm thì cánh cửa được giữ cố định.

Hướng dẫn::

Mặt sàn là một mặt phẳng chứa cục chặn và cánh cửa. Nhờ lực hút của lò xo làm giảm lực va chạm, giữ cánh cửa cố định.

Lời giải:

Phần thân của cục chặn và cục nam châm hít cửa đều được tạo thành từ các nguyên liệu cứng, có tính chịu lực cao như inox, hợp kim kẽm để đảm bảo chịu lực va chạm tốt. Tuy nhiên, cục chặn sẽ có phần đầu chặn được làm bằng cao su để giảm lực va chạm của cửa, trong khi cục hít cửa có phần đầu chặn được làm bằng nam châm và lò xo để giảm va chạm.

HĐ 7 trang 75 toán 11 tập 1

Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình chóp tam giác đều mà em đã học ở lớp 8?

Hướng dẫn::

Dựa vào tính chất của hình chóp tam giác đều để so sánh.

Lời giải:

– Các cạnh bên đều bằng nhau.

– Các mặt bên của hình chóp này là tam giác cân.

– Chân đường cao trung với tâm đáy.

– Góc được tạo bởi mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau.

– Góc được tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau.

Toán 11 tập 1 trang 76

LT 5 trang 76 toán 11 tập 1

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi tên các mặt bên và mặt đáy của hình chóp đó.

Hướng dẫn::

Hình chóp là một hình không gian gồm có một đa giác gọi là mặt đáy, các tam giác chung đỉnh gọi là mặt bên, đỉnh chung của các mặt bên đó gọi là đỉnh của hình chóp (h.2.4)

Lời giải:

– Các mặt bên: (SAB), (SBC), (SCD), (SAD).

– Mặt đáy: ABCD.

HĐ 8 trang 76 toán 11 tập 1

Trong các hình chóp ở HĐ7, hình chóp nào có ít mặt nhất? Xác định số cạnh và số mặt của hình chóp đó.

Hướng dẫn::

Quan sát các hình chóp, ta có thể đếm được số mặt và cạnh.

Lời giải:

Hình thứ ba có ít mặt nhất. Có 4 mặt và 6 cạnh.

LT 6 trang 76 toán 11 tập 1

Trong Ví dụ 6, xác định giao điểm của đường thẳng DF và mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn::

Để xác định giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng, ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.

Lời giải:

Xét trong mp(BCD) ta có: DE cắt BC tại K.

Xét trong mp(ADK) ta có: DF cắt AK tại H.

Như vậy, H thuộc đường thẳng DF và AK mà AK nằm trong mp(ABC) suy ra H cũng nằm trong mp(ABC).

Do đó, H là giao điểm của DF và mp(ABC).

Toán 11 tập 1 trang 77

Bài 4.1 trang 77 Toán 11 tập 1

Trong không gian, cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu a chứa một điểm nằm trong (P) thì a nằm trong (P)

b) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (P) thì a nằm trong (P)

c) Nếu a và b cùng nằm trong (P) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong (P)

d) Nếu a nằm trong (P) và a cắt b thì b nằm trong (P)

Lời giải

Mệnh đề đúng: b, c

Bài 4.2 trang 77 Toán 11 tập 1

Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Lấy D, E là các điểm lần lượt thuộc các cạnh SA, SB và D, E khác S

a) Đường thẳng DE có nằm trong mặt phẳng (SAB) không?

b) Giả sử DE cắt AB tại F. Chứng minh rằng F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE)

Lời giải

a) Ta có các điểm D, E đều nằm trong mp(SAB) nên đường thẳng DE nằm trong mp (SAB)

b) F thuộc AB suy ra F nằm trong mp (SAB)

F thuộc DE suy ra F nằm trong mp(CDE)

Do đó, F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE)

Bài 4.3 trang 77 Toán 11 tập 1

Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng a, b nằm trong (P). Một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P).

Lời giải

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại A và B

Ta có A thuộc a mà a nằm trong mp(P) suy ra A cũng nằm trong mp(P)

B thuộc b mà b nằm trong mp(P) suy ra B cũng nằm trong mp(P)

Suy ra đường thẳng AB cũng nằm trong mp(P) tức c cũng nằm trong mp(P)

Bài 4.4 trang 77 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và M là một điểm thuộc cạnh SC (M khác S, C). Giả sử hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại N. Chứng minh rằng đường thẳng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD)

Lời giải

Ta có N thuộc đường thẳng AB , mà AB nằm trong mặt phẳng (ABM) nên N cũng nằm trong mp(ABM)

M và N đều nằm trong mặt phẳng (ABM) nên MN nằm trong mp(ABM) (1)

M thuộc SC suy ra M nằm trong mp(SCD), N thuộc đường thẳng CD nên N nằm trong mp(SCD)

Do đó, MN nằm trong mp(SCD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN là giao tuyến của hai mp(ABM) và (SCD)

Bài 4.5 trang 77 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và lấy một điểm E thuộc cạnh SA của hình chóp (E khác S, A). Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ một đường thẳng d cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại M, N và cắt các tia AB, AD lần lượt tại P, Q.

a) Xác định giao điểm của mp(E,d) với các cạnh SB, SD của hình chóp.

b) Xác định giao tuyến của mp(E,d) với các mặt của hình chóp

Lời giải

a) – giao điểm của mp(E,d) với cạnh SB

P thuộc AB suy ra P cũng thuộc mp(SAB)

Trên mp(SAB), gọi giao điểm của EP và SB là I

P thuộc đường thẳng d suy ra P cũng nằm trên mp(E,d)

E, P đều nằm trên mp(D,d) suy ra EP nằm trên mp(E,d) suy ra I cũng nằm trên mp(E,d)

Vậy I là giao điểm của mp(E,d) và SB

– giao điểm của mp(E,d) với cạnh SD.

Q thuộc AD suy ra Q nằm trên mp(SAD)

Gọi giao điểm của EQ và SD là K

Q thuộc đường thẳng d suy ra Q cũng nằm trên mp(E,d)

E, Q đều nằm trên mp(E,d) suy ra EQ nằm trên mp(E,d) , suy ra K cũng nằm trên mp(E,d)

Vậy K là giao điểm của mp(E,d) và SD

b) Ta có EI cùng thuộc mp(SAB) và mp(E,d) suy ra EI là giao điểm của hai mặt phẳng

EK cùng thuộc mp(SAD) và mp(E,d) suy ra EI là giao điểm của hai mặt phẳng

IM ∈ mp(SBC), IM ∈ mp(E,d) suy ra IM là giao điểm của hai mp(SBC) và mp(E,d)

KN ∈ mp(SCD), kn ∈ mp(E,d) suy ra Kn là giao điểm của mp(SCD) và mp(E,d)

Bài 4.6 trang 77 Toán 11 tập 1

Cho hình tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = CM, BN = CN, BP = 2DP.

a) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP)

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP)

Lời giải

a) Xét trên mp(BCD): NP cắt CD tại I

I thuộc NP suy ra I nằm trên mp(MNP)

Suy ra giao điểm của CD và mp(MNP) là I

b) Ta có I, M đều thuộc mp(ACD) suy ra IM nằm trên mp(ACD)

I, M đều thuộc mp(MNP) suy ra IM nằm trên mp(MNP)

Do đó, IM là giao tuyến của 2 mp(ACD) và mp(MNP)

Bài 4.7 trang 77 Toán 11 tập 1

Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải bưng bê nhiều khay, đĩa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được bưng ít nhất 3 ngón tay. Hãy giải thích tại sao.

Lời giải

Việc bưng ít nhất 3 ngón tay sẽ tạo thành mặt phẳng cố định chứa mặt khay giúp cố định khay trong quá trình di chuyển

Bài 4.8 trang 77 Toán 11 tập 1

Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng photo-copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính: phần bàn hình chữ nhật có chia kích thước giấy và phần dao cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn là đường thẳng.

Lời giải

Ta có: mặt phẳng chứa phần bàn và mặt phẳng chứa dao cắt, đường cắt chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng nên đường cắt luôn là đường thẳng