Toán 11 tập 2 trang 47 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Giải toán 11 tập 2 trang 47 Bài 3 sách Cánh diều có đáp án chi tiết từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 39 toán 11 tập 2

Hoạt động 1 trang 39 toán 11 tập 2

Xét bài toán ở phần mở đầu.

a)     Tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau 1 năm, 2 năm, 3 năm

b)    Dự đoán công thức tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau n năm

Lời giải:

a)     Số tiền doanh nghiệp đó có được

–         Sau 1 năm: $1\,\,000\,\,000\,\,\,000 + 1\,\,000\,\,000\,\,\,000 \times 6,2\%  = 1\,\,062\,\,000\,\,\,000$ (đồng)

–         Sau 2 năm: $1\,\,062\,\,000\,\,000 + 1\,\,062\,\,000\,\,000 \times 6,2\%  = 1\,\,127\,\,844\,\,000$ (đồng)

–         Sau 3 năm: $1\,\,127\,\,844\,\,000 + 1\,\,127\,\,844\,\,000 \times 6,2\%  = 1\,\,197\,\,770\,\,328$ (đồng)

b)    Dự đoán công thức tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau n năm:

$A = 1\,\,000\,\,000\,\,000 \times {\left( {1 + 6,2\% } \right)^n}$

Luyện tập – Vận dụng 1 trang 39 toán 11 tập 2

Cho hai ví dụ về hàm số mũ

Lời giải:

$y = {3^x};y = {5^{x + 3}}$

Hoạt động 2 trang 39 toán 11 tập 2

Cho hàm số mũ $y = {2^x}$

a)     Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b)    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách tương tự, lấy nhiều điểm $\left( {x;{2^x}} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y = {2^x}$ (Hình 1)

c)     Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {2^x}$ với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d)    Quan sát đồ thị hàm số $y = {2^x}$, nêu nhận xét về:

• $\mathop {\lim {2^x}}\limits_{x \to  + \infty } ;\,\mathop {\lim {2^x}}\limits_{x \to  – \infty } $
• Sự biến thiên của hàm số $y = {2^x}$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải:

a)     $y = {2^x}$

b)    Biểu diễn các điểm ở câu a:

c)     Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {2^x}$ với trục tung là (0;1)

Đồ thị hàm số đó không cắt trục hoành

d)    $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {2^x} =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {2^x} = 0$

Hàm số $y = {2^x}$ đồng biến trên toàn  $\mathbb{R}$

Bảng biến thiên của hàm số:

Trang 40 toán 11 tập 2

Hoạt động 3 trang 40 toán 11 tập 2

Cho hàm số mũ $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$

a)     Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b,     Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách tương tự, lấy nhiều điểm $\left( {x;{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^x}} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ (Hình 2)

c,   Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d,     Quan sát đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$, nêu nhận xét về:

• $\mathop {\lim {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^x}}\limits_{x \to  + \infty } ;\,\mathop {\lim {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^x}}\limits_{x \to  – \infty } $
• Sự biến thiên của hàm số $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải:

a)     $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$

a)     Biểu diễn các điểm ở câu a:

b)    Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ với trục tung là (0;1)

Đồ thị hàm số đó không cắt trục hoành

c)     $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} =  + \infty $

Hàm số $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ nghịch biến trên toàn  $\mathbb{R}$

Bảng biến thiên của hàm số:

Trang 42 toán 11 tập 2

Luyện tập – Vận dụng 2 trang 42 toán 11 tập 2

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$

Lời giải:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} =  + \infty $

Hàm số $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ nghịch biến trên toàn R

Bảng biến thiên của hàm số:

Đồ thị hàm số:

Trang 43 toán 11 tập 2

 Hoạt động 4 trang 43 toán 11 tập 2

Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

Lời giải:

Thay x = 1 vào hàm số y = log₃x ta được y = log₃1 = 0.

Tương tự, thay lần lượt các giá trị x = 1; x = 3; x = 9; x = 27 vào hàm số y = log₃x ta được bảng sau:

Luyện tập – Vận dụng 3 trang 43 toán 11 tập 2

Cho hai ví dụ về hàm số lôgarit

Lời giải:

${\log _3}x;\,\,{\log _5}\left( {x + 2} \right)$

Hoạt động 5 trang 43 toán 11 tập 2

Cho hàm số lôgarit $y = {\log _2}x$

a)     Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b,     Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left( {x;{{\log }_2}x} \right)$ với $x \in (0; + \infty )$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = {\log _2}x$ như hình bên.

c,     Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {\log _2}x$ với trục hoành và vị trí của đồ thị hàm số đó với trục tung.

d,   Quan sát đồ thị hàm số $y = {\log _2}x$, nêu nhận xét về:

• $\mathop {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ({{\log }_2}x)}\limits_{} \,;\mathop {\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({{\log }_2}x)}\limits_{} $
• Sự biến thiên của hàm số $y = {\log _2}x$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó

Lời giải:

a)     $y = {\log _2}x$

b,   Biểu diễn các điểm ở câu a:

c,   Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số  với trục hoành $y = {\log _2}x$là (1;0)

Đồ thị hàm số đó không cắt trục tung.

d,     $\mathop {\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ({{\log }_2}x)}\limits_{}  = 0;\mathop {\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({{\log }_2}x)}\limits_{}  =  + \infty $

Hàm số $y = {\log _2}x$ đồng biến trên toàn $(0; + \infty )$

Bảng biến thiên của hàm số:

Trang 44 toán 11 tập 2

Hoạt động 6 trang 44 toán 11 tập 2

Cho hàm số lôgarit $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$

a)     Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b,    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left( {x;{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right)$ với $x \in (0; + \infty )$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$ như hình bên.

c,   Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$ với trục hoành và vị trí của đồ thị hàm số đó với trục tung.

d,     Quan sát đồ thị hàm số $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$, nêu nhận xét về:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} ({\log _{\frac{1}{2}}}x)\,;\mathop {\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({{\log }_{\frac{1}{2}}}x)}\limits_{} $
• Sự biến thiên của hàm số $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lời giải:

a)     $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$

b,    Biểu diễn các điểm ở câu a:

c,    Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số  với trục hoành $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$là (1;0)

Đồ thị hàm số đó không cắt trục tung

c)     $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _{\frac{1}{2}}}x = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\log _{\frac{1}{2}}}x =  – \infty $

Hàm số $y = {\log _{\frac{1}{2}}}x$ nghịch biến trên toàn $(0; + \infty )$

Bảng biến thiên của hàm số:

Trang 46 toán 11 tập 2

Luyện tập – Vận dụng 4 trang 46 toán 11 tập 2

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = {\log _{\frac{1}{3}}}x$

Lời giải:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _{\frac{1}{3}}}x = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {\log _{\frac{1}{3}}}x =  – \infty $

Hàm số $y = {\log _{\frac{1}{3}}}x$ nghịch biến trên toàn $(0; + \infty )$

Bảng biến thiên của hàm số:

Trang 47 toán 11 tập 2

Bài 1 trang 47 SGK Toán 11 tập 2

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = 12^x

b) y = log₅(2x − 3)

c) y = log$\frac{1}{5}$(−x² + 4)

Bài làm

a) TXĐ: $\mathbb{R}$

b) TXĐ: (0;+∞)

c) TXĐ: (0;+∞)

Bài 2 trang 47 SGK Toán 11 tập 2

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của hàm số đó? Vì sao?

a) $y=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{x}$

b) $y=\left ( \frac{\sqrt[3]{26}}{2} \right )^{x}$

c) $y=log_{\pi }x$

d) $y=log_{\frac{\sqrt{15}}{4}}x$

Bài làm

a) $y=\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{x}$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vì $\frac{\sqrt{3}}{2} <1$

b) $y=\left ( \frac{\sqrt[3]{26}}{2} \right )^{x}$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vì $\frac{\sqrt[3]{26}}{2} <1$

c) $y=log_{\pi }x$

Hàm số đồng biến trên $(0; +\infty ) Vì \pi>1$

d) $y=log_{\frac{\sqrt{15}}{4}}x$

Hàm số nghịch biến trên $(0; +\infty ) Vì \frac{\sqrt{15}}{4}<1$

Bài 3 trang 47 SGK Toán 11 tập 2

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

a) y = 4^x

b) y = log$\frac{1}{4}$x

Bài làm

a) Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số $y=4^{x}$ là đường thẳng đi qua $A (\frac{-1}{2}; \frac{1}{2}), B(0; 1), C(1; 4) , D(\frac{1}{2}; 2), E(\frac{3}{2};8)$

b) Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số $y=log_{\frac{1}{4}}x$ là đường thẳng đi qua $A (\frac{1}{4}; 1), B(1; 0), C(2; \frac{-1}{2}) , D(4; -1), E(8; \frac{-3}{2})$

Bài 4 trang 47 SGK Toán 11 tập 2

Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0. Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ 1 là hàm số theo biến t được cho bởicông thức: S = A.e^rt, trong đó A là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm (Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là 98 564 407 người và tỉ lệ tăng dân số là 0,93%/năm (Nguồn: https://danso.org/viet-nam). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm là như nhau tính từ năm 2021, nêu dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) .

Bài làm

Ta có: S = A.e^rt

Trong đó:

S là dân số của Việt Nam năm 2030 (cần dự đoán).

A là dân số của Việt Nam năm 2021, đã biết là 98,564,407 người.

r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, đã biết là 0,93%

t là số năm từ năm 2021 đến năm 2030, tức là t = 2030 – 2021 = 9 năm.

Thay các giá trị vào công thức, ta có: S = 98,564,407 . e^{(0,0093 . 9)}

Sau khi tính toán, ta có kết quả: S ≈ 107 169 341 người.

Vậy dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 là khoảng 107 triệu người.

Bài 5 trang 47 SGK Toán 11 tập 2

Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau:f(t) = c (1 − e^−kt), trong đó c là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, k (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, t (ngày) là thời gian học và f(t) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là k = 0,2. Hỏi em học sinh sẽ học được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bài làm

Để tính số đơn vị kiến thức học sinh đã học được sau một số ngày nhất định, ta chỉ cần thay giá trị của t vào công thức f(t) = c (1 – e^(-k.t)), trong đó:

Số đơn vị kiến thức học sinh đã học được sau 2 ngày: Thay t = 2 vào công thức f(t) = c (1 – e^(-k.t)), và biết rằng f(t) = 25 (số đơn vị kiến thức đã học được), k = 0.2 (tốc độ tiếp thu), ta có: f(t) = 25(1 − e^−0,2.2)

=> f(2) ≈ 8,24

Tương tự: => f(8) ≈ 19,95

Bài 6 trang 47 SGK Toán 11 tập 2

Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = −log[H⁺]. Phân tích nồng độ ion hydrogen trong hai mẫu nước sông, Ta có kết quả sau

Mẫu 1: [H⁺] = 8.10⁻⁷; Mẫu 2: 2.10⁻⁹

Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh độ pH của hai mẫu nước trên

Bài làm

Độ pH của mẫu 1 là: pH = −log[8.10⁻⁷]

= −(log8 + log10⁻⁷) = −(log8 − 7log10)

= 7−log8 = 7 − 3log2

Độ pH của mẫu 2 là: pH = −log[2.10⁻⁹] = −(log2 + log10⁻⁹) = 9 − log2

Nhận thấy 7 − 3log2 < 9 − log2

Bài 7 trang 47 SGK Toán 11 tập 2

Cô Yên gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất 6%/năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Yên không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau y (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là x (đồng), cô Yên sử dụng công thức $log_{1,06\frac{x}{10} }$. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì cô Yên có thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiệm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài làm

Có y = $log_{1,06\frac{15}{10} } \approx 7$

Vậy sau ít nhất 7 năm thì cô Yên có thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiệm đó