Toán 11 tập 1 trang 82 Bài 11: Hai đường thẳng song song

Giải toán 11 tập 1 trang 82 Bài 11 sách Kết nối tri thức có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Kết nối tri thức. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 11 tập 1 trang 78

HĐ 1 trang 78 toán 11 tập 1

Hình 4.13 minh hoạt bốn tuyến đường (được coi là thẳng) tại một nút giao ở Hà Nội.

Quan sát tình ảnh đó và trả lời các câu hỏi sau:

a) Hai tuyến đường nào giao nhau?

b) Hai tuyến đường nào không giao nhau?

c) Hai tuyến đường nào song song?

Hướng dẫn::

– Hai đường thẳng giao nhau là hai đường thẳng có ít nhất 1 điểm chung

– Hai đường thẳng không giao nhau là hai đường thẳng không có điểm chung do song song hoặc do nằm ở 2 mặt phẳng khác nhau

– Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong 1 mặt phẳng và không có điểm chung

Lời giải:

a) Hai tuyến đường giao nhau: Tuyến màu cam và màu xanh dương, tuyến màu cam và màu đỏ

b) Hai tuyến đường không giao nhau:  tuyến màu xanh lá và tuyến màu xanh dương, tuyến màu xanh lá và tuyến màu đỏ, tuyến màu xanh lá và tuyến màu cam, tuyến màu xanh dương và tuyến màu đỏ

c) Hai tuyến đường song song: Tuyến màu xanh dương và tuyến màu đỏ, tuyến màu xanh lá là tuyến màu cam

Toán 11 tập 1 trang 79

CH trang 79 toán 11 tập 1

Hãy tìm một số hình ảnh về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau trong thực tiễn

Hướng dẫn::

Tìm kiếm trên mạng hoặc quan sát thực tế

Lời giải:

Hình ảnh về hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau trong thực tiễn:

LT 1 trang 79 toán 11 tập 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (H.4.17)

a) Trong các đường thẳng AB, AC, CD, hai đường thẳng nào song song, hai đường thẳng nào cắt nhau?

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh SA, SB. Trong các đường thẳng SA, MN, AB có hai đường thẳng nào chéo nhau hay không?

Hướng dẫn::

– Hai đường thẳng giao nhau là hai đường thẳng có ít nhất 1 điểm chung

– Hai đường thẳng không giao nhau là hai đường thẳng không có điểm chung do song song hoặc do nằm ở 2 mặt phẳng khác nhau

– Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong 1 mặt phẳng và không có điểm chung

Lời giải:

a) Hai đường thẳng cắt nhau: AB và AC, AC và CD

Hai đường thẳng song song: AB và CD

b) M và N lần lượt thuộc hai cạnh SA và SB suy ra M và N cũng thuộc mp(SAB)

Do đó các đường thẳng SA, AF, MN cùng nằm trên mặt phẳng (SAB) nên chúng không chéo nhau

Toán 11 tập 1 trang 80

LT 2 trang 80 toán 11 tập 1

Trong hình chóp tứ giác S.ACBD (H.4.19), chỉ ra những đường thẳng:

a) Chéo với đường thẳng SA

b) Chéo vói đường thẳng BC

Hướng dẫn::

Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b, hoặc b chéo với a.

Lời giải:

a) Đường thẳng chéo với SA: CD, CB.

b) Đường thẳng chéo với BC: SA, SD.

VD 1

Một chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu kia trên mặt sàn (H.4.20). Hỏi có thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường hay không?

Hướng dẫn::

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong 1 mặt phẳng và không có điểm chung

Lời giải:

Chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu kia trên mặt sàn với mép tường tạo thành hai đường thẳng chéo nhau nên không thể song song

HĐ 2 trang 80 toán 11 tập 1

Trong không gian, cho một đường thẳng d và một điểm M không nằm trên d (H.4.21). Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và d.

a) Trên mặt phẳng (P) có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và song song với d?

b) Nếu một đường thẳng đi qua M và song song với d thì đường thẳng đó có thuộc mặt phẳng (P) hay không?

Hướng dẫn::

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên dường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

Lời giải:

a) Có duy nhất một đường thẳng đi qua M song song với d

b) Nếu một đường thẳng đi qua M và song song với d thì đường thẳng đó có thuộc mặt phẳng (P) vì hai đường thẳng song song đồng phẳng

HĐ 3 trang 80 toán 11 tập 1

Quan sát lớp học và tìm hai đường thẳng song song với mép trên của bảng. Hai đường thẳng đó có song song với nhau hay không?

Hướng dẫn::

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau

Lời giải:

Đường thẳng song song với mép trên của bảng: Mép dưới của bảng, chân tường bục giảng

Hai đường thẳng đó cũng song song với nhau

Toán 11 tập 1 trang 81

LT 3 trang 81 toán 11 tập 1

Trong Ví dụ 1, chứng minh rằng 4 điểm C, D, E, F đồng phẳng và tứ giác CDFE là hình bình hành.

Hướng dẫn::

Để chứng minh bốn điểm: C, D, E, F đồng phẳng ta có thể chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song

Dựa vào dấu hiệu tứ giác là hình bình hành để chứng minh CDEF là hình bình hành

Lời giải:

Xét hình bình hành ABCD ta có: AB // CD, AB = CD

Xét hình bình hành ABEF ta có: AB // EF, AB = EF

Suy ra EF//CD, EF = CD

Suy ra CDEF là hình bình hành và C, D, E, F đồng phẳng

HĐ 4 trang 81 toán 11 tập 1

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Một mặt phẳng (R) cắt (P) và (Q) lần lượt theo giao tuyến a và b khác c

a) Nếu hai đường thẳng a và c cắt nhau tại M thì đường thẳng b có đi qua M hay không (H.4.23)? Giải thích vì sao.

b) Nếu hai đường thẳng a và c song song với nhau thì hai đường thẳng b và c có song song với nhau hay không (H.4.24)? Giải thích vì sao.

Hướng dẫn::

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau, theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau

Lời giải:

a) M thuộc c suy ra M nằm trên mp(Q)

M thuộc a suy ra M nằm trên mp(R)

M cùng thuộc mp(R) và (Q) suy ra M nằm trên giao tuyến của mp(R) và (Q)

Như vậy , M thuộc b

Toán 11 tập 1 trang 82

LT 4 trang 82 toán 11 tập 1

Trong Ví dụ 4, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Hướng dẫn::

Để xác định giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng, ta có thể tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho.

Lời giải:

Hai mp(SAD) và (SBC) có điểm chung S và chứa hai đường thẳng song song AD và BC.

Do đó, giao tuyến của hai mp(SAD) và (SBC) là đường thẳng n đi qua S song cong với AD và BC

VD 2 trang 82 toán 11 tập 1

Một bề kính chứa nước có đáy là hình chữ nhật được đặt nghiêng như Hình 4.26. Giải thích tại sao đường mép nước AB song song với cạnh CD của bề nước

Hướng dẫn::

Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó

Lời giải:

Ta có: $mp\left( {ABKI} \right) \cap mp\left( {CDIK} \right) = IK$

$mp\left( {ABKI} \right) \cap mp\left( {ABCD} \right) = AB$

$mp\left( {CDIK} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD$

Mà IK // CD (Do CDIK là hình chữ nhật) suy ra AB // CD.

Bài 4.9 trang 82 Toán 11 tập 1

Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c. Những mệnh đè nào sau đây đúng?

a) Nếu a và b không cắt nhau thì a và b song song

b) Nếu b và c chéo nhau thì b và c không cùng thuộc một mặt phẳng

c) Nếu a và b cùng song song với c thì a song song với b

d) Nếu a và b cắt nhau, b và c cắt nhau thì a và c cắt nhau

Lời giải

a) Sai. Vì nếu a và b không cắt nhua thì a và b có thể song song hoặc chéo nhau.

b) Đúng.

c) Đúng

d) Sai. VÌ a và c cũng có thể chéo nhau.

Bài 4.10 trang 82 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau, cặp đường thẳng nào song song, cặp đường thẳng nào chéo nhau?

a) AB và CD

b) AC và BD

c) SB và CD

Lời giải

a) AB và CD song song với nhau

b) AC và BD cắt nhau

c) SB và CD chéo nhau

Bài 4.11 trang 82 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là ình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD (H.4.27). Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Lời giải

Xét tam giác SAB ta có: MN là đường trung bình suy ra MN // AB

Tương tự ta có: NP // BC, PQ // CD, MQ // AD

Mà ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD// CD, suy ra MN // PQ, MQ // NP

Như vậy, MNPQ là hình bình hành

Bài 4.12 trang 82 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng tứ giác MNCD là hình thang

Lời giải

Xét tam giác SAB ta có MN là đường trung bình suy ra MN // AB

Mà AB // CD do đó MN // CD

Suy ra MNCD là hình thang

Bài 4.13 trang 82 Toán 11 tập 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SD (H.4.28)

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MAB) và (SCD)

b) Gọi N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (MAB). Chứng minh rằng MN là đường trung bình của tam giác SCD

Lời giải

a) mp(MAB) và (SCD)có điểm M chung và chứa hai đường thẳng thẳng song song là AB và CD

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD) là đường thẳng a đi qua M và song song với CD, AB

b) Xét tam giác SCD ta có: M là trung điểm của SD, MN // CD suy ra MN là đường trung bình của tam giác SCD

Bài 4.14 trang 83 Toán 11 tập 1

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N làn lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và P là một điểm thuộc cạnh AC.

a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD)

b) Chứng minh rằng d song song với BD

Lời giải

a) Gọi giao điểm của AM và BP là I, giao điểm của AN và DP là K

Ta có IK đều thuộc mặt phẳng (AMN) và (BPD) suy ra IK là giao tuyến của hai mặt phẳng này

Như vậy, d là đường thẳng đi qua I và K

b) Ta có: mp(AMN) ∩ mp(BPD) = IK

mp(AMN) ∩ mp(BCD) = MN

mp(BPD) ∩ mp(BCD) = BD

Mà MN // BD (do MN là đường trung bình của tam giác BCD) suy ra IK // BD

Như vây, d song song với BD

Bài 4.15 trang 83 Toán 11 tập 1

(Đố vui) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H.4.29). Hãy giải thích tại sao.

Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không?

Lời giải

Lời giải

Vì a//c, b//d (do cánh cửa là hình chữ nhật)

Mà c//d.

Suy ra, a//b.

Do đó, hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau.

Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30, hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau khi cả hai cánh cửa được khép lại.