Toán 11 tập 2 trang 24 Bài 2: Biến cố hợp và biến cố giao. Biến cố độc lập. Các quy tắc tính xác suất

Giải toán 11 tập 2 trang 24 Bài 2 sách Cánh diều có đáp án chi tiết từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 15 toán 11 tập 2

Mở đầu trang 15 toán 11 tập 2 Cánh diều

Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần (Hình 1). Xét các biến cố ngẫu nhiên:

A: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là chẵn”

B: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chia hết cho 3″

C: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số chẵn hoặc chia hết cho 3”

Biến cố C có liên hệ như thế nào với hai biến cố A và B?

Lời giải

A = {2; 4; 6}

B = {3; 6}

C = {2; 3; 4; 6}

C = A ∪ B

HĐ 1 trang 15 toán 11 tập 2 Cánh diều

Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần”. Gọi $\Omega $ là không gian mẫu của phép thử đó. Xét hai biến cố A và B nêu trong bài toán ở phần mở đầu.

a)     Viết các tập hợp con A, B của tập hợp $\Omega $ tương ứng với các biến cố A, B

b)    Đặt $C = A \cup B$. Phát biểu biến cố C dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện

Lời giải:

a)    $\Omega  = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$

$A = \left\{ {2;4;6} \right\}$

$B = \left\{ {1;3;5} \right\}$

b)    C: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là chẵn hoặc lẻ”

Trang 16 toán 11 tập 2

LT 1 trang 16 toán 11 tập 2 Cánh diều

Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 4”. Phát biểu biến cố $A \cup B$dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện

Lời giải:

$A \cup B$: “Số xuất hiện trên thẻ rút ra là số chia hết cho 3 và chia hết cho 4”

HĐ 2 trang 16 toán 11 tập 2

Đối với các tập hợp A, B trong Hoạt động 1, ta đặt $D = A \cap B$. Phát biểu biến cố D dưới dạng mệnh đều nêu sự kiện.

Lời giải:

D: “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm vừa là số chẵn vừa là số lẻ”

Trang 17 toán 11 tập 2

LT 2 trang 17 toán 11 tập 2 Cánh diều

Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố A: “Số chấm xuất hiện ở lần thứ nhất là số lẻ” và B: “Số chấm xuất hiện ở lần thứ hai là số lẻ”. Phát biểu biến cố $A \cap B$ dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện

Lời giải:

$A \cap B$: “Số chấm xuất hiện ở cả hai lần gieo đều là lẻ”

HĐ 3 trang 17 toán 11 tập 2 Cánh diều

Xét phép thử “Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp”. Gọi $\Omega $ là không gian mẫu của phép thử đó. Xét các biến cố:

A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số lẻ”

B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số chẵn”

a)     Viết các tập con A, B của không gian mẫu $\Omega $ tương ứng với các biến cố A, B

b)    Tìm tập hợp $A \cap B$

Lời giải:

a)     $\Omega  = \{ (x;y)|1 \le x;y \le 6;\;x,y \in \mathbb{N}$}

A = {(x; y)| x không chia hết cho 2,$1 \le x;y \le 6;\;x,y \in \mathbb{N}$ }

B = {(x; y)| x chia hết cho 2,$1 \le x;y \le 6;\;x,y \in \mathbb{N}$}

b)    $A \cap B = \emptyset $

Trang 18 toán 11 tập 2

LT 3 trang 18 toán 11 tập 2 Cánh diều

Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Hai biến cố sau có xung khắc hay không?

A: “Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 5”;

B: “Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 6”.

Lời giải:

Hai biến cố trên là hai biến cố xung khắc

HĐ 4 trang 18 toán 11 tập 2

Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố”

A: “Đồng xu xuất hiện mặt S ở lần gieo thứ nhất”

B: “Đồng xu xuất hiện mặt N ở lần gieo thứ hai”

Đối với hai biến cố A và B, hãy cho biết một kết quả thuận lợi cho biến cố này có ảnh hưởng gì đến xác suất xảy ra của biến cố kia hay không?

Lời giải:

$\Omega  = \{ (N;S);(N;N);(S;N);(S;S)\} $

$A = \{ (S;N);(S;S)\} $

$B = \{ (N;N);(S;N)\} $

$P(A) = \frac{1}{2};P(B) = \frac{1}{2}$

⇨ Một kết quả thuận lợi của biến cố này không ảnh hưởng gì đến xác suất xảy ra của biến cố kia

LT 4 trang 18 toán 11 tập 2 Cánh diều

Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất là số nguyên tố”;

B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai là hợp số”.

Hai biến cố A và B có độc lập không? Có xung khắc không? Vì sao?

Lời giải:

–         Biến cố A và B có độc lập vì kết quả của biến cố A không ảnh hưởng tới kết quả của biến cố B

–         Biến cố A và B không xung khắc. Vì có kết quả thỏa mãn cả A và B

Trang 19 toán 11 tập 2

HĐ 5 trang 19 toán 11 tập 2 Cánh diều

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 20. Xét biến cố A: “Số được viết ra là số chia hết cho 2” và biến cố B: “Số được viết ra là số chia hết cho 7”.

a)     Tính $P(A);\,P(B);\,P(A \cup B);\,P(A \cap B)$

b)    So sánh $P(A \cup B)$ và $P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

Lời giải:

$\Omega  = \{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20\} $

$A = \{ 2;4;6;8;10;12;14;16;18;20\} $; $B = \{ 7;14\} $

$A \cup B = \{ 2;5;6;7;8;10;12;14;16;18;20\} $; $A \cap B = \{ 14\} $

a) $P(A) = \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2};P(B) = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}};P(A \cup B) = \frac{{11}}{{20}};P(A \cap B) = \frac{1}{{20}}$

b) $P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{{10}} – \frac{1}{{20}} = \frac{1}{{20}}$

⇨  $P(A) + P(B) – P(A \cap B) = P(A \cup B)$

Trang 20 toán 11 tập 2

LT 5 trang 20 toán 11 tập 2

Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 52; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 7” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút là số chia hết cho 11”. Tính $P\left( {A \cup B} \right)$.

Lời giải:

$\begin{array}{l}n\left( \Omega  \right) = 52\\n\left( A \right) = 6 \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{6}{{52}} = \frac{3}{{26}}\\n\left( B \right) = 4 \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{4}{{52}} = \frac{1}{{13}}\\ \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{3}{{26}} + \frac{1}{{13}} = \frac{5}{{26}}\end{array}$

HĐ 6 trang 20 toán 11 tập 2

Xét các biến cố độ lập A và B trong Ví dụ 4.

a) Tính P(A); P(B) và P(A$ \cap $B)

b) So sánh P(A$ \cap $B) và P(A).P(B)

Lời giải:

– Cách chọn 2 quả bóng trong 7 quả bóng là: 42

– Cách chọn 2 quả bóng sao cho quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất là: 21

– Cách chọn 2 quả bóng sao cho quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai là: 24

– Cách chọn 2 quả bóng sao cho quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất và quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai là: 12

a) $P(A) = \frac{{21}}{{42}} = \frac{1}{2};\,P(B) = \frac{{24}}{{42}} = \frac{4}{7};\,P(A \cap B) = \frac{{12}}{{42}} = \frac{2}{7}$

b) $P(A).P(B) = \frac{1}{2}.\frac{4}{7} = \frac{2}{7}$ => $P(A).P(B) = P(A \cap B)$

LT 6 trang 20 toán 11 tập 2

Một xưởng sản xuất có hai máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để máy I và máy II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,9. Tính xác suất của biến cố C: “Cả hai máy của xưởng sản xuất đều chạy tốt”.

Lời giải:

$P(A).P(B) = P(C) \Rightarrow P\left( C \right) = 0,8.0,9 = 0,72$

Trang 22 toán 11 tập 2

LT 7 trang 22 toán 11 tập 2 Cánh diều

Cho hai đường thẳng song song ${d_1}$ và ${d_2}$. Trên ${d_1}$ lấy 17 điểm phân biệt, trên ${d_2}$ lấy 20 điểm phân biệt. Chọn Ngẫu nhiên 3 điểm, tính xác suất để các điểm này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác.

Lời giải:

Mỗi cách chọn 3 điểm trong 37 điểm là một tổ hợp chập 3 của 37 phần tử. Do đó, không gian mẫu gồm các tổ hợp chập 3 của 27 phần tử và: $n\left( \Omega  \right) = C_{37}^3 = 7770$

TH1: 1 điểm nằm trên ${d_1}$ và 2 điểm nằm trên ${d_2}$. Số kết quả thuận lợi cho biến cố này là:

$n\left( A \right) = C_{17}^1.C_{20}^2 = 3230$

TH2: 2 điểm nằm trên ${d_1}$ và 1 điểm nằm trên ${d_2}$. Số kết quả thuận lợi cho biến cố này là:

$n\left( B \right) = C_{17}^2.C_{20}^1 = 2720$

Vậy xác suất để các điểm lấy ra tạo thành tam giác là: $P\left( C \right) = \frac{{2720 + 3230}}{{7770}} = \frac{{85}}{{111}}$

Trang 23 toán 11 tập 2

HĐ 7 trang 23 toán 11 tập 2

Để trang trí một tờ giấy có dạng hình chữ nhật, bạn Thùy chia tờ giấy đó thành bốn hình chữ nhật nhỏ bằng nhau. Mỗi hình chữ nhật nhỏ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc vàng. Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng mà bạn Thùy có thể tô màu trang trí cho tờ giấy đó.

Lời giải:

LT 8 trang 23 toán 11 tập 2

Một hộp có 5 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đỏ và 7 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp. Tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng.

Lời giải:

$n\left( \Omega  \right) = C_{18}^5 = 8568$

TH1: Lấy 1 bi màu xanh, 2 bi màu đỏ và 2 bi màu vàng:$n\left( A \right) = C_5^1.C_6^2.C_7^2 = 1575$

TH2: Lấy 3 bi màu xanh, 1 bi màu đỏ và 1 bi màu vàng: $n\left( B \right) = C_5^3.C_6^1.C_7^1 = 420$

Xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng là:

$P\left( C \right) = \frac{{1575 + 420}}{{8568}} = \frac{{95}}{{408}}$

Trang 24 toán 11 tập 2

Bài 1 trang 24 SGK Toán 11 tập 2

Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

A: “Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa”

B: “Lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa”

C: “Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa”

D: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”

Trong hai biến cố C, D, biến cố nào là biến cố hợp của hai biến cố A, B? Biến cố nào là biến cố giao của hai biến cố A, B

Bài làm

Biến cố hợp (A và B): “Cả hai lần đều xuất hiện mặt ngửa” (C) là kết quả của việc ghép lại hai biến cố A và B, tức là xảy ra cùng lúc cả A và B.

Biến cố giao (A giao B): “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa” (D) là kết quả của việc giao của hai biến cố A và B, tức là ít nhất một trong A hoặc B xảy ra

Bài 2 trang 24 SGK Toán 11 tập 2

Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:

A: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 4”

B: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 4”

C: “Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 4”

Trong các biến cố trên, hãy:

a) Tìm cặp biến cố xung khắc

b) Tìm cặp biến cố độc lập

Bài làm

a) Cặp biến cố xung khắc là A và C, vì nếu A xảy ra thì C không thể xảy ra, và ngược lại, nếu C xảy ra thì A không thể xảy ra.

b) Cặp biến cố độc lập là A và B, vì xảy ra hay không xảy ra biến cố A không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố B, và ngược lại, xảy ra hay không xảy ra biến cố B cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố A.

Bài 3 trang 24 SGK Toán 11 tập 2

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Tính xác suất của biến cố M: “Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 11 hoặc chia hết cho 12”

Bài làm

– Có n(Ω) = 90

– Xét biến cố A: “Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 11”. Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n(A) = 9

=> P(A) = $\frac{9}{90}$ = $\frac{1}{10}$

– Xét biến cố B: “Số tự nhiên có hai chữ số được chọn chia hết cho 12”. Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là n(B) = 8

=> P(B) = $\frac{8}{90}$ = $\frac{4}{45}$

Vậy P(M) = $\frac{1}{10}$ + $\frac{4}{45}$ = $\frac{17}{90}$

Bài 4 trang 24 SGK Toán 11 tập 2

Một hộp có 12 viên bi với cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng

Bài làm

Có n(Ω) = 12C5 = 792

Xét biến cố A: “Trong 5 viên bi được chọn không có viên bi màu vàng nào”

=> n(A) = 7C5 = 21

Xét biến cố B: “Trong 5 viên bi được chọn có 1 viên bi màu vàng, 4 viên bi màu xanh”

=> n(B) = 5C1.7C4 = 175

Xét biến cố M: “Trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng”

Xét biến cố $\overline{M}$: “Trong 5 viên bi được chọn có nhiều nhất 1 viên bi màu vàng”

Có P($\overline{M}$) =$\frac{21+175}{792}$ = $\frac{49}{198}$

=> P(M) = 1 − P($\overline{M}$) = 1 − $\frac{49}{198}$ = $\frac{149}{198}$

Bài 5 trang 24 SGK Toán 11 tập 2

Hai bạn Việt và Nam cùng tham gia kì thi trắc nghiệm môn Toán và môn Tiếng Anh một cách độc lập nhau. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai bạn Việt và Nam có chung đúng một mã đề thi trong kì thi đó.

Bài làm

Giả sử xác suất để Việt và Nam chọn cùng một mã đề là $\frac{1}{N}$, với N là tổng số mã đề khác nhau. Vậy xác suất để Việt chọn một mã đề và Nam chọn cùng mã đề đó là $\frac{1}{N}$, và xác suất để cả hai chọn đúng mã đề là $\frac{1}{N}$ . $\frac{1}{N}$

P = $\frac{1}{6} .\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{32}$

Bài 6 trang 24 SGK Toán 11 tập 2

Trong một chiếc hộp có 20 viên bi với cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 9 viên bị màu đỏ, 6 viên bi màu xanh và 5 viên bị màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bị. Tìm xác suất để 3 viên bị lấy ra có đúng hai màu.

Bài làm

Ta có: n(Ω) = $C_{20}^{3}$ = 1140

Gọi A là biến cố: “3 viên vi lấy ra có đúng hai màu”

Khi đó \overline{A} là biến cố: “3 viên bi lấy ra có đúng 1 màu hoặc có cả ba màu”

Có $n(\overline{A})=(C_{9}^{1}.C_{6}^{1}.C_{5}^{1})+C_{9}^{3}+C_{6}^{3}+C_{5}^{3}=384$

=> $P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega })=\frac{384}{1140}=\frac{32}{95}$

=> $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{32}{95}=\frac{63}{95}$