Toán 11 tập 2 trang 38 Bài 2: Phép tính Lôgarit
Toán 11 tập 2 trang 38 Bài 2: Phép tính Lôgarit
Giải toán 11 tập 2 trang 38 Bài 2 sách Cánh diều có đáp án chi tiết từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.
Trang 34 toán 11 tập 2
HĐ 1 trang 34 toán 11 tập 2
a) Tìm x trong mỗi trường hợp sau: ${3^x} = 9;\,{3^x} = \frac{1}{9}$
b) Có bao nhiêu số thực x thỏa mãn: ${3^x} = 5$
Lời giải:
a) ${3^x} = 9 \Leftrightarrow {3^x} = {3^2} \Leftrightarrow x = 2$
${3^x} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow {3^x} = {3^{ – 2}} \Leftrightarrow x = – 2$
b) Có 1 số thực x thỏa mãn: ${3^x} = 5$
LT 1 trang 34 toán 11 tập 2
Tính
a) ${\log _3}81$
b) ${\log _{10}}\frac{1}{{100}}$
Lời giải:
a) ${\log _3}81 = {\log _3}{3^4} = 4$
b) ${\log _{10}}\frac{1}{{100}} = {\log _{10}}{10^{ – 2}} = – 2$
Trang 35 toán 11 tập 2
HĐ 2 trang 35 toán 11 tập 2
Cho $a > 0;a \ne 1$. Tình:
a) ${\log _a}1$
b) ${\log _a}a$
c) ${\log _a}{a^c}$
d) ${a^{{{\log }_a}b}}\,\,\,(b > 0)$
Lời giải:
a) ${\log _a}1 = c \Leftrightarrow {a^c} = 1 \Leftrightarrow c = 0 \Rightarrow {\log _a}1 = 0$
b) ${\log _a}a = c \Leftrightarrow {a^c} = a \Leftrightarrow c = 1 \Rightarrow {\log _a}a = 1$
c) ${\log _a}{a^c} = b \Leftrightarrow {a^b} = {a^c} \Leftrightarrow b = c \Rightarrow {\log _a}{a^c} = c$
d) ${a^{{{\log }_a}b}} = c \Leftrightarrow {\log _a}b = {\log _a}c \Leftrightarrow b = c \Rightarrow {a^{{{\log }_a}b}} = b$
LT 2 trang 35 toán 11 tập 2
Tính
a) ${\log _4}\sqrt[5]{{16}}$
b) ${36^{{{\log }_6}8}}$
Lời giải:
a) ${\log _4}\sqrt[5]{{16}} = {\log _4}\sqrt[5]{{{4^2}}} = {\log _4}{4^{\frac{2}{5}}} = \frac{2}{5}$
b) ${36^{{{\log }_6}8}} = {6^{2{{\log }_6}8}} = {6^{{{\log }_6}{8^2}}} = {8^2} = 64$
LT 3 trang 35 toán 11 tập 2
Giải bài toán được nêu ở phần mở đầu:
Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: $pH = – \log \left[ {{H^ + }} \right]$ với $\left[ {{H^ + }} \right]$ là nồng độ ion hydrogen. Người ta đo được nồng độ ion hydrogen của một cốc nước cam là ${10^{ – 4}}$, nước dừa là ${10^{ – 5}}$ (nồng độ tính bằng mol ${L^{ – 1}}$).
Lời giải:
Ta có:
$pH = – \log \left[ {{H^ + }} \right] = – \log {10^{ – 4}} = 4$
$pH = – \log \left[ {{H^ + }} \right] = – \log {10^{ – 5}} = 5$
Trang 36 toán 11 tập 2
HĐ 3 trang 36 toán 11 tập 2
Cho $m = {2^7};\,n = {2^3}$
a) Tính ${\log _2}\left( {mn} \right);{\log _2}m + {\log _2}n$ và so sánh các kết quả đó
b) Tính ${\log _2}\left( {\frac{m}{n}} \right);{\log _2}m – {\log _2}n$ và so sánh các kết quả đó
Lời giải:
a) ${\log _2}\left( {mn} \right) = {\log _2}\left( {{2^7}{{.2}^3}} \right) = {\log _2}{2^{10}} = 10$
${\log _2}m + {\log _2}n = {\log _2}{2^7} + {\log _2}{2^3} = 7 + 3 = 10$
$ \Rightarrow {\log _2}m + {\log _2}n = {\log _2}mn$
b) ${\log _2}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _2}\left( {\frac{{{2^7}}}{{{2^3}}}} \right) = {\log _2}{2^4} = 4$
${\log _2}m – {\log _2}n = {\log _2}{2^7} – {\log _2}{2^3} = 7 – 3 = 4$
$ \Rightarrow {\log _2}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _2}m – {\log _2}n$
LT 4 trang 36 toán 11 tập 2
Tính:
a) $\ln \left( {\sqrt 5 + 2} \right) + \ln \left( {\sqrt 5 – 2} \right)$
b) $\log 400 – \log 4$
c) ${\log _4}8 + {\log _4}12 + {\log _4}\frac{{32}}{3}$
Lời giải:
a) $\ln \left( {\sqrt 5 + 2} \right) + \ln \left( {\sqrt 5 – 2} \right) = \ln \left[ {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 – 2} \right)} \right] = \ln \left( {5 – 4} \right) = \ln 1 = 0$
b) $\log 400 – \log 4 = \log \frac{{400}}{4} = \log 100 = 2$
c) ${\log _4}8 + {\log _4}12 + {\log _4}\frac{{32}}{3} = {\log _4}\left( {8.12.\frac{{32}}{3}} \right) = {\log _4}\left( {32.32} \right) = 5$
HĐ 4 trang 36 toán 11 tập 2
Cho $a > 0;a \ne 1;b > 0$, α là một số thực
a) Tính ${a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}}\,\,\,và \,\,\,{a^{\alpha {{\log }_a}b}}$
b) So sánh ${\log _a}{b^\alpha }\,\,\,và \,\,\,\alpha {\log _a}b$
Lời giải:
a) ${a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}} = c \Leftrightarrow {\log _a}c = {\log _a}{b^\alpha } \Leftrightarrow c = {b^\alpha } \Rightarrow {a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}} = {b^\alpha }$
${a^{\alpha {{\log }_a}b}} = c \Leftrightarrow {\log _a}c = \alpha {\log _a}b \Leftrightarrow {\log _a}c = {\log _a}{b^\alpha } \Leftrightarrow c = {b^\alpha } \Leftrightarrow {a^{\alpha {{\log }_a}b}} = {b^\alpha }$
b) Do ${a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}} = {b^\alpha };\,\,{a^{\alpha {{\log }_a}b}} = {b^\alpha }$
$ \Rightarrow {a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}} = {a^{\alpha {{\log }_a}b}} \Rightarrow {\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b$
LT 5 trang 36 toán 11 tập 2
Tính: $2{\log _3}5 – {\log _3}50 + \frac{1}{2}{\log _3}36$
Lời giải:
$\begin{array}{l}2{\log _3}5 – {\log _3}50 + \frac{1}{2}{\log _3}36\\ = {\log _3}{5^2} – {\log _3}50 + {\log _3}\sqrt {36} \\ = {\log _3}25 – {\log _3}50 + {\log _3}6\\ = {\log _3}\frac{{25}}{{50}}.6 = {\log _3}3 = 1\end{array}$
Trang 37 toán 11 tập 2
HĐ 5 trang 37 toán 11 tập 2
Cho ba số thực dương a, b, c với $a \ne 1{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} b \ne 1$
a) Bằng cách sử dụng tính chất $c = {b^{{{\log }_b}c}}$, chứng tỏ rằng ${\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b$
b) So sánh ${\log _b}c$ và $\frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}$.
Lời giải:
a)
$\begin{array}{l}{\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b\\ \Leftrightarrow {a^{{{\log }_a}c}} = {a^{{{\log }_a}b.{{\log }_b}c}}\\ \Leftrightarrow c = {b^{{{\log }_b}c}}\end{array}$
$ \Leftrightarrow c = c$(luôn đúng)
Vậy ${\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b$
b) Từ ${\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b \Leftrightarrow {\log _b}c = \frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}$
LT 6 trang 37 toán 11 tập 2
Tính: ${5^{{{\log }_{125}}64}}$
Lời giải:
${5^{{{\log }_{125}}64}} = {5^{{{\log }_{{5^3}}}64}} = {5^{\frac{1}{3}{{\log }_5}64}} = {5^{{{\log }_5}\sqrt[3]{{64}}}} = {5^{{{\log }_5}4}} = 4$
LT 7 trang 37 toán 11 tập 2
Sử dụng máy tính cầm tay để tính: ${\log _7}19;{\log _{11}}26$
Lời giải:
$\begin{array}{l}{\log _7}19 \approx 1,5131\\{\log _{11}}26 \approx 1,3587\end{array}$
Trang 38 toán 11 tập 2
Bài 1 trang 38 SGK Toán 11 tập 2
Tính
a) log12123
b) log0,50,25
c) logaa−3
Bài làm
a) log12123 = 3
b) log0,50,25 = log0,50,52 = 2
c) logaa−3 = -3
Bài 2 trang 38 SGK Toán 11 tập 2
Tính
a) 8log25
b) $\frac{1}{10} ^{log81}$
c) 5log2516
Bài làm
a) 8log25 = 23log25 = 53 = 125
b) $\frac{1}{10} ^{log81}$ = 10−1log81 = $\frac{1}{81}$
c) 5log2516 = $5^{log_{5} 16^{\frac{1}{2} } }$ = 4
Bài 3 trang 38 SGK Toán 11 tập 2
Cho $log_{a}b=2$. Tính
a) $log_{a}(a^{2}b^{3})$
b) $log_{a}\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt[3]{b}}$
c) $log_{a}(2b)+log_{a}\left ( \frac{b^{2}}{2} \right )$
Bài làm
a) $log_{a}(a^{2}b^{3})=log_{a}a^{2}+log_{a}b^{3}$
$=2log_{a}a+3log_{a}b=2+6=8$
b) $log_{a}\frac{a\sqrt{a}}{b\sqrt[3]{b}}=log_{a}a\sqrt{a}-log_{a}b\sqrt[3]{b}$
$=log_{a}a.a^{\frac{1}{2}}-log_{a}.b.b^{\frac{1}{3}}$
$=log_{a}a^{\frac{3}{2}}.log_{a}b^{\frac{4}{3}}=\frac{3}{2}-\frac{4}{3}.2=\frac{-7}{6}$
c) $log_{a}(2b)+log_{a}\left ( \frac{b^{2}}{2} \right )=log_{a}\left ( 2b\cdot \frac{b^{2}}{2} \right )$
$=log_{a}\frac{2b^{3}}{2}=log_{a}b^{3}=3.2=6$
Bài 4 trang 38 SGK Toán 11 tập 2
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a3.b2 = 100. Tính giá trị của biểu thức:
P = 3loga + 2logb
Bài làm
P = 3loga + 2logb
= loga3 + logb2
= log(a3.b2) = log100 = 2
Bài 5 trang 38 SGK Toán 11 tập 2
Trong nuôi trồng thuỷ sản, độ pH của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khoẻ và sự phát triển của thuỷ sản. Độ pH thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8 đến 8,5. Phân tích nồng độ [H+] trong một đầm nuôi tôm sú, ta thu được [H+] = 8.10−8 % . Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không?
Bài làm
Có pH = −log[H+] = −log8.10−8 ≈ 7,1
=> Không thích hợp
Bài 6 trang 38 SGK Toán 11 tập 2
Một vi khuẩn có khối lượng khoảng 5.10−13 gam và cứ 20 phút vi khuẩn đó tự nhân đôi một lần (Nguồn: Câu hỏi và bài tập vi sinh học, NXB ĐHSP, 2008). Giả sử các vi khuẩn được nuôi trong các điều kiện sinh trưởng tối ưu. Hỏi sau bao nhiêu giờ khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất (lấy khối lượng của Trái Đất là 6.1027 (gam) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Bài làm
Số lượng tế bào đạt đến khối lượng trái đất là:
N = 6.1027.103 : 5.10−13 = 1,2.1017
Số lần phân chia:
$N=N_{0}.2^{n} =>n=\frac{lgN-lgN_{0}}{lg2}=\frac{lg1,2.10^{17}-lg5.10^{-13}}{lg2}\approx 97,6$
Thời gian cần thiết: 97,6 : 3 = 3 2,5 (giờ)