Toán 11 tập 2 trang 75 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Giải toán 11 tập 2 trang 75 Bài 3 sách Cánh diều có đáp án chi tiết từng bài tập trong sách giáo khoa Toán lớp 11 Cánh diều. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Trang 73 toán 11 tập 2

Hoạt động 1 trang 73 toán 11 tập 2

Xét hàm số $y = {x^3} – 4{x^2} + 5$

a)     Tìm $y’$

b)    Tìm đạo hàm của hàm số $y’$

Lời giải:

a)     $y’ = 3{x^2} – 8x$

b)    Đạo hàm của hàm số y’ là: $\left( {y’} \right)’ = \left( {3{x^2} – 8x} \right)’ = 6x – 8$

Luyện tập – Vận dụng trang 73 toán 11 tập 2

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin 3x$

Lời giải:

$y = \sin 3x \Rightarrow y’ = 3.\cos 3x \Rightarrow y” =  – 9.\sin 3x$

Trang 74 toán 11 tập 2

Hoạt động 2 trang 74 toán 11 tập 2

Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình $s = \frac{1}{2}g{t^2}$, trong đó g là gia tốc rơi tự do, $g \approx 9,8m/{s^2}$

a)     Tính vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm ${t_0} = 4(s);{t_1} = 4,1(s)$

b)    Tính tỉ số $\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}$ trong khoảng thời gian $\Delta t = {t_1} – {t_0}$

Lời giải

a)     Vận tốc tức thời $v(t) = s'(t) = gt$

–         Vận tốc tức thời tạo thời điểm $v(4) \approx 9,8.4 \approx 39,2(m/s)$

–         Vận tốc tức thời tại thời điểm $v(4,1) \approx 9,8.4,1 \approx 40,18(m/s)$

b)    Tỉ số $\frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \frac{{40,18 – 39,2}}{{4,1 – 4}} = 9,8$

Trang 75 toán 11 tập 2

Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau

a) $y=\frac{1}{2x+3}$

b) $y=log_{3}x$

c) $y=2^{x}$

Bài làm

a) $y=\frac{1}{2x+3}$

$y’=-\frac{2}{4x^{2}+12x+9}=-2\cdot \frac{1}{4x^{2}+12x+9}$

$y”=-2.-\frac{8x+12}{(4x^{2}+12x+9)^{2}}$

b) $y=log_{3}x$

$y’=\frac{1}{x.ln3}$

=> $y”=-\frac{ln3}{(x.ln3)^{2}}=-\frac{1}{x^{2}.ln3}$

c) $y=2^{x}$

$y’=2^{x}ln2$

=> $y”=2^{x}(ln2)^{2}$

Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2

Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $y=3x^{2}-4x+5$ tại $x_{0}=-2$

b) $log_{3}(2x+1)$ tại $x_{0}=3$

c) $e^{4x+3}$ tại $x_{0}=1$

d) $sin\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right ) tại x_{0}=\frac{\pi }{6}$

e) $y=cos\left ( 3x-\frac{\pi }{6} \right )$ tại $x_{0}=0$

Bài làm

a) $y=3x^{2}-4x+5$

y’ = 6x – 4

y” = 6

b) $log_{3}(2x+1)$

$y’=\frac{2}{(2x+1)ln3}=2\cdot \frac{1}{(2x+1)ln3}$

=> $y”=2.-\frac{2.ln3}{(2x+1)^{2}(ln3)^{2}}=\frac{-4}{(2x+1)^{2}\cdot ln3}$

Thay $x_{0}=3$

=> $y”(3)= \frac{-4}{49\cdot ln3}$

c) $e^{4x+3}$

$y’=4e^{4x+3}$

$=> y”=16e^{4x+3}$

$=> y”(1)=16e^{7}$

d) $sin\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )$

$y’=2cos\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )$

$=> y”=-4sin\left ( 2x+\frac{\pi }{3} \right )$

$=> y”(\frac{\pi }{6})=-4sin\left (\frac{2\pi }{3} \right )$

e) $y=cos\left ( 3x-\frac{\pi }{6} \right )$

$y’=-3sin\left ( 3x-\frac{\pi }{6} \right )$

$y”=-9cos\left ( 3x-\frac{\pi }{6} \right )$

$y”(0)=-9cos(-\frac{\pi }{6})$

Bài 3 trang 75 toán 11 tập 2

Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình $s = \frac{1}{2}g{t^2}$, trong đó g là gia tốc rơi tự do, $g \approx 9,8m/{s^2}$

a)     Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm ${t_0} = 2(s)$

b)    Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm ${t_0} = 2(s)$

Lời giải

a)     Vận tốc của vật là: $v(t) = gt \Rightarrow v(2) \approx 9,8.2 \approx 19,6\,\,(m/s)$

b)    Gia tốc của vật là: $a(t) = gt \Rightarrow a(2) \approx 9,8.2 \approx 19,6\,\,\left( {m/{s^2}} \right)$

Bài 4 trang 75 toán 11 tập 2

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = {t^3} – 3{t^2} + 8t + 1$, trong đó t > 0, t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét. Tìm vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chất diểm;

a)     Tại thời điểm t = 3(s)

b)    Tại thời điểm mà chất điểm di chuyển được 7 (m)

Lời giải

Vận tốc tức thời tại thời điểm t: $v(t) = s'(t) = 3{t^2} – 6t + 8$

Gia tốc tức thời tại thời điểm t: $a(t) = v'(t) = 6t – 6$

a)     Tại thời điểm t = 3(s)

–         Vận tốc tức thời là: $v(3) = {3.3^2} – 6.3 + 8 = 17\,\,(m/s)$

–         Gia tốc tức thời là: $a(3) = 6.3 – 6 = 12$$\left( {m/{s^2}} \right)$

b)    Tại thời điểm chất điểm di chuyển được 7 (m) ta có:

$\begin{array}{l}{t^3} – 3{t^2} + 8t + 1 = 7\\ \Leftrightarrow {t^3} – 3{t^2} + 8t – 6 = 0\\ \Leftrightarrow {t^3} – 3{t^2} + 8t – 6 = 0\\ \Leftrightarrow t = 1\end{array}$

Với t = 1

–         Vận tốc tức thời là: $v(1) = {3.1^2} – 6.1 + 8 = 5\,\,(m/s)$

–         Gia tốc tức thời là: $a(1) = 6.1 – 6 = 0\left( {m/{s^2}} \right)$

Bài 5 trang 75 toán 11 tập 2

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 7 , có phương trình chuyển động $x = 4\sin t$, trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimet.

a)     Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t (s)

b)    Tìm vị trí, vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm $t = \frac{{2\pi }}{3}(s)$

Tại thời điểm đó, con lắc di chuyển theo hướng nào?

Lời giải

a)     Vận tốc tức thời tại thời điểm t: $v(t) = x’ = 4\cos t$

Gia tốc tức thời tại thời điểm t: $a(t) = v'(t) =  – 4\sin t$

b)    Tại thời điểm $t = \frac{{2\pi }}{3}(s)$

–         Vận tốc tức thời là: $v\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 4\cos \frac{{2\pi }}{3} =  – 2$

–         Gia tốc tức thời là: $a\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) =  – 4\sin \frac{{2\pi }}{3} =  – 2\sqrt 3 $

–         Tại thời điểm đó, con lắc đang di chuyển theo hướng ngược chiều dương