Toán 11 tập 2 trang 33 Bài 1: Phép tính lũy thừa với số mũ thực

Giải toán 11 tập 2 trang 33 Bài 1 sách Cánh diều có đáp án chi tiết từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 27 toán 11 tập 2

HĐ 1 trang 27 toán 11 tập 2

a)     Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy thừa bậc n của a

b)    Với a là số thực tùy ý khác 0, nêu quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a.

Lời giải:

a)    Định nghĩa lũy thừa bậc n của a:  Cho $a \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}*$. Khi đó: ${a^n} = \underbrace {a.a.a….a}_n$

b)    Với a là số thực tùy ý khác 0, quy ước xác định lũy thừa bậc 0 của a là: ${a^0} = 1$

Trang 28 toán 11 tập 2

LT 1 trang 28 toán 11 tập 2

Tính giá trị của biểu thức: $M = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{12}}.{\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ – 5}} + {\left( {0,4} \right)^{ – 4}}{.25^{ – 2}}.{\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ – 1}}$

Lời giải:

$\begin{array}{l}M = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{12}}.{\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ – 5}} + {\left( {0,4} \right)^{ – 4}}{.25^{ – 2}}.{\left( {\frac{1}{{32}}} \right)^{ – 1}}\\M = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{12}}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{3.\left( { – 5} \right)}} + {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{ – 4}}.\frac{1}{{5{}^4}}.32\\M = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{12 – 15}} + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^4}.{\left( {\frac{1}{5}} \right)^4}{.2^4}.2\\M = {3^3} + 2 = 27 + 2 = 29\end{array}$

HĐ 2 trang 28 toán 11 tập 2

a)     Với a là số thực không âm, nêu định nghĩa căn bậc hai của a

b)    Với a là số thực tùy ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của a

Lời giải:

a)    Căn bậc hai của một số thực a không âm, kí hiệu là $\sqrt a $ là số x sao cho ${x^2} = a$

b)    Căn bậc ba của một số a tùy ý, kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$ là số x sao cho ${x^3} = a$

LT 2 trang 28 toán 11 tập 2

Các số 2 và – 2 có là căn bậc 6 của 64 hay không?

Lời giải:

Ta thấy: $\begin{array}{l}{2^6} = 64\\{\left( { – 2} \right)^6} = 64\end{array}$

Do đó, 2 và – 2 là căn bậc 6 của 64

Trang 29 toán 11 tập 2

HĐ 3 trang 29 toán 11 tập 2

a)     Với mỗi số thực a, so sánh $\sqrt {{a^2}} $ và $\left| a \right|$; $\sqrt[3]{{{a^3}}}$ và a

b)    Cho a, b là hai số thực dương. So sánh: $\sqrt {a.b} $ và $\sqrt a .\sqrt b $

Lời giải:

a)     Ta có: ${\left( {\sqrt {{a^2}} } \right)^2} = {a^2};\,\,\,{\left( {\left| a \right|} \right)^2} = {a^2}$

Do ${a^2} = {a^2} \Rightarrow \sqrt {a{}^2}  = \left| a \right|$

Ta có: ${\left( {\sqrt[3]{{{a^3}}}} \right)^3} = {a^3};\,\,\,{a^3} = {a^3}$

Do ${a^3} = {a^3} \Rightarrow \sqrt[3]{{{a^3}}} = a$

b)    Ta có: ${\left( {\sqrt {a.b} } \right)^2} = a.b;\,\,{\left( {\sqrt a .\sqrt b } \right)^2} = {\left( {\sqrt a } \right)^2}.{\left( {\sqrt b } \right)^2} = a.b$

Do $a.b = a.b \Rightarrow {\left( {\sqrt {ab} } \right)^2} = \sqrt a .\sqrt b $

LT 3 trang 29 toán 11 tập 2

Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a)     $\sqrt[3]{{\frac{{125}}{{64}}}}.\sqrt[4]{{81}}$

b)    $\frac{{\sqrt[5]{{98}}.\sqrt[5]{{343}}}}{{\sqrt[5]{{64}}}}$

Lời giải:

a)     $\sqrt[3]{{\frac{{125}}{{64}}}}.\sqrt[4]{{81}} = \frac{{\sqrt[3]{{125}}}}{{\sqrt[3]{{64}}}}.3 = \frac{5}{4}.3 = \frac{{15}}{4}$

b)    $\frac{{\sqrt[5]{{98}}.\sqrt[5]{{343}}}}{{\sqrt[5]{{64}}}} = \sqrt[5]{{\frac{{98.343}}{{64}}}} = \sqrt[5]{{\frac{{{{2.7}^2}{{.7}^3}}}{{{2^6}}}}} = \sqrt[5]{{\frac{{{7^5}}}{{{2^5}}}}} = \frac{7}{2}$

HĐ 4 trang 29 toán 11 tập 2

Thực hiện các hoạt động sau:

a)     So sánh: ${2^{\frac{6}{3}}}$ và ${2^2}$

b)    So sánh: ${2^{\frac{6}{3}}}$ và $\sqrt[3]{{{2^6}}}$

Lời giải:

a)     Ta có: ${2^{\frac{6}{3}}} = \sqrt[3]{{{2^6}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{2^2}} \right)}^3}}} = {2^2}$

b)    Ta có: ${2^{\frac{6}{3}}} = \sqrt[3]{{{2^6}}}$

Trang 30 toán 11 tập 2

LT 4 trang 30 toán 11 tập 2

Rút gọn biểu thức:

$N = \frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}}\,\,\,\left( {x > 0;y > 0} \right)$

Lời giải:

$N = \frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}} = \frac{{xy.\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + {y^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}} = \frac{{xy\left( {\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} \right)}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}} = xy$

HĐ 5 trang 30 toán 11 tập 2

Xét số vô tỉ: $\sqrt 2  = 1,4142135624…$. Xét dãy số hữu tỉ: ${r_1} = 1;{r_2} = 1,4;{r_3} = 1,41;{r_4} = 1,414;{r_5} = 1,4142;{r_6} = 1,41421;…$ và $\lim {r_n} = \sqrt 2 $. Bằng cách tính ${3^{{r_n}}}$ tương ứng, ta nhận được Bảng 1 ghi các dãy số $\left( {{r_n}} \right)$ và $\left( {{3^{{r_n}}}} \right)$ với n = 1, 2, …, 6. Người ta chứng minh được rằng khi $n \to  + \infty $ thì dãy số $\left( {{3^{{r_n}}}} \right)$ dần đến một giới hạn mà ta gọi là ${3^{\sqrt 2 }}$. Nêu dự đoán về giá trị của số ${3^{\sqrt 2 }}$ (đến hàng phần trăm).

Lời giải:

Do ${r_1} = 1;{r_2} = 1,4;{r_3} = 1,41;{r_4} = 1,414;{r_5} = 1,4142;{r_6} = 1,41421;…$ => ${3^{\sqrt 2 }} \approx 1,41$

Trang 31 toán 11 tập 2

LT 5 trang 31 toán 11 tập 2

So sánh ${10^{\sqrt 2 }}\,\,và \,\,10$

Lời giải:

Do ${10^{\sqrt 2 }} \approx 25,95 > 10 \Rightarrow {10^{\sqrt 2 }} > 10$

HĐ 6 trang 31 toán 11 tập 2

Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương

Lời giải:

+ ${a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha  + \beta }}$

+ $\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha  – \beta }}$

+ ${\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}$

+ ${(ab)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }$

+ ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}$

+ Nếu a > 1 thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  < \beta $

+ Nếu 0 < a < 1 thì ${a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  > \beta $

Trang 32 toán 11 tập 2

LT 6 trang 32 toán 11 tập 2

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số: ${2^{2\sqrt 3 }}\,\,và \,\,{2^{3\sqrt 2 }}$

Lời giải:

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}{\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 12\\{\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 18\end{array} \right\} \Rightarrow 2\sqrt 3  < 3\sqrt 2  \Rightarrow {2^{2\sqrt 3 }} < {2^{3\sqrt 2 }}$

LT 7 trang 32 toán 11 tập 2

Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):

a) $ (-2,7)^{-4}$;

b) $ \sqrt 3 – 1)^{\sqrt[3] {4} + 1}$

Lời giải:

a) $ (-2,7)^{-4} \approx 0,02$;

b) $ \sqrt 3 – 1)^{\sqrt[3] {4} + 1} \approx 0,45$

Trang 33 toán 11 tập 2

Bài 1 trang 33 SGK Toán 11 tập 2

Tính:

a) $\left ( \frac{1}{256}\right )^{-0,75} + \left ( \frac{1}{27}\right )^{\frac{-4}{3}}$

b) $\left ( \frac{1}{49}\right )^{-1,5} – \left ( \frac{1}{125}\right )^{\frac{-2}{3}}$

Bài làm

a) $\left ( \frac{1}{256}\right )^{-0,75} + \left ( \frac{1}{27}\right )^{\frac{-4}{3}}$

$=256^{\frac{3}{4}}+27^{\frac{4}{3}}$

$=\sqrt[4]{(4^{3})^{4}}+\sqrt[3]{(3^{4})^{3}}$

$=4^{3}+3^{4}=145$

b) $\left ( \frac{1}{49}\right )^{-1,5} – \left ( \frac{1}{125}\right )^{\frac{-2}{3}}$

$=49^{\frac{3}{2}}-125^{\frac{2}{3}}$

$=\sqrt[2]{(7^{3})^{2}}-\sqrt[3]{(5^{2})^{3}}$

$=7^{3}-5^{2}=318$

Bài 2 trang 33 SGK Toán 11 tập 2

Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a) $a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a}$

b) $b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b}$

c) $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}$

d) $\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}$

Bài làm

a) $a^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{a}=a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=a\frac{5}{6}$

b) $b^{\frac{1}{2}}\cdot b^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[6]{b}=b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=b$

c) $a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a}=a^{\frac{4}{3}}\cdot a^{\frac{-1}{3}}=a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}=a$

d) $\sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}=b^{\frac{1}{6}}$

Bài 3 trang 33 SGK Toán 11 tập 2

Rút gọn mỗi biểu thức sau

a) $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}$

b) $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}b^{6}}}=\sqrt[3]{(a^{12}b^{6})^{\frac{1}{2}}}$

Bài làm

a) $\frac{a^{\frac{7}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}-a^{\frac{1}{3}}}= \frac{a^{\frac{1}{3}}\cdot (a^{2}-1)}{a^{\frac{1}{3}}\cdot (a-1)}=\frac{a^{2}-1}{a-1}=a+1$

b) $\sqrt[3]{\sqrt{a^{12}b^{6}}}=\sqrt[3]{(a^{12}b^{6})^{\frac{1}{2}}}=(a^{12}b^{6})^{\frac{1}{6}}=a^{2}.b$

Bài 4 trang 33 SGK Toán 11 tập 2

Viết các số theo thứ tự tăng dần

a) $1^{1,5}; 3^{-1}; \left ( \frac{1}{2} \right )^{-2}$

b) $2022^{0}; \left ( \frac{4}{5} \right )^{-1}; 5^{\frac{1}{2}}$

Bài làm

a) – Có $1^{1,5}=1$

$3^{-1}= \frac{1}{3}$

$\left ( \frac{1}{2} \right )^{-2}=2^{2}=4$

=> Thứ tự là: $3^{-1}; 1^{1,5}; 4$

b) Có $2022^{0}=1$

$\left ( \frac{4}{5} \right )^{-1}=\frac{5}{4}$

$5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$

=> Thứ tự là: $2022^{0}; \left ( \frac{4}{5} \right )^{-1}; 5^{\frac{1}{2}}$

Bài 5 trang 33 SGK Toán 11 tập 2

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau:

a) $6^{\sqrt{3}}$ và 36

b) $(0,2)^{\sqrt{3}}$ và $(0,2)^{\sqrt{5}}$

Bài làm

a) Có $36=6^{2} mà \sqrt{3} < 2 => 6^{\sqrt{3}} < 36$

b) Có $\sqrt{3}<\sqrt{5} => (0,2)^{\sqrt{3}} > (0,2)^{\sqrt{5}}$

Bài 6 trang 33 SGK Toán 11 tập 2

Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P (tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số P = $d^{\frac{3}{2} }$, trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU (1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93 000 000 dặm) (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Hỏi Sao Hoả quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)? Biết khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là 1,52 AU.

Bài làm

Có P = $d^{\frac{3}{2} }$ = $1.52^{\frac{3}{2} }$ ≈ 1,87 (năm)