Toán 11 tập 2 trang 63 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Giải toán 11 tập 2 trang 63 Bài 1 sách Cánh diều có đáp án chi tiết từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 60 toán 11 tập 2

Hoạt động 1 trang 60 toán 11 tập 2

Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm ${x_0} = 1s$ trong bài toán tìm vận tốc tức thời

Lời giải:

$\begin{array}{l}v({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to {x_0}} \frac{{f({x_1}) – f({x_0})}}{{{x_1} – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to 1} \frac{{f({x_1}) – f(1)}}{{{x_1} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to 1} \frac{{\frac{1}{2}g{x_1} – \frac{1}{2}g}}{{{x_1} – 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to 1} \frac{{\frac{1}{2}g({x_1} – 1)}}{{{x_1} – 1}} = \frac{1}{2}g \approx \frac{1}{2}.9,8 \approx 4,9\,\,\,(m/s)\end{array}$

Trang 61 toán 11 tập 2

Luyện tập – Vận dụng 1 trang 61 toán 11 tập 2

Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ tại ${x_0} = 2$ bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có:

$\begin{align} \Delta y=f\left( 2+\Delta x \right)-f\left( 2 \right)=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2} \\ =\frac{2-2-\Delta x}{2\left( 2+\Delta x \right)}=\frac{-\Delta x}{4+2\Delta x} \\ \end{align}$

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{-\Delta x}{4+2\Delta x}}{\Delta x}=\frac{-\Delta x}{\Delta x\left( 4+2\Delta x \right)}=\frac{-1}{4+2\Delta x}$

Ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{4+2\Delta x}=\frac{-1}{4+2.0}=\frac{-1}{4}$

Vậy $f’\left( 2 \right)=\frac{-1}{4}$

Trang 62 toán 11 tập 2

Luyện tập – Vận dụng 2 trang 62 toán 11 tập 2

Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3}$ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm x

Ta có:

$\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) – f\left( x \right) = {\left( {x + \Delta x} \right)^3} – {x^3} = \left( {x + \Delta x – x} \right)\left[ {x{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} + x.\left( {x + \Delta x} \right) + {x^2}} \right]\\ = \Delta x\left( {{x^2} + 2x.\Delta x + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} + {x^2} + x.\Delta x + {x^2}} \right) = \Delta x.\left( {3{x^2} + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 3x.\Delta x} \right)\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3{x^2} + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 3x.\Delta x\end{array}$

Ta thấy:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3{x^2} + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 3x.\Delta x} \right) = 3{x^2}\\ \Rightarrow f’\left( x \right) = 3{x^2}\end{array}$

Hoạt động 2 trang 62 toán 11 tập 2

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), một điểm ${M_0}$ cố định thuộc (C) có hoành độ ${x_0}$. Với mỗi điểm M thuộc (C) khác ${M_0}$, kí hiệu ${x_M}$ là hoành độ của điểm M và ${k_M}$ là hệ số góc của cát tuyến ${M_0}M$. Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn ${k_0} = \mathop {\lim }\limits_{{x_M} \to {x_0}} {k_M}$. Khi đó, ta coi đường thẳng ${M_0}T$ đi qua ${M_0}$ và có hệ số góc là ${k_0}$ là ví trị giới hạn của cát tuyến ${M_0}M$ khi điểm M di chuyển dọc theo (C) dần tới ${M_0}$ . Đường thẳng ${M_0}T$được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm ${M_0}$, còn ${M_0}$ được gọi là tiếp điểm (Hình 3).

a)     Xác định hệ số góc ${k_0}$ của tiếp tuyến ${M_0}T$ theo ${x_0}$

b)    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ${M_0}$

Lời giải:

a)     ${k_0} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_M}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}} = f'({x_0})$

b)    Phương tình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ${M_0}$:

$y = {k_0}(x – {x_0}) + {y_0}$

Trang 63 toán 11 tập 2

Luyện tập – Vận dụng 3 trang 63 toán 11 tập 2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ tại điểm N (1; 1)

Lời giải:

–         Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc là:

$f’\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{x} – 1}}{{x – 1}} =  – 1$

–         Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm N(1; 1) là:

$y =  – 1.\left( {x – 1} \right) + 1 =  – x + 1 + 1 =  – x + 2$

Bài 1 trang 63 SGK Toán 11 tập 2

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x³ − 1 tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa

Bài làm

$\Delta x=x-x_{0}=x-1$

$\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=f(x)-f(1)$

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3x^{3}-3}{x-1}$

$=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{3(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}=9$

Vậy f'(1) = 9

Bài 2 trang 63 SGK Toán 11 tập 2

Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 0, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 0

Bài làm

$y=\left | x \right |= x(x\geq 0) và -x(x< 0)$

=> $y’=1(x\geq 0)$ và -1(x <  0)

Ta có $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}y’=1\neq -1=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}y’$

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0

Bài 3 trang 63 SGK Toán 11 tập 2

Cho hàm số y = −2x² + x có đồ thị (C)

a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (2; -6)

Bài làm

a) $k_{0}=f'(x_{0})=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-2x^{2}+x-(-2.2^{2}+2)}{x-2 }$

$=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-2x^{2}+x+6}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{-(x-2)(2x+3)}{x-2}=-7$

b) y = -7(x – 2) – 6 => y = -7x + 8

Bài 4 trang 63 SGK Toán 11 tập 2

Giả sử chi phí C (USD) để sản xuất Q máy vô tuyến là C(Q) = Q² + 80Q + 3500

a) Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ Q sản phẩm lên Q + 1 sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số C'(Q). Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm C'(90) và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được.

Bài làm

a) $C'(Q)=\lim_{Q\rightarrow Q+1}\frac{(Q^{2}+80Q+3500)-((Q+1)^{2}+80(Q+1)+3500)}{Q-Q-1}$

$C'(Q)=\lim_{Q\rightarrow Q+1}\frac{(Q^{2}+80Q+3500)-(Q^{2}+2Q+1+80Q+80+3500)}{-1}$

$C'(Q)=\lim_{Q\rightarrow Q+1}(2Q+80)$

b) $C'(90)=2.90+80=260 (USD)$

=> Ý nghĩa: Chi phí gia tăng để sản xuất thêm 1 sản phẩm từ 89 sản phẩm lên 90 sản phẩm là 260 (USD)